[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第４章 (706ﾚｽ)
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90(1): 2009/07/02(木)20:09 AAS
問題仕入れてきた
91(4): 2009/07/02(木)22:23 AAS
問1
1辺が1の正方形の各辺上に4点をとる
この4点を頂点とする四角形の周の長さは2√2以上であることを示せ
問2
∠A=20ﾟ，AB=ACの二等辺三角形がある
2AB<AC<3ABを示せ
問3
省15
92: 2009/07/03(金)00:45 AAS
(；´д｀) ﾊｧﾊｧ…
93: 2009/07/03(金)06:30 AAS
問2
∠A=20ﾟ，AB=ACの二等辺三角形がある
2BC<AC<3BCを示せ
~~~~~~~~~~~~~~
ABじゃなくBC
94(1): 2009/07/03(金)18:51 AAS
四面体のある1辺をとり、その辺をBCとし、BC=1とする。四面体A-BCDにおいて、AからBCに下ろした垂線の長さとDからBCに下ろした垂線の長さはともに1/2以上となる。
このような1辺がとれることを示せ。
お願いします。
95(1): 2009/07/03(金)20:28 AAS
問題文書き直します。
任意の四面体について、ある1辺をとり、その辺をBCとする。このとき、四面体をA-BCDとすると、AからBCに下ろした垂線の長さとDからBCに下ろした垂線の長さはともに(1/2)*BC以上となる。
このようなある1辺(=BC)がとれることを示せ。
96: 2009/07/03(金)22:52 AAS
>>91
問1
(a+b)^2 > a^2 + b^2 = (1/2)(a+b)^2 + (1/2)(a-b)^2 ≧ (1/2)(a+b)^2,
直角3角形の辺の長さを a,b,c とすると
a+b > c = √(a^2 + b^2) ≧ (a+b)/√2,
4辺について たす。
(□の周長) > (◇の周長) ≧ (□の周長)/√2,
省12
97: 2009/07/03(金)22:54 AAS
>>91
問4
題意より
BM = CM,
∠AMB + ∠AMC = 180ﾟ ゆえ sin(∠AMB) = sin(∠AMC),
よって正弦定理から
省15
98(1): 96-97 2009/07/03(金)23:19 AAS
>>91
問2
この正18角形は、半径 √{AB^2 -(BC/2)^2} の円に外接するから、
周長 = 18*BC > 2π√{AB^2 - (BC/2)^2},
AB/BC < √{(18/2π)^2 + (1/4)} = 2.908095
99: 2009/07/03(金)23:20 AAS
＞問6
＞ f(exp(u)) = g(u) とおくと、
＞ g(u+v) = f(exp(u+v)) = f(exp(u)exp(v)) = f(exp(u)) + f(exp(v)) = g(u) + g(v), ････ 加成性
＞∴ g(u) = au,
＞∴ f(x) = g(log(x)) = a･log(x),
＞題意より a>>0 なので y=f(x) は上に凸.
＞∴ g(u) = au,
省2
100(1): 2009/07/03(金)23:26 AAS
>>94 >>95
それって締切前の問題じゃないか？
自分の頭で考えろよ
101(1): 2009/07/03(金)23:40 AAS
>>100
なんか勘違いしてません？
102(3): 2009/07/04(土)00:08 AAS
いびつなサイコロがあり、1から6までのそれぞれの目が出る確率が1/6とは限らないとする。
このさいころを2回ふったとき同じ目が出る確率をPとし、
1回目に奇数、2回目に偶数の目が出る確率をQとする。
(1) P≧1/6であることを示せ。また、等号が成立するための必要十分条件を求めよ。
(2) 1/4≧Q≧(1/2)-(3/2)Pであることを示せ。
A=1/(21･1009)，B=[{1+(1/2009)}^(1/21)]-1，C=1-[{1-(1/2009)}^(1/21)]とする。
これらの中で最大のものと、最小のものを答えよ。
103: 2009/07/04(土)02:03 AAS
ここを見ると格の違いを感じるorz
104: 2009/07/04(土)13:28 AAS
>>91
問2
合同な三角形を3つ並べる. (頂点Aを重ねる.)
△ABC ≡ △ACD ≡ △ADE,
∠BAE = 3∠A = 60ﾟ,
AB = AE,
∴ △ABE は正三角形.
