[過去ﾛｸﾞ] 数学の証明という理論がわからないです (245ﾚｽ)
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146: 2021/02/18(木)17:50 ID:umGW1Vqs(2/10) AAS
次に、コンパクト位相空間の満たす性質を調べました。
147: 2021/02/18(木)17:50 ID:umGW1Vqs(3/10) AAS
やはり、例を続けます。
今度は、コンパクトにならない例を挙げます。
148: 2021/02/18(木)17:51 ID:umGW1Vqs(4/10) AAS
Rの開区間(0, 1)はコンパクトではありません。
149: 2021/02/18(木)17:58 ID:umGW1Vqs(5/10) AAS
X = (0, 1)
I_n = (2^(-n), 1) (n=1, 2, ...)
とおきます。I = {I_n}はXの開被覆です。
実際、任意のx∈Xに対して、十分大きなnを取れば、2^(-n) < xとできるからです。
しかし、Iのいかなる有限個の開集合を選んでも、Xを被覆することはできません。
I_nをどのように有限個選んでも、添字nの最大値Nが存在します。そして、0 < x < 2^(-N)となるx∈Xが存在し、それは今選んだどのI_nにも含まれないからです。
150: 2021/02/18(木)18:00 ID:umGW1Vqs(6/10) AAS
X = Z = { ... -2, -1, 0, 1, 2, ... }
とします。Zに離散位相を入れたものはコンパクトではありません。
明らかに、開被覆{{n}}_{n∈Z}から有限個を選んでX全体を被覆することはできません。
151: 2021/02/18(木)18:06 ID:umGW1Vqs(7/10) AAS
>>143と同様に、ユークリッド空間では、有界閉集合はコンパクトです。
ここで、有界閉集合がコンパクトでない例を挙げます。
152: 2021/02/18(木)18:33 ID:umGW1Vqs(8/10) AAS
実数列{a_n}で、
? (a_n)^2 < ∞
を満たすもの全体の集合をXとする。
153: 2021/02/18(木)18:36 ID:umGW1Vqs(9/10) AAS
Xには、以下のようにして距離が入る。
154: 2021/02/18(木)19:07 ID:umGW1Vqs(10/10) AAS
a = {a_n}, b = {b_n}∈X
に対して、成分ごとの和と実数倍を定めます。つまり、
a + b = {a_n + b_n}
ca = {c a_n}
です。三角不等式により、これらもXの元になります。
155(1): 2021/02/18(木)20:03 ID:9NOYrmy+(1) AAS
aとbの距離を
d(a, b) = √||a - b||
で定めます。ただし、a = {a_n}に対し、
||a|| = ? (a_n)^2
です。
156: 2021/02/18(木)20:52 ID:IrdJv5En(1/49) AAS
Xの部分集合Sを、1つの成分が1、その他が全部0の元全体とする。つまり、
S = {(1, 0, 0, ...), (0, 1, 0, ..., ), (0, 0, 1, 0, ...), ...}
157: 2021/02/18(木)20:53 ID:IrdJv5En(2/49) AAS
まず、Sは明らかに>>155の距離に関して有界
158: 2021/02/18(木)21:05 ID:IrdJv5En(3/49) AAS
Sは閉集合。
∵
x = {x_n} ∈ X＼Sを取る。
x_nは収束するから、十分大きなNを取れば、
|x_N| < 1/2
とできる。だから、a∈Sで、N番目以降が1のものに対して、
省5
159: 2021/02/18(木)21:07 ID:IrdJv5En(4/49) AAS
Xがコンパクトでないこと。
Xの異なる2元間の距離は√2だから、各点を中心とする半径√2/2の開球を無限個でXを被覆すれば、これらの1つでも欠けたらXを被覆できない。
160: 2021/02/18(木)21:10 ID:IrdJv5En(5/49) AAS
コンパクト空間の性質を見ていく。
161(2): 2021/02/18(木)21:11 ID:IrdJv5En(6/49) AAS
