不等式への招待第４章

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428: 2009/08/25(火)19:24 AAS
>>418
y=√x は上に凸だから
　√b + √c ≦ 2√{(b+c)/2} = √{2(b+c)},
　√c + √a ≦ 2√{(c+a)/2} = √{2(c+a)},
　√a + √b ≦ 2√{(a+b)/2} = √{2(a+b)},
よって a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと
　(左辺) ≦ 3√{2(b+c)(c+a)(a+b)}
省6

429: 2009/08/25(火)19:36 AAS
>>427
　u軸の彼方から観察した”射影”ぢゃね？

430(1): 2009/08/25(火)21:20 AAS
>>426 の証明をお願いします

431: 2009/08/26(水)00:05 AAS
>>426,430

Max{|a(j)|^(1/j); 1≦j≦m} = M とおくと
　|Σ[j=1,m] a(j)･z^(m-j)| ≦ Σ[j=1,m] |a(j)|･|z|^(m-j)
　≦ Σ[j=1,m] M^j |z|^(m-j)
　= {M/(|z|-M)}{|z|^m - M^m}　　　　　　　　(|z|≠M)
　≦ {M/(|z|-M)}|z|^m,
いま |z| > 2M と仮定すると、
省3

432: 2009/08/27(木)00:51 AAS
|z| > 2M の仮定のタイミングがおかしくないかい？

433(2): 2009/08/27(木)22:23 AAS
| x | < π / 2 のとき

cosh x ≦ sec x

434: 2009/08/27(木)22:49 AAS
>>433
cosh x * cos x ≦ 1
微分して楽勝

435(2): 2009/08/28(金)01:29 AAS
誰と戦ってるんだ

436: 2009/08/28(金)01:56 AAS
>>435
見えざる敵

437: 2009/08/28(金)08:15 AAS
>>435
数学との戦い

438(3): 2009/09/01(火)08:36 AAS
x,y,z＞0のとき
x^3+y^3+z^3+3xyz≧xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)
の成立をx,y,zについての不等式による場合分けをせず示せ．

439: 2009/09/01(火)11:14 AAS
愚問

440: 「猫」∈社会の屑 ◆ghclfYsc82 2009/09/01(火)11:50 AAS
そやけどねぇ、こんな感じの大学受験問題やったかな、
大昔にどっかで見た事がありますよ。
コレを愚問っちゅうんだったらですね、
それこそ大学入試問題なんて総崩れじゃないですかね。

大学入試なんて止めないとアキマセンがな！！
そやけんどそんな事は出来ひんやろ！
そやし、どないすんねん？

441: 2009/09/01(火)14:09 AAS
>>438
相乗平均相加平均より
xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)≧6xyz
よって
x^3+y^3+z^3+3xyz-xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)≧x^3+y^3+z^3-3xyz
=(1/2)(x+y+z){(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}≧0
から題意の不等式を得る
省1

442: 2009/09/01(火)14:19 AAS
途中の不等号逆じゃね？

443: 2009/09/01(火)14:29 AAS
あーホントや

444: 2009/09/01(火)15:31 AAS
444

445: 2009/09/06(日)16:40 AAS
AA省

446(2): 2009/09/08(火)04:23 AAS
0≦b≦1-a^2,0≦q≦1-p^2のとき
(a-p)^2+(b-q)^2の最大値を求める

447: 2009/09/10(木)16:43 AAS
>>446

問題それであってるの？

（わかりやすいように、bx ,q=>yっておきかえると
0<=x<=1-a^2, 0<=y<=1-p^2のときの、
）

最初に、a,pを定数とみなして,x,yを変数とみなすと、

448: 447 2009/09/10(木)16:48 AAS
あ、とちゅうで送信してしもうた。

＝＝＝＝

bをx,qをyって書き換えると、
0<=x<=1-a^2, 0<=y<=1-p^2 のときの
(x-y)^2+(a-p)^2の最大値を求めればいい。

a,bを定数とまずみなすと、
xy平面で、x-yの最大値が分かる（そのときのa,pの値もわかる）
省2

449: 447 2009/09/10(木)16:51 AAS
typo

＞a,bを定数とまずみなすと、

じゃなくて、
a,p...