省9
105: 2009/07/04(土)15:34 AAS
AA省
106: 2009/07/04(土)15:41 AAS
AA省
107: 2009/07/04(土)21:18 AAS
>>102 (下)
n = 21, h = 1/2009, とおく。
A = h/n, B = (1+h)^(1/n) -1, C = 1 -(1-h)^(1/n),
x^n - {1 + n(x-1)} = (x-1){Σ[k=1,n-1] x^k - n} = (x-1)^2･{Σ[k=0,n-2] (n-1-k)x^k } ≧ 0.
に x = 1±(h/n) を代入。
108: 2009/07/04(土)22:14 AAS
>>101
勘違い？ してないと思うが。
件の問題の一過程だろ？
109: 101 2009/07/04(土)22:16 AAS
もっと言うと、この前別のところに
「三角形の内部の点に対して3頂点からの積が云々」
という質問も見かけたが君ではないのかな？
110: 2009/07/04(土)23:20 AAS
奉納
実数x［i］，a［i］，b［i］，c［i］（i＝1，2，3）は，以下の条件（い）～（に）を満たすものとする。
（い） x［1］≦x［2］≦x［3］
（ろ） i＝1，2，3に対してa［i］≧0，b［i］≧0，c［i］≧0
（は） i＝1，2，3に対してa［i］＋b［i］＋c［i］＝1
（に） a［1］＋a［2］＋a［3］＝b［1］＋b［2］＋b［3］＝c［1］＋c［2］＋c［3］
実数y［i］（i＝1，2，3）を
省5
111(1): 2009/07/05(日)00:16 AAS
実数c（0＜c＜1）と，実数x，y，a，bの間に
｜x－a｜＜c，｜y－b｜＜c
という関係があるとき，
｜xy－ab｜＜（c＋｜a｜＋｜b｜）c
が成り立つことを証明せよ。
112(3): 2009/07/05(日)01:38 AAS
『x^2+y^2+z^2=1のとき、2x+2y+2zの最大値を求めよ』
A君はこの問題を次のように解いた
「x,y,z≧0のとき考えれば十分である
4
=(x^2+1)+(y^2+1)+(z^2+1)
≧2x+2y+2z
等号成立条件よりx=y=z=1のとき最大値4」
省1
113: 2009/07/05(日)02:21 AAS
>>112
x=y=z=1 は x^2+y^2+z^2=1 に矛盾
114: 2009/07/05(日)02:48 AAS
>>112
最大値の求め方について、ろくに考えずに
図形的解法、シュワちゃん殺法くらいしか思いつかんけど、
他にもありますか ( ﾟ∀ﾟ)？
115: 2009/07/05(日)03:16 AAS
x,y,z≧0のとき考えれば十分である
6
=(3x^2+1)+(3y^2+1)+(3z^2+1)
≧√3(2x+2y+2z)
等号成立条件よりx=y=z=1/√3のとき最大値2√3
これだと矛盾が生じないんだよな・・・
116: 2009/07/05(日)03:39 AAS
>>112
3 = 3(x^2 + y^2 + z^2)
= (x+y+z)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 + (x-y)^2
≧ (x+y+z)^2
= (1/4)(2x+2y+2z)^2,
これでも矛盾しないでつ･･･
117(1): 2009/07/05(日)03:44 AAS
むかしむかし、きびだんごが一つありました
イヌとサルが食べなければ、キジがだんごを食べられます
サルとキジが食べなければ、イヌがだんごを食べられます
キジとイヌが食べなければ、サルがだんごを食べられます
みんなきびだんごを食べることができました。めでたしめでたし
さてこれはなぜ間違ってるのだろうか？
118: 2009/07/05(日)04:01 AAS
何か混乱してきたぜ
求めることは示すことより難しい
119: 2009/07/05(日)04:53 AAS
>>117 もしかして、「が」と「は」の違い、という日本語論でしょうか？
120: 猫⊂社会の屑 ◆ghclfYsc82 2009/07/05(日)09:38 AAS
ちょっと腹が減ったんだけどサ、吉備団子っちゅう気はせんわな
そやけど、また蕎麦屋に行ってもジジ臭いしなァ
121(1): 2009/07/05(日)19:27 AAS
Q1
nを6以上の自然数とする
(n+1)*C(n,[n/2])＞2^(n+1)
となることを示せ
Q2
nを7以上の自然数とする
lcm(1,2,…,n)＞2^n
省1
122: 86 2009/07/05(日)21:35 AAS
>>67
>>86 の訂正、ｽﾏｿ.