まず、コンパクト空間の連続写像による像はコンパクトである。
162: 2021/02/18(木)21:17 ID:IrdJv5En(7/49) AAS
X, Yは位相空間、Xはコンパクト、f: X→Yは連続写像とする。
U = {U_i}
をf(X)の開被覆とすると、
V = {V_i = f^(-1)(U_i)}
は、Xの開被覆である。Xはコンパクトだから、そのうち有限個
省4
163: 2021/02/18(木)21:18 ID:IrdJv5En(8/49) AAS
Xをコンパクト位相空間、f: X → Rを連続写像とする。
fには最大値・最小値が存在する。
164: 2021/02/18(木)21:37 ID:IrdJv5En(9/49) AAS
最小値の存在を示す。
fに最小値が存在しないとして矛盾を導く。
任意のa∈Xに対して、
U_a = { x∈X | f(x) > f(a) } = f^(-1)((f(a), ∞))
はXの開集合である。fには最小値が存在しないので、任意のx∈Xに対して、適当なa∈Xを取れば、
x ∈ U_a
省4
165(2): 2021/02/18(木)21:38 ID:IrdJv5En(10/49) AAS
Xはコンパクト空間、Yはハウスドルフ空間とする。任意の連続写像f: X → Yは閉写像である。
166(1): 2021/02/18(木)21:43 ID:IrdJv5En(11/49) AAS
F⊂Xを閉集合とする。f(F)が閉集合であることを示す。
y ∈ Y＼f(F)を任意に取る。
Yはハウスドルフ空間なので、次のようなf(F)の開被覆が取れる。
任意の点f(x)∈F(X)に対して、2つの開集合f(x)∈U_x、y∈V_xで、U_x ∩ V_x = ∅となるものが存在する。
U = {U_x}
とする。
167(2): 2021/02/18(木)21:50 ID:IrdJv5En(12/49) AAS
Fがコンパクトであることを示す。
Fの開被覆V = {V_x}を取る。
X＼Fは開集合なので、任意の点x∈X＼Fに対して、
x ∈ W_x ⊂ X＼F
となる開集合W_xが存在する。W = {W_x}はX＼Fの開被覆である。
省3
168: 2021/02/18(木)21:53 ID:IrdJv5En(13/49) AAS
よって、>>161より、f(F)はコンパクトである。
よって、>>166のUのうち有限個の開集合でf(F)は被覆できる。それらを
U_(i_1), ..., U_(i_n) ∈ U
とすれば、>>166の記号で
V_(i_1) ∩ ... ∩ V_(i_n)
省2
169: 2021/02/18(木)21:54 ID:IrdJv5En(14/49) AAS
>>167で>>137の問題は解けました。
170(1): 2021/02/18(木)21:55 ID:IrdJv5En(15/49) AAS
>>165を包含写像に適用すれば、
ハウスドルフ空間のコンパクト集合が閉集合であることが言えます。
171(2): 2021/02/18(木)21:56 ID:IrdJv5En(16/49) AAS
>>170
これは直接示すことも簡単です。
Xをハウスドルフ空間、K⊂Xをコンパクト部分集合とすると、Kは閉集合。
172: 2021/02/18(木)22:02 ID:IrdJv5En(17/49) AAS
x∈X＼Kを任意に取る。
Xはハウスドルフ空間なので、Kの開被覆が以下のように取れる。
任意の点y∈Kに対して、2つの開集合y∈U_y、x∈V_yで、U_y ∩ V_y = ∅となるものが存在する。
U = {U_y}
はKの開被覆である。Kはコンパクトなので、有限個のU_(i_1), ..., U_(i_n)で被覆できる。このとき、
省2
173: 2021/02/18(木)22:03 ID:IrdJv5En(18/49) AAS
逆に>>171を使うと>>165は次のように証明できます。
174: 2021/02/18(木)22:04 ID:IrdJv5En(19/49) AAS
FをXの閉集合とする。
>>167より、Fはコンパクト。
>>161より、f(F)はコンパクト。
>>171より、f(F)は閉集合。□
175: 2021/02/18(木)22:06 ID:IrdJv5En(20/49) AAS
距離空間はハウスドルフ空間です。
176: 2021/02/18(木)22:07 ID:IrdJv5En(21/49) AAS