450: 2009/09/10(木)20:27 AAS
そう簡単にはいかないでしょ

451: 2009/09/10(木)21:39 AAS
AA省

452(2): 2009/09/15(火)06:55 AAS
正5角形の辺上に3点A,B,Cをとる
△ABCの面積が最大となるには
3点A,B,Cをどのようにとればよいか

453(1): 2009/09/15(火)07:03 AAS
>>452
簡単な例文。

【ステロイド抜けたらガリガリで横チンを公共電波に晒したり
　土俵に力水はいたり尻の穴ほじくった手でツッパリして相手をひるませたり
　自分で隠し持っていた山響株を兄が盗んだと騒いだりする】

より

【子供たちとの草サッカー】
省1

454(1): 2009/09/17(木)22:52 AAS
>>452
{A,B,C}のうち1点Xのみを動かそう。Xと両隣の点(Y,Z)が作る3角形XYZの面積は
　△XYZ = YZ * (XのYZからの高さ),
Xは多角形の辺上を動くから、高さのが最大になるのはXが頂点にあるとき。
∴　Xは頂点にあるとしてよい。
他の点についても同様。
本問では正5角形だから
省1

455: 454 2009/09/17(木)23:59 AAS
訂正
　△XYZ = YZ * (XのYZからの高さ) ／２,

　{A,B,C} = {3π/5,π/5,π/5}　もあるが、>>454 より小さい。

456: 2009/09/18(金)00:17 AAS
>>453
　唱えるならアホダラ経ぢゃね？

外部ﾘﾝｸ:dictionary.goo.ne.jpあほ/
外部ﾘﾝｸ:dic.yahoo.co.jpあほだらきょう
外部ﾘﾝｸ[html]:love.ap.teacup.com
外部ﾘﾝｸ[html]:www.sutemaru-manzai.com

457: 2009/09/18(金)00:19 AAS
2n+1角形に拡張出来そうでつね

458: 2009/09/18(金)06:03 AAS
(1)
0<x<e，α=e-x，β=e+x
α^βとβ^αどちらが大きいか

(2)
0<x<1，α=ex，β=e/x
α^βとβ^αどちらが大きいか

459: 2009/09/18(金)11:24 AAS
0<df(x)/dx<f(x)<∫_(-1,x) f(t)dt, (x∈(-1,1))となるf∈C^1(-1,1)

460(1): 2009/09/19(土)09:43 AAS
0<f
かつ
f∈C^1(-1,1)
ならば
0<f<∫_(-1,・) f(t)dt
は自明だから
0<df/dx<f
省10

461: 2009/09/19(土)14:10 AAS
>>460
＞0<f かつ f∈C^1(-1,1) ならば 0<f<∫_(-1,・) f(t)dt は自明だから
これは間違い。f<∫_(-1,・) f(t)dtという不等式は
「グラフの高さ＜グラフの面積」という不等式なので、
原点でのグラフの高さに比べて面積が異常に小さい関数を
選べば、x＝0においてこの不等式は破綻する。
実際、a＞0としてf(x)＝e^(-x^2/a)とおけば、aが十分小さいとき
省1

462(2): 2009/09/20(日)00:02 AAS
〔問題〕(Shapiro-type)
正の数 a_k に対して次を示せ。
　a_1/(a_2+a_3) + a_2/(a_3+a_4) + ･･････ + a_n/(a_1+a_2) ≧ n/2.6

･ご参考
　n/3　[初代スレ.497(2), 501-502]
　n/4　[ASU, 1969.14]

463(1): 2009/09/20(日)00:24 AAS
AA省

464(2): 2009/09/20(日)00:47 AAS
>>463
もっとギリギリの評価はありますか？

465(1): 2009/09/20(日)04:18 AAS
>>464
ギリギリかどうか知らないけど
　(462の左辺) > λ･n,
　λ = 0.4976175155670･･･
というのがあるらしい。

(求め方)
点(0,1)を通る2つの関数
省9

466(1): 2009/09/20(日)05:45 AAS
>>464
外部ﾘﾝｸ:www.amazon.co.jp
元ギリギリ...

467: 2009/09/20(日)12:43 AAS
>>465
サンクス．
直観的にはn＝0.5とかいけそうですけど駄目なんでしょうね．

468(1): 2009/09/20(日)14:49 AAS
>>466
予想通り

469: 2009/09/20(日)22:46 AAS
>>468 = アホ

外部ﾘﾝｸ[html]:fc23.blog63.fc2.com

470: 463 2009/09/20(日)23:20 AAS
AA省

471: 2009/09/21(月)02:51 AAS
自民：ぶれている
民主：柔軟/現実路線

自民：独裁だ/まるでヒトラー
民主：豪腕だ/リーダーシップがある

自民：統率力がない
民主：開かれている

自民：強行採決
省9

472(4): 2009/09/21(月)06:25 AAS
同一直線上にn個の点A[k](1≦k≦n)がある
点Pが以下の位置にあるとき
ΣPA[k]が最小となるには点Pをどのようにとればよいか

