[過去ﾛｸﾞ] 数学の証明という理論がわからないです (245ﾚｽ)
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46: 2021/02/15(月)15:23 ID:iT3CrOuB(44/102) AAS
>>45
訂正:
> ∃0∈V; ∀a∈V, 0 + a = a + 0 = a
(2) ∃0∈V; ∀x∈V, 0 + x = x + 0 = x
47: 2021/02/15(月)15:23 ID:iT3CrOuB(45/102) AAS
(3) ∀x∈V, ∃-x∈V; x + (-x) = (-x) + x = 0
48: 2021/02/15(月)15:24 ID:iT3CrOuB(46/102) AAS
(4) x + y = y + x
49: 2021/02/15(月)15:24 ID:iT3CrOuB(47/102) AAS
(5) a(bx) = (ab)x
50: 2021/02/15(月)15:25 ID:iT3CrOuB(48/102) AAS
(6) a(x + y) = ax + ay
51: 2021/02/15(月)15:26 ID:iT3CrOuB(49/102) AAS
(7) (a + b)x = ax + bx
52: 2021/02/15(月)15:29 ID:iT3CrOuB(50/102) AAS
(8) 1∈k, 1x = x
53: 2021/02/15(月)15:29 ID:iT3CrOuB(51/102) AAS
>>42
ベクトル空間の定義>>43-52
54(1): 2021/02/15(月)15:42 ID:iT3CrOuB(52/102) AAS
例:
kを体とする。
k自身は、kの加法を加法、乗法をスカラー倍として、k上のベクトル空間になる。
55(1): 2021/02/15(月)15:52 ID:iT3CrOuB(53/102) AAS
例:
kを体とする。
kの元の順序付けられたn組の集合をk^nと書く。すなわち
k^n := { (x_1, ..., x_n); x_i∈k, 1≦i≦n }。
x = (x_1, ..., x_n), y = (y_1, ..., y_n)∈k^n, a∈kに対して、
x + y := (x_1 + y_1, ..., x_n + y_n)
ax := (ax_1, ..., ax_n)
省1
56: 2021/02/15(月)16:03 ID:iT3CrOuB(54/102) AAS
例:
k = Rの場合。
R^2 = {(x, y); x, y∈R }
R^3 = {(x, y, z); x, y, z∈R }
は、それぞれ通常の座標平面、座標空間である。
57(1): 2021/02/15(月)16:20 ID:iT3CrOuB(55/102) AAS
例:
>>54の意味で、CはC上のベクトル空間である。
一方、Cはスカラー倍をRに制限することで、R上のベクトル空間でもある。すなわち、
x = a + b√-1, y = c + d√-1 (a, b, c, d∈R), r∈Rに対して、
x + y = (a + c) + (b + d)√-1
rx = ra + rb√-1。
58(3): 2021/02/15(月)16:36 ID:iT3CrOuB(56/102) AAS
例:
C^0(R)を、RからRへの連続関数全体の集合とする。すなわち
C^0(R) := {f: R → R; fは連続 }
f, g∈C^0(R), r∈Rに対して、関数(f + g), rf: R → Rを以下で定義する。
x∈Rに対して
省3
59: 2021/02/15(月)17:06 ID:iT3CrOuB(57/102) AAS
>>58
> 連続関数の和と積は再び連続関数になる
証明:
f, g: R → Rを連続関数、a∈Rを任意の点とする。
(f + g)が x = aで連続であることを示す。
正の数εを任意に取る。このとき、正の数δ_f, δ_gを適当に取ることで、
|x - a| < δ_f ⇒ |f(x) - f(a)| < ε/2
|x - a| < δ_g ⇒ |g(x) - g(a)| < ε/2
省19
60: 2021/02/15(月)17:19 ID:iT3CrOuB(58/102) AAS
例:
kを体とする。Xを不定元とするk係数の多項式全体をk[X]と書く。すなわち
k[X] := { a_0 + a_1 X + ... + a_n X^n; n≧0, a_i∈k, 0≦i≦n }。
k[X]は多項式の和を加法、定数倍をスカラー倍として、k上のベクトル空間になる。すなわち
f = ?a_i X^i, g = ?b_i X^i∈k[X], c∈kに対して
省2
61: 2021/02/15(月)17:19 ID:iT3CrOuB(59/102) AAS
>>55
修正:
> k^nはベクトル空間になる。
k^nは、k上のベクトル空間になる。
62: 2021/02/15(月)17:26 ID:iT3CrOuB(60/102) AAS
例:
>>38のQ(√-1)は自身の上のベクトル空間である。
一方、>>57と同様、スカラー倍をQに制限することで、Q上のベクトル空間でもある。
63: 2021/02/15(月)17:34 ID:iT3CrOuB(61/102) AAS
>>42
ベクトル空間の例>>54-62
64(2): 2021/02/15(月)17:43 ID:iT3CrOuB(62/102) AAS
kを体、Vをk上のベクトル空間とする。
部分集合W⊂Vが、以下の(1), (2)を満たすとき、WはVの部分空間であるという。
(1) ∀x, y∈W, x + y∈W
(2) ∀x∈W, ∀a∈k, ax∈W。
65: 2021/02/15(月)17:46 ID:iT3CrOuB(63/102) AAS
例:
kを体、Vをk上のベクトル空間とする。
1点集合{0}およびV自身は、Vの部分空間である。
66: 2021/02/15(月)17:54 ID:iT3CrOuB(64/102) AAS
例:
kを体、Vをk上のベクトル空間とする。
v_1, ..., v_n∈Vに対して、
<v_1, ..., v_n> := { a_1 v_1 + ... + a_n v_n; a_i∈k, 0≦i≦n }
と定める。<v_1, ..., v_n>はVの部分空間である。
部分空間W⊂Vが
省2
67: 2021/02/15(月)18:11 ID:iT3CrOuB(65/102) AAS
例:
kを体、V = k^nとする。
kの元を係数とする連立一次方程式
a_1,1 x_1 + ... + a_1,n x_n = 0
...