実際、異なる2点x, yを取ると
d = d(x, y) > 0
なので、半系d/2の開球で分離できます。
177: 2021/02/18(木)22:09 ID:IrdJv5En(22/49) AAS
位相空間Xが連結であるとは、互いに交わらない空でない2つの開集合の和で書けないことです。
178: 2021/02/18(木)22:10 ID:IrdJv5En(23/49) AAS
連結な位相空間Xの開集合かつ閉集合である部分集合は
∅, X
だけです。
179: 2021/02/18(木)22:14 ID:IrdJv5En(24/49) AAS
UをXの開集合かつ閉集合とします。
UがX or ∅なら正しいので、Xでも∅でもないとします。
UはXと異なる閉集合なので、F = X＼Uは空ではない開集合です。
よって、
X = U ∪ F
これはXが連結でないことを意味します。
180: 2021/02/18(木)22:15 ID:IrdJv5En(25/49) AAS
開写像というのは、連続性と同じく局所的な性質です。
181: 2021/02/18(木)22:21 ID:IrdJv5En(26/49) AAS
f: X→ Yが開写像
⇔ ∀x∈X、∀開集合x∈U、 f(U)は開集合
⇔ ∀x∈X、∀開集合x∈U、∃開集合x∈B⊂U s.t f(B)は開集合
⇒は全部自明
3つ目から1つ目を示す
182: 2021/02/18(木)22:23 ID:IrdJv5En(27/49) AAS
U⊂Xを開集合とする。
f(x)∈f(U)を任意に取る。
開集合Bで
x∈B⊂U、f(B)⊂f(U)が開集合
が存在。
183: 2021/02/18(木)22:25 ID:IrdJv5En(28/49) AAS
コンパクト空間の積空間はコンパクトです。
証明は知りません
184: 2021/02/18(木)22:36 ID:IrdJv5En(29/49) AAS
Xがコンパクト
⇔任意の位相空間Yに対して、X×Y→Yが閉写像
185: 2021/02/18(木)22:37 ID:IrdJv5En(30/49) AAS
これも証明は知りません
186: 2021/02/18(木)22:40 ID:IrdJv5En(31/49) AAS
Xがハウスドルフ
⇔X→X×X、x→(x, x)の像は閉集合
187: 2021/02/18(木)22:48 ID:IrdJv5En(32/49) AAS
Δ: X → X×X
Δ(x) = (x, x)
とする。
(x, y)∈X×X＼Δ(X)を任意に取ると、x≠y。
Xがハウスドルフならば、Xの開集合x∈U、y∈Vで、U∩V = ∅となるものが存在。
(x, y) ∈ U × V ⊂ X×X＼Δ(X)。
省5
188: 2021/02/18(木)22:56 ID:IrdJv5En(33/49) AAS
f: X → Yが連続写像
Yがハウスドルフならば、
Γ: X→X×Y x → (x, f(x))の像は閉集合
f: X → S
g: Y → S
を連続写像
Sがハウスドルフならば、
ker(f, g) = { (x, y)∈X × Y | f(x) = g(y) }
省1
189: 2021/02/18(木)22:58 ID:IrdJv5En(34/49) AAS
ハウスドルフ性は局所的な性質ではありません。
190: 2021/02/18(木)22:58 ID:IrdJv5En(35/49) AAS
原点が2重になった直線は、すべての点がハウスドルフな近傍を持ちますが、2つの原点を分離する近傍はありません。
191: 2021/02/18(木)23:21 ID:IrdJv5En(36/49) AAS
R^nの開集合Uは
任意のp∈Uに対して、ある正の数r > 0が存在して
B_r(p) := { x∈R^N | |x - p| < r}
x ∈ B_r(p) ⊂ U
となることです。
192: 2021/02/18(木)23:22 ID:IrdJv5En(37/49) AAS
距離空間の開集合はみんな同様の定義です
193: 2021/02/18(木)23:22 ID:IrdJv5En(38/49) AAS
この
B_r(p)
の形の開集合全体は、一般の位相空間では基本近傍系という概念に一般化されます。
194: 2021/02/18(木)23:24 ID:IrdJv5En(39/49) AAS