(1)点Pが点A[k]と同一直線上にあるとき
(2)点Pが点A[k]と同一平面上にあるとき
(3)点Pが点A[k]と同一空間上にあるとき

473(4): 2009/09/21(月)15:16 AAS
正の実数 a ，b ，c に対し，不等式

3/2 < { ( 4a + b ) / ( a + 4b ) } + { ( 4b + c ) / ( b + 4c ) } + { ( 4c + a ) / ( c + 4a ) } < 9

が成り立つことを示せ．

凸六角形 ABCDEF の3本の対角線 AD ，BE ，CF はいずれの2本のなす角も60ﾟである．
このとき不等式

AB + BC + CD + DE + EF + FA ≧ AD + BE + CF
省1

474(2): 2009/09/21(月)16:52 AAS
0 ≦ x , y , z≦ 1 のとき

{( x + y + z ) / 3 } + √ { x ( 1 - x ) + y ( 1 - y ) + z ( 1 - z ) }

の最大値を求めよ

四面体の六辺の積を L , 体積を V とおくとき

L / V ^ 2
省1

475(3): 2009/09/21(月)21:28 AAS
AA省

476: 2009/09/21(月)23:00 AAS
>>473 (上)
　1/4 + (15/4)a/(a+4b) = (4a+b)/(a+4b),
と
　a/(a+4b) + b/(b+4c) + c/(c+4a) - 3/5 = (4/5){7(a^2･b+b^2･c+c^2･a -3abc) + 8(ab^2 + bc^2 +ca^2 -3abc)}/{(a+4b)(b+4c)(c+4a)} ≧0,
から
　3/4 + (15/4)(3/5) ≦ (与式),
　3 ≦ (与式),
省1

477: 2009/09/22(火)02:23 AAS
>>473　(下)
　ADとBEの交点をXとする。
　頂点A,Bから ∠AXB = 60ﾟの二等分線に垂線をおろし、A-Ha, B-Hb とする。
　AHa = AXsin(30ﾟ), BHb = BX･sin(30ﾟ),
　AB > AHa + BHb = (AX + BX)sin(30ﾟ) = (AX + BX)/2　　･････････ (*)
同様に
　DE > (DX + EX)/2,
省8

478(6): 2009/09/22(火)02:57 AAS
区間 [ 0 , 1 ] 上の任意の連続関数 f ( x ) に対して , さらに f ( x ) > 0 を満たすとき

∫ [ 0 , 1 ] log f(x) dx と log ∫ [ 0 , 1 ] f ( x ) dx

の大小を比較せよ

実数上で定義され , 実数に値をとる , 2次までの連続な導関数をもつ関数 f ( x ) が条件

f ' ' ( x ) ≧ f ( x ) ( - ∞ < x < + ∞ )
省7

479: 2009/09/22(火)07:16 AAS
>>478
真中

{f’(x)＋f(x)}’≧f’(x)＋f(x)，{f’(x)－f(x)}’≧－{f’(x)－f(x)}
g(x)＝f’(x)＋f(x) ，h(x)＝f’(x)－f(x) とおくと
{e^(-x) g(x)}’＝e^(-x) {g’(x)－g(x)}≦0，{e^x h(x)}’＝e^x {h’(x)＋h(x)}≧0
x≧0 のとき
e^(-x) g(x)－g(0)≧0，e^x h(x)－h(0)≦0 ⇔ g(x)≧e^x g(0)，－h(x)≧－e^(-x) h(0)
省5

480(3): 2009/09/22(火)07:42 AAS
>>478
下

f(x)＝x^4－x^3＋x^2－x＋21/64 とおく
f'(x)＝4x^3 - 3x^2 + 2x - 1，f''(x)＝12x^2－6x＋2＞0
より f(x) の極値は極小値 1個のみ
x＝a で極小値をとるとすると
f'(0.6)＜0＜f'(0.61) より 0.6＜a＜0.61
省3

481(1): 2009/09/22(火)08:57 AAS
>>478 (上)
(略証)
　(k-1)/n ≦ x_k ≦ k/n とする。
相乗･相加平均より
　　{Π[k=1,n] f(x_k)}^(1/n) ≦ (1/n)∑[k=1,n] f(x_k),
⊿x = 1/n として、
∴　∑[k=1,n] log{f(x_k)}⊿x ≦ log{∑[k=1,n] f(x_k)⊿x},
省7