M_n / e^(n(n-1)/2) < m_n < n!･M_n / e^(n(n-1)/2), ･･････ (2)
123(1): 2009/07/05(日)21:56 AAS
>>67
m_n, M_n を >>86 のようにおくと、
m_n･M_n = (n!)^(n+1), ･･････････ (1)
一方、補題↓より
c^(n-1) √(n!) M_n / e^((n+2)(n-1)/2) < m_n < √(n!) M_n / e^(n(n-1)/2), ･･･････(3)
(1),(3) より
省9
124: 2009/07/06(月)03:25 AAS
>>121
とりあえずQ1だけ･･･
題意より [n/2] = m ≧ 3,
(左辺)/(右辺) = (n+1)Ｃ[n,m]/2^(n+1) = {(n+1)!/m!(n-m)!}/2^(n+1) = {(2m+1)!/(m!)^2}/2^(2m+1) = {(2m+1)!!/(2m)!!}/2 ≧ (7!!/6!!)/2 = (105/48)/2 >>1
125: 2009/07/06(月)20:06 AAS
>>123
＞〔補題50〕
なんの50なんだ？
126(1): 2009/07/07(火)18:19 AAS
[問題]
a_0, a_1,,,a_N ≧0 のとき次の不等式を示せ：
Σ_[n,m=0]^{N} {a_n a_m}/{n+m+1} ≦ π Σ_[n=0]^{N} (a_n)^2
127(1): 2009/07/08(水)01:10 AAS
実数x,yがx≧y≧1を満たすとき,次の不等式が成立することを示せ
(x+y-1){log[2](x+y)}≧(x-1)(log[2]x)+(y-1)(log[2]y)+y
a,b,cを正の数とするとき,不等式
2[{(a+b)/2}-(ab)^(1/2)]≦3[{(a+b+c)/3}-(abc)^(1/3)]
を証明せよ.また等号が成立するのはどんな場合か
(1)0≦α＜β≦π/2であるとき,次の不等式を示せ
∫[α,β]sinxdx+∫[(π-β),(π-α)]sinxdx＞(β-α){sinα+sin(π-β)}
省17
128: 2009/07/08(水)01:13 AAS
入試ばっかやな
つまらん
129: 2009/07/08(水)04:04 AAS
>>111
|xy-ab|
＝|(x-a)y+a(y-b)|
≦|(x-a)y|+|a(y-b)|
＜c|y|+|a|c
＝c|(y-b)+b|+|a|c
≦c(|(y-b)|+|b|)+|a|c
省1
130(2): 2009/07/08(水)17:54 AAS
f（x）が下に凸のとき
Σ［k＝0→n］f（2k）／（n＋1）＞Σ［k＝1→n］f（2k－1）／n
ってどう解いたらいい？？
131: 2009/07/08(水)21:27 AAS
>>130
nについての帰納法による。まづ
F_n = nΣ[k=0,n] f(2k) - (n+1)Σ[k=1,n] f(2k-1),
g(n) = f(n-1) -2f(n) + f(n+1),
と置く。
・n=1 のとき
F_1 = f(0) -2f(1) +f(2) = g(1) >>0
省7
132(1): 2009/07/08(水)22:08 AAS
∑_[n=1->∞] 1/n^3 が無理数であることを示せ。
133: 2009/07/08(水)23:23 AAS
AA省
134: 131 2009/07/09(木)02:40 AAS
>>130 (補足)
F_n - F_(n-1) = ∑(j=1,2n-1) [1+(j-1)/2] g(j),
F_n ≡ n∑(k=0,n) f(2k) - (n+1)∑(k=1,n) f(2k-1)
= ∑(j=1,2n-1) [1+(j-1)/2] [n-(j-1)/2] g(j),
・参考
[初代スレ.128, 132-135] Ingleby不等式, f(x)=a^x,
135(1): 2009/07/09(木)02:50 AAS
過去スレのミラー見れないの俺だけ？
136(2): 131 2009/07/09(木)03:16 AAS
>>135
初代スレ.128
128 ：１３２人目の素数さん ：04/05/15 09:31
「数学しりとりスレ 232-233」 より
【Inglebyの不等式 】
a>>0 のとき、{1+a^2+a^4+…+a^(2n)}/{a+a^3+…+a^(2n-1)} ≧ (n+1)/n,
137: 2009/07/09(木)03:26 AAS
>>136
おお、ありがとう☆
138: 2009/07/09(木)21:46 AAS
AA省
139(7): 2009/07/10(金)01:29 AAS
拾い