集合に対し、基本近傍系を定めれば、上の定義と同様にして位相が定まります
195: 2021/02/18(木)23:29 ID:IrdJv5En(40/49) AAS
逆に、位相が与えられると開集合の特徴づけとして
Uが開集合
⇔∀x∈U, ∃開集合V s. t. x∈V⊂U
が成り立ちます。
⇒は、V = U自身と取れば明らかです。
逆を示します。
任意のx∈Uに対して、上を満たすV_xを取ります。
省4
196: 2021/02/18(木)23:32 ID:IrdJv5En(41/49) AAS
任意の2点x, yを結ぶpathが存在する空間は弧状連結であるといいます。
197: 2021/02/18(木)23:34 ID:IrdJv5En(42/49) AAS
Xを位相空間
Xが弧状連結であるとは、任意の2点x, y∈Xに対して、連続写像p: [0, 1]→Xで
p(0) = x
p(1) = y
となるものが存在することを言う。
198: 2021/02/18(木)23:37 ID:IrdJv5En(43/49) AAS
弧状連結ならば連結です。
199: 2021/02/18(木)23:44 ID:IrdJv5En(44/49) AAS
Xが連結でないとする。
空でない2つの開集合U, Vで
X = U ∪ V
U ∩ V = ∅
と書ける。
x∈U, y∈Vを取る。
もし、x, yを結ぶpath p: [0, 1]→Xが存在したとする。
[0, 1]は連結なので、その像も連結でなければならないが、空でない2つの開集合で
p([0, 1]) =(U∩p([0, 1])) ∪ (V∩p([0, 1]))
(U∩p([0, 1])) ∪(V∩p([0, 1])) = ∅
省1
200: 2021/02/18(木)23:44 ID:IrdJv5En(45/49) AAS
連結な位相空間の連続写像による像も連結
201: 2021/02/18(木)23:45 ID:IrdJv5En(46/49) AAS
X, Yは位相空間、f: X → Yを連続写像とする。
Xが連結ならば、f(X)も連結である。
202: 2021/02/18(木)23:50 ID:IrdJv5En(47/49) AAS
f(X)が連結でないとする。
空でない開集合U, Vを用いて
f(X) = U ∪ V
U ∩ V = ∅
とできる。このとき、f^(-1)(U), f^(-1)(V)はXの空でない開集合であり、
X = f^(-1)(U) ∪ f^(-1)(V)
f^(-1)(U) ∩ f^(-1)(V) = ∅
となる。
203: 2021/02/18(木)23:51 ID:IrdJv5En(48/49) AAS
連結だが弧状連結ではない例
204: 2021/02/18(木)23:54 ID:IrdJv5En(49/49) AAS
X = { (0, 0) } ∪ { (x, y)∈R^2 | x > 0 y = sin(1/x) }
は連結だが弧状連結ではない。
205: 2021/02/19(金)00:03 ID:LaiOc/Pq(1/18) AAS
{ (x, y)∈R^2 | x > 0 y = sin(1/x) }は弧状連結なので連結である。
したがって、(0, 0)の任意の近傍が、これと交わることが分かればよい。
なぜなら、もしXが連結でないとすると、(0, 0)を含むXの近傍と、他の空でない開集合とのdisjoint unionで書けることになるが、
それは、{ (x, y)∈R^2 | x > 0 y = sin(1/x) }が連結であることに矛盾するから。
206: 2021/02/19(金)00:05 ID:LaiOc/Pq(2/18) AAS
計算めんどくさい。
1/x → ∞ (x → 0)
で、sinは周期関数。
だから、どんなに小さなεを取っても、
|x| < ε, |y| < ε
となる点を通る。
207: 2021/02/19(金)00:07 ID:LaiOc/Pq(3/18) AAS
Rとxyは連結か？
208: 2021/02/19(金)00:07 ID:LaiOc/Pq(4/18) AAS
R と { (x, y) | xy = 0 }は同相か？
209: 2021/02/19(金)00:07 ID:LaiOc/Pq(5/18) AAS
答え: No
210: 2021/02/19(金)00:10 ID:LaiOc/Pq(6/18) AAS