482(1): 2009/09/22(火)09:53 AAS
AA省

483: 2009/09/22(火)22:40 AAS
AA省

484: 2009/09/23(水)00:31 AAS
>>480

f(x) の最小値は
　f(a) = g(a) = 0.001678223476410008900477133721940･･･

485(1): 2009/09/23(水)01:59 AAS
x を正の実数 , n を正の整数とするとき

[ nx ] > Σ [ k = 1 , n ] ( [ kx ] / k )

となることを示せ
ただし , [ x ] は x を超えない最大の整数を表す

486: 2009/09/23(水)03:32 AAS
>>472
(2)は某所に答えあった

487: だいすけ ◆jcXETTeIVg 2009/09/23(水)05:19 AAS
>>485

n=1のとき、
左辺も右辺も両方とも、[x]になって、

[x] > [x] ・・・＞ありえない。

になってしまうんだけど・・・自分の勘違い？

488: だいすけ ◆jcXETTeIVg 2009/09/23(水)05:29 AAS
>>472

(3)って、かんたんに(2)に帰結できるきが。。。

489(2): 2009/09/23(水)19:31 AAS
四面体の六辺の積を L , 体積を V とおくとき

L / V ^ 2

の最小値を求めよ

x を正の実数 , n を正の整数とするとき

[ nx ] ≧ Σ [ k = 1 , n ] ( [ kx ] / k )
省2

490(1): 2009/09/23(水)22:31 AAS
>>489
前半は入試問題

491(1): 2009/09/24(木)18:31 AAS
実数x,yが x≧0, y≧0, x^6+y^5≦x^5+y^4
を満たすとき、x^5+y^5≦2を示せ。

492: 2009/09/26(土)23:10 AAS
I＝[0，1]，f(x) ∈ C^2 (I) とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．

( max [I] | f’(x) | )^2 ≦ M ( max [I] | f(x) | ) ( max [I] | f(x) | ＋ max [I] | f”(x) | )

ただし，M は f に無関係な定数とする．

493: 2009/09/27(日)05:41 AAS
>>490
大数の宿題

宮川ダイスケ ◆jcXETTeIVg…Ｆランク。自称30歳東大文学部中退の理Ⅰ志望。
空気の読めなさならお前がナンバーワンだっ!!

494: 猫は珍獣 ◆ghclfYsc82 2009/09/27(日)09:52 AAS
空気の読めなさやったらワシの方が上じゃろうなァ
何でかっちゅうとやねェ、ワシは空気を読むんを
わざと放擲してるからや。

空気を読むっちゅうんはオリジナリティの最大の
敵やからな。

猫

495(1): 2009/09/27(日)19:45 AAS
>>491

相加･相乗平均より {あるいは >>1 と <1 で場合分けして}
　1 +5x^6 -6x^5 = (1-x)^2 (1+2x +3x^2 +4x^3 +5x^4) ≧ 0,
　1 +4y^5 -5y^4 = (1-y)^2 (1+2y +3y^2 +4y^3) ≧ 0,
よって
　x^5 = 1 + (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 +x +1) ≦ 1 + 5(x-1)x^5 = 1 + 5(x^6 -x^5),
　y^5 = 1 + (y-1)(y^4 + y^3 + y^2 +y +1) ≦ 1 + 5(y-1)y^4 = 1 + 5(y^5 -y^4),
省2

496(1): 2009/09/28(月)05:26 AAS
>>495

同じことだが、
　x-1 ≦ (x-1)x ≦ (x-1)x^2 ≦ (x-1)x^3 ≦ (x-1)x^4 ≦ (x-1)x^5,
　y-1 ≦ (y-1)y ≦ (y-1)y^2 ≦ (y-1)y^3 ≦ (y-1)y^4,
よって
　x^5 ≦ 1 + 5(x^6 -x^5),
　y^5 ≦ 1 + 5(y^5 -y^4),
省1

497(1): 2009/09/28(月)14:27 AAS
>>489 (下)

S_k = [kx] - (2/(k+1))･([x] + [2x] + …… + [kx])
　　= (1/(k+1))･Σ(j=0,k) ([kx] - [jx] - [(k-j)x])
　　≧ 0,
とおくと

(左辺) - (右辺) = [nx] - Σ(k=1,n) [kx] /k
　　= … …
省4

498: 2009/09/28(月)18:02 AAS
>>497
【補題】
　[y+z] ≧ [y] + [z],

(略証)
　y = [y] + {y},
　z = [z] + {z},
∴　[y+z] = [y] + [z] + [{y}+{z}] = [y] + [z] + (0 or 1),