a,b,c≧0、ab+bc+ca+abc=4のとき
a+b+c≧ab+bc+caを示せ
140(1): 2009/07/10(金)07:31 AAS
>>139
対称性の利用だね。
無理なら一文字ずつ攻めるか。
141(1): 2009/07/10(金)08:01 AAS
>>139
1文字固定して2変数不等式にしてやれば出来そうな予感。
無理なら一文字ずつアホみたいにやるしかないね。
対称性の利用は頭で考えた限り無理だった。
それか思い付きもしないような因数分解で綺麗にやっちまうか。
142: 2009/07/10(金)13:26 AAS
え・・・
143(3): 2009/07/11(土)17:55 AAS
>>139
a,b,c < 1 と仮定すると、ab+bc+ca + abc < 4,
a,b,c > 1 と仮定すると、ab+bc+ca + abc > 4,
いずれも題意と矛盾する。a≦b≦c とすれば、
0 < a ≦ 1 ≦ c,
題意により、
b = (4-ac)/(a+c+ac),
省2
144(1): 2009/07/11(土)18:00 AAS
汚い解法だなぁ
145(1): 2009/07/11(土)20:07 AAS
x ≧ 0 のとき
cosx + sinx ≧ 1 + x - ( 2 x ^ 2 / π )
146: 2009/07/11(土)23:35 AAS
>>143
よく、そんな解答を思いつくな。天才か?
対称だから大小つけたのは分かるが。
最初の部分の発想が恐ろしい。
147(2): 2009/07/11(土)23:37 AAS
>>144
汚いというより自然じゃない。
何か「同じ問題を解いた事がある」か天才かの解答にみえる。
148: 2009/07/12(日)03:25 AAS
>>145
f(x) = cos(x) + sin(x) -1 -x + (2/π)x^2
= cos(x) + sin(x) -1 - (2/π)x(π/2 -x),
とおくと
f(x) = f(π/2 -x), (∴ x≦0 でも成立)
f(0) = f(π/2) =0,
f '(x) = -sin(x) + cos(x) -1 + (4/π)x
省8
149(1): 2009/07/12(日)04:52 AAS
>>139
>>140-141 に従って a+b+c=s, ab+bc+ca=t とおく。
・s≧4 のとき
s ≧ 4 = t + abc ≧ t,
・s≦4 のとき
4 = t + abc ≦ t + (t/3)^(3/2),
∴ t ≧ 3,
省7
150(1): 2009/07/12(日)05:39 AAS
>>139
ボクならこう解く.
a = 2x/(y+z), b = 2y/(z+x), c = 2z/(x+y) とおくと,
a+b+c≧ab+bc+ca
⇔ (x(x - y)(x - z) + y(y - z)(y - x) + z(z - x)(z - y)) / ((x+y)(y+z)(z+x)) ≧ 0
Schur ineq より明らか.
151: 2009/07/12(日)07:13 AAS
>>149
良いね～。
152(3): 2009/07/12(日)07:16 AAS
>>150
こんなのよく思い付くな。
見た目は綺麗だけど、証明にはイマイチだな～。
153(2): 2009/07/12(日)07:24 AAS
abc>=1 っていえる？
いえるなら、
↓みたくいっきにとけたんだけど。
(a + b + c) - (ab + bc + ca)
= (a + b + c) - (4 - abc) (∵与条件)
>= 3√(abc) - (4 -abc) (∵相加相乗平均)
= n^2 +3n -4 ( n = √(abc) とおいた)
省6
154: 153 2009/07/12(日)07:35 AAS
あと、
a +b = p, ab = q と置くと、相加相乗平均より、p>=2√q・・・（１）
与件 ⇔ a.b.c>=0 （・・・（２））∧ c(p + q) + q = 4 ⇔a,b,c>=0∧c = (4-q)/(p+q)
（p + q ≠ 0 ∵ 仮に p + q = 0 ならa = b = 0 となり 与条件に矛盾）
すると、(a + b + c) - (ab + bc + ca) = c(1-p) +(p-q) = {(4-q)(p+q)}/(1-p) + (p-q)
よって、{(4-q)(p+q)}/(1-p) + (p-q) >=0 を示せばよい。
で、（１）と（２）を使ってしめせるんじゃまいかな？・・・と思ったけど、
省1
155(2): 2009/07/12(日)07:42 AAS
>>153
云えません。
相加･相乗平均により
t = ab+bc+ca ≧ 3(abc)^(2/3),