X = { (x, y) | xy = 0}
とする。同相写像f: X → Rが存在したとすると、これをX＼{(0, 0)}に制限しても同相。
ところが、X＼{(0, 0)}の連結成分の個数は4個で、R＼{f(0, 0)}のそれは2個なので矛盾。
211: 2021/02/19(金)00:11 ID:LaiOc/Pq(7/18) AAS
R^2とR^2＼{(0, 0)}は同相か？
212: 2021/02/19(金)00:11 ID:LaiOc/Pq(8/18) AAS
答え:No
213: 2021/02/19(金)00:12 ID:LaiOc/Pq(9/18) AAS
R^2は単連結
R^2＼{(0, 0)}は単連結ではない。
214: 2021/02/19(金)00:13 ID:LaiOc/Pq(10/18) AAS
Xを弧状連結な空間とする。
Xが単連結であるとは、基本群π_1(X)が自明であること。
215: 2021/02/19(金)00:14 ID:LaiOc/Pq(11/18) AAS
基本群を定義します
216: 2021/02/19(金)01:42 ID:LaiOc/Pq(12/18) AAS
X, Yは位相空間、f, g: X → Yは連続写像とします。
fとgがホモトピックであるとは、連続写像
H: X × [0, 1] → Y
が存在して、
H(x, 0) = f(x)
H(x, 1) = g(x)
を満たすことです。
217: 2021/02/19(金)01:43 ID:LaiOc/Pq(13/18) AAS
fとgがホモトピックであるという関係は、同値関係です。
218: 2021/02/19(金)01:44 ID:LaiOc/Pq(14/18) AAS
(1) f 〜 f
H(x, t) = f(x)
とすればよい
219: 2021/02/19(金)01:46 ID:LaiOc/Pq(15/18) AAS
(2) f 〜 g ⇒ g 〜 f
H(x, t) を f 〜 gをimplyする写像とします。
H(x, 1 - t)も連続なので、g 〜 fです。
220: 2021/02/19(金)01:52 ID:LaiOc/Pq(16/18) AAS
(3) f 〜 g, g 〜 h ⇒ f 〜 h
H_1(x, t), H_2(x, t)をそれぞれ、f 〜 g, g 〜 hに対応する連続写像とします。
H(x, t) :=
H_1(x, 2t)（0≦t≦1/2）,
H_2(x, 2t - 1)（1/2≦t≦1）
は連続なので、f 〜 gです。
221: 2021/02/19(金)01:54 ID:LaiOc/Pq(17/18) AAS
× は連続なので、f 〜 gです。
○ は連続なので、f 〜 hです。
222: 2021/02/19(金)01:56 ID:LaiOc/Pq(18/18) AAS
X, Yは位相空間とします。
連続写像f: X → Y, g: Y → Xで、
g○f 〜 id_X
f○g 〜 id_Y
をみたすものが存在するとき、XとYはホモトピックであるといいます。
223: 2021/02/19(金)10:37 ID:EgO2j4ec(1) AAS
空間がホモトピックであることも同値関係です。
224: 2021/02/19(金)10:43 ID:esT7cyjY(1) AAS
オイラーの等式って本当にマイナス１になるんですか？
225: 2021/02/19(金)11:22 ID:2p3Qy8/s(1/4) AAS
(1) X 〜 X
f = g = id_Xと取ればよい
226: 2021/02/19(金)11:22 ID:2p3Qy8/s(2/4) AAS
(2) X 〜 Y ⇒ Y 〜 X
明らか
227: 2021/02/19(金)11:23 ID:2p3Qy8/s(3/4) AAS
(3) X 〜 Y, Y 〜 Z ⇒ X 〜 Z
合成すればいい
228: 2021/02/19(金)11:28 ID:2p3Qy8/s(4/4) AAS
f1: X → Y
g1: Y → X
f2: Y → Z
g2: Z → Y
が、
g1 f1 〜 id_X、f1 g1 〜 id_Y
g2 f2 〜id_Y、f1 g2 〜id_Z
となるとする。
省5
229: 2021/02/19(金)12:17 ID:Td9BKjC7(1) AAS
こう
g1 (g2 f2) f1
〜 g1 id_Y f1