499: 2009/09/29(火)23:03 AAS
>>496
　x^5 = (x-1)x^4 + (x-1)x^3 + (x-1)x^2 + (x-1)x + (x-1) + 1 ≦ 1 + 5(x-1)x^5,
　y^5 = (y-1)y^4 + (y-1)y^3 + (y-1)y^2 + (y-1)y + (y-1) + 1 ≦ 1 + 5(y-1)y^4,
だな。

500(1): 2009/09/30(水)00:03 AAS
R上の任意の2数x,yについて,x>yならばx≦yとなり得ない事を示せ

って宿題が出ました
どこをどう示せばいいか分かりません

501: 2009/09/30(水)00:51 AAS
>>500
x>yである順序対(x,y)全体の集合をA、x≦yである順序対(x,y)全体の
集合をBとおいて、A∩B=空集合を示せばいいのでは

502(6): 未解決？ 2009/09/30(水)07:08 AAS
I＝[0，1]，f(x) ∈ C^2 (I) とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
( max [I] | f’(x) | )^2 ≦ M ( max [I] | f(x) | ) ( max [I] | f(x) | ＋ max [I] | f”(x) | )
ただし，M は f に無関係な定数とする．

四面体の六辺の積を L , 体積を V とおくとき L / V ^ 2 の最小値を求めよ

同一直線上にn個の点A[k](1≦k≦n)がある
点Pが以下の位置にあるとき
ΣPA[k]が最小となるには点Pをどのようにとればよいか
省16

503(1): 2009/09/30(水)13:39 AAS
＞F,Gを[0,1]→[0,1]を満たす実連続関数であるとし、Fを単調増加関数であるとする。
＞∫[0,1] F(G(x))dx ≦ ∫[0,1] F(x) dx + ∫[0,1] G(x) dxを示せ

0≦x≦1とする。t∈[x,1]のときF(x)≦F(t)だから、両辺をxから1までtで積分して

(1－x)F(x)≦∫[x,1]F(t)dt

が成り立つ。変形してF(x)≦xF(x)＋∫[x,1]F(t)dt となる。F≧0だから
∫[x,1]F(t)dt≦∫[0,1]F(t)dtであり、また、x≧0，F(x)≦1よりxF(x)≦x
である。これらを用いて
省5

504(2): 2009/09/30(水)14:23 AAS
＞I＝[0，1]，f (x) ∈ C^2 (I) とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
＞( max [I] | f’(x) | )^2 ≦ M ( max [I] | f (x) | ) ( max [I] | f (x) | ＋ max [I] | f”(x) | )
＞ただし，M は f に無関係な定数とする．

簡単のためA＝max [I] | f (x) |，B＝max [I] | f ' ' (x) |とおく。
A＝0のときはf≡0だから、既に成り立っている。以下、A≠0とする。

a∈[0,1]を任意に取り、固定する。各x∈[0,1]に対して、適当なθ＝θ(x)があって
f (x)＝f (a)＋f ' (a)(x－a)＋f ' ' (θ)(x－a)^2/2
省14

505(2): 2009/09/30(水)14:30 AAS
AA省

506(1): 2009/10/01(木)16:52 AAS
>>504-505
流石にこのスレはレベルが高いですね．
t＝(1/4)*√{A/(A＋B)} 辺りが肝だと思いますが，
どうやって思いついたのですか？
とりあえず 2A/|x－a|＋B|x－a|/2 のうちどちらを const.√{A(A＋B)}
の形にするかで，前者を選んだと言うことでしょうか？

507(2): 2009/10/01(木)19:00 AAS
>>504-505 さんの解答をほとんど同じですが，より平易に書いて見ました．
文字は>>504-505 さんのものを使用します．

x，a∈[0，1]，a を固定し x≠a とする．

{f(x)－f(a)}/(x－a)＝f’(c) となる c が x と a の間に存在
|f’(c)|≦( |f(x)|＋|f(a)| )/|x－a|≦2A/|x－a|．．．①

f’(c)－f’(a)＝∫[a，c]f”(t)dt より
|f’(a)|≦|f’(c)|＋|∫[a，c]f”(t)dt|≦|f’(c)|＋|c－a| B≦|f’(c)|＋B|x－a| ．．．②
省6

508(1): 2009/10/02(金)19:14 AAS
>>506
＞どうやって思いついたのですか？
この問題は、以前読んだ数学書に書いてあった不等式そのもので、
証明も載ってた。それを引っ張ってきただけ(＾o＾)
ただし、その本では(偶然にも)>>507と全く同じやり方で
やっていて、個人的にはこのやり方は気に食わない。
何で気に食わないかと言うと、(*)の不等式への道筋が
省9

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