よって
abc > 1 ⇒ t + abc ≧ 3(abc)^(2/3) + abc > 4,
これは題意に矛盾。
156: 153 2009/07/12(日)07:55 AAS
>>155
あら・・・・失礼
157: 2009/07/12(日)08:00 AAS
>>152
そうかなぁ～。
オリンピックレベルの問題とかではこういう解き方の方がむしろ常套手段だと思うんだけどな…。
158(1): 153 2009/07/12(日)08:07 AAS
>>155
でも、妙に数値がそろってる気が。。。
少し直せば正しくなるのかな？
あるいはどっかでおっきな勘違い？
159(1): 150 2009/07/12(日)16:10 AAS
>>152
題意から
a/(a+2) + b/(b+2) + c/(c+2) = 1,
そこで ボクは
x = k * a/(a+2),
y = k * b/(b+2),
z = k * c/(c+2),
省5
160(2): 159 2009/07/12(日)16:18 AAS
>>152
(補足) ↑では 恒等式
a/(a+2) + b/(b+2) + c/(c+2) = 1 + 2(ab+bc+ca+abc-4)/{(a+2)(b+2)(c+2)},
を使いますた。
161: 2009/07/12(日)17:20 AAS
>>158
>>153の相加相乗平均の部分が違う．3数だから立方根だ．
3*(abc)^3となり，同様にnを置くと
n^3 +3n -4 = (n - 1)(n^2 + n +4)
ずばり>>153は勘違いしているな．
A > B において B > 0 と A > 0 は関係がない．A > 0 > B などを考えれば明らか．
B > 0 ならば A > 0 が言えるが， B <= 0 でも A > 0 の場合はある．
省2
162: 161 2009/07/12(日)17:27 AAS
ちょっと変な書き方だった
最初の段落は「ケアレスミスの指摘」ね，結果的に．
あと後段の
> A > B において B > 0 と A > 0 は関係がない
は言い過ぎた． B > 0 の場合は大いに関係があるわｗｗｗ
「不等号の向き」が違う場合は注意せよ，という話か
163(2): 2009/07/12(日)18:04 AAS
どうも 150 です.
>>159-160 さん補足有り難うございます.
この置き方は, 例えば, USAMO の問題で,
a^2+b^2+c^2+abc=4
という関係式に対して,
a = 2√( (yz) / ((x+y)(x+z)) )
b = 2√( (zx) / ((y+z)(y+x)) )
省13
164: 2009/07/12(日)18:09 AAS
>>160
その恒等式はどこから出てきたんだ？？
一応
a(b+2)(c+2) + (a+2)b(c+2) + (a+2)(b+2)c
= 3abc + 4(ab + bc + ca) + 4(a+b+c)
と出てきて，(a+α)(b+β)(c+γ) が関係あると考え，abc の係数を1にするために 与関係式(ab+bc+ca+abc=4 ⇔abc=4-ab-bc-ca)を使うと
abc + 2(ab + bc + ca) + 4(a+b+c) + 8
省5
165: 164 2009/07/12(日)18:11 AAS
リロードしてなかったのでとんちんかんなレスしてしまったorz
166: 2009/07/13(月)03:50 AAS
>>147
照れるぜ！
167: 2009/07/14(火)01:49 AAS
アタシ･･･ネイルアーティスト検定に合格したの！！
画像ﾘﾝｸ[jpg]:218.219.144.2
キャバ嬢が好きなエグザイル
画像ﾘﾝｸ[jpg]:image.blog.livedoor.jp
168(1): 2009/07/14(火)13:59 AAS
【問題】
閉区間[0,1]上の連続関数 f(x)にたいして、
a_n = ∫_{0→1} x^n f(x) dx, n=0,1,2,,,,
で数列 {a_n} を定める．
このとき，不等式
Σ_[n=0 →∞] (a_n)^2 ≦ π ∫_{0→1} f^2(x) dx
が成立することを示せ。
省1
169(1): 2009/07/14(火)14:10 AAS
最良の定義は？
170: 2009/07/14(火)14:25 AAS
>>147
条件に等号があるからそれを使って変数を減らす。
差を変形して変数が１以下と１以上であればいい事を見つける。
条件から１以下の変数と１以上の変数があることを示す。
どの部分が自然じゃない？
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