〜 g1 f1
〜 id_X
と簡約できる
230: 2021/02/19(金)15:03 ID:VHVRSD3Y(1/3) AAS
以下、I = [0, 1]とします。
231: 2021/02/19(金)15:03 ID:VHVRSD3Y(2/3) AAS
Xを位相空間とします。
Xのpathとは、連続写像
p: I → X
のことです。
232: 2021/02/19(金)15:06 ID:VHVRSD3Y(3/3) AAS
pの像ではなく、写像pのことです。
たとえば、X = R^2として、
p_1(x) = (cos(2πx), sin(2πx))
p_2(x) = (cos(4πx), sin(4πx))
は区別します。
233(1): 2021/02/19(金)15:36 ID:EFNDtRaT(1/3) AAS
X: 位相空間
Xの2つのpath p, qに対して、その積
q p: I → X
を以下のようにして定めます。
(q p)(t) :=
省2
234: 2021/02/19(金)15:37 ID:EFNDtRaT(2/3) AAS
おっと間違えた
235: 2021/02/19(金)15:37 ID:EFNDtRaT(3/3) AAS
>>233
X: 位相空間
Xの2つのpath p, qで
p(1) = q(0)
を満たすものに対して、その積
q p: I → X
省4
236: 2021/02/23(火)08:01 ID:vanApJm5(1) AAS
2 １３２人目の素数さん[sage] 2021/02/15(月) 11:44:08.70 ID:iT3CrOuB
以下、俺のノート。
集合kに二項演算
+: k × k → k
*: k × k → k
が定義されていて、以下の条件を満たすとき、kは体であるという。
237: 2021/02/23(火)09:34 ID:obVAchpe(1) AAS
>>1
ある事象で正しいからある事象で正しいってコトだろ？
238: 2021/02/23(火)21:09 ID:JQqit+rb(1/3) AAS
Xを位相空間、pをXのpathとする。
p(0) = p(1)
をみたすとき、pはXのloopという。
239: 2021/02/23(火)21:14 ID:JQqit+rb(2/3) AAS
Xを位相空間、x∈Xを任意の点とする。
π_x(X) := { p: Xのloop | p(0) = p(1) = x }/〜
と定める。ただし、p〜qはpとqがホモトピックであることである。
240: 2021/02/23(火)21:22 ID:JQqit+rb(3/3) AAS
Xを位相空間
x∈X
任意の元
[p], [q] ∈ π_x(X)（p, q: Xのloopでp(0) = q(0) = xとなるもの）
に対して、積[q] [p]を
[q] [p] := [q p]
省1
241: 2021/02/25(木)12:58 ID:GxVhs21V(1) AAS
定数でない正則関数は開写像です
では、定数でないC^∞級関数はどうですか？
242: 2021/02/25(木)12:59 ID:5iEq3yNm(1) AAS
テスト関数の台の境界の近傍取れば明らかに違うよね
243(1): 2021/02/25(木)19:10 ID:lS+oaHZS(1) AAS
Aを整域とし、KをAの商体とします。IをAのイデアルとします。
もし、f∈A[X]がIに含まれないならば、fはI K[X]にも含まれないと思います。
どのように示しますか？
おそらく、ガウスの補題を使うのだと思います
244: 2021/02/25(木)20:13 ID:OPAgZpLJ(1) AAS
>>243
ステートメントは異なる（そもそもガウスの補題を使うにはAがUFDでないといけない）が、おそらくあなたが使いたい結果は、永田「可換体論」の補題1.6.6にある
RをUFD、KをRの商体
任意のf∈R[X]と、原始多項式g∈R[X]に対して、K[X]で
f = g h （h∈K[X]）
となるなら、h∈R[X]。
だろう。これは、ガウスの補題と同じ方法で証明可能。
245: 2021/02/28(日)16:16 ID:xU85chhw(1) AAS
>>1
その体系の内部ではね
具体的には公理系のこと
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