a_m,1 x_1 + ... + a_m,n x_n = 0
( a_i,j∈k, 1≦i≦m, 1≦j≦n )
の解(x_1, ..., x_n)の集合は、Vの部分空間である。
省5
68(1): 2021/02/15(月)18:14 ID:iT3CrOuB(66/102) AAS
例:
kを体、V = k[X]とする。
非負整数nに対して、V_nを
V_n := { f∈k[X]; fはn次以下 }
と置くと、V_nはVの部分空間である。
69: 2021/02/15(月)18:35 ID:iT3CrOuB(67/102) AAS
例:
kを体とする。X_1, ..., X_nを不定元とする多変数の多項式全体をk[X_1, ..., X_n]と書く。すなわち、
k[X_1, ..., X_n] := { ?_[I∈{(i_1, ..., i_n)}, 有限和] a_I X^I; a_I∈k}
（ただし、I = (i_1, ..., i_n)に対して、a_I X^I := a_(i_1),...(i_n) X_1^i_1 ... X_n^i_n）
k[X_1, ..., X_n]はk上のベクトル空間である。
V = k[X_1, ..., X_n]とする。
省2
70(2): 2021/02/15(月)18:44 ID:iT3CrOuB(68/102) AAS
例:
>>58と同様に、C^0(R)をRからRへの連続関数全体とする。C^0(R)はR上のベクトル空間である。
正の整数nに対して、部分集合C^n(R)⊂C^0(R)を、n回以上微分可能な関数全体とする。
f, gが微分可能であれば、f + gおよび、実数rに対してrfも微分可能であるから、C^n(R)はC^0(R)の部分空間である。
C^∞(R)をRからRへの何回でも微分可能な関数全体とすれば、これもC^0(R)の部分空間である。
C^0(R) ⊃ C^1(R) ⊃ C^2(R) ⊃ ... ⊃ C^∞(R)
省1
71(2): 2021/02/15(月)18:57 ID:iT3CrOuB(69/102) AAS
例:
>>70の記号で、k = R, V = C^∞(R)とする。
f∈C^∞(R)に対して、
D^n(f) := d^nf/dx^n (n階導関数)
D^0(f) := f
と定める。R係数の微分方程式
?[n=0 to N] a_n D^n(f) = 0
（a_n∈R）
省6
72: 2021/02/15(月)19:00 ID:iT3CrOuB(70/102) AAS
例:
>>71の記号で、
D^2(f) + a^2 f = 0 （a∈R）
を満たすf∈C^∞(R)全体は、
<cos(ax), sin(ax)>
省1
73: 2021/02/15(月)19:24 ID:iT3CrOuB(71/102) AAS
例:
ζ = e^(2πi/5)とおく。ζ^5 = 1である。
CをQ上のベクトル空間と見なして、
Q(ζ) := <1, ζ, ζ^2, ζ^3, ζ^4>
と置くと、これはQベクトル空間としてのCの部分空間である。
α := ζ + ζ^4 = ζ + ζ^(-1)
β := ζ^2 + ζ^3 = ζ^2 + ζ^(-2)
省3
74: 2021/02/15(月)19:25 ID:iT3CrOuB(72/102) AAS
>>64
部分空間の例>>65-73
75(1): 2021/02/15(月)19:32 ID:iT3CrOuB(73/102) AAS
kを体、V, Wをk上のベクトル空間とする。
写像f: V → Wは、以下の(1), (2)を満たすとき、線型写像であるという。
(1) ∀x, y∈V, f(x + y) = f(x) + f(y)
(2) ∀x∈V, ∀a∈k, f(ax) = af(x)
76(1): 2021/02/15(月)19:54 ID:iT3CrOuB(74/102) AAS
例:
kを体とする。正の整数m, nに対して、M_m,n(k)を以下のように定義する。
M_m,n(k) := { (a_i,j)_i,j; a_i,j∈k, 1≦i≦m, 1≦j≦n }
たとえば、M_m,n(k)の元を(m, n)行列という。特にm = nならば、n次正方行列という。
77(1): 2021/02/15(月)19:54 ID:iT3CrOuB(75/102) AAS
>>76
M_m,n(k)は、成分ごとの加法とスカラー倍により、k上のベクトル空間になる。
すなわち、A = (a_i,j), B = (b_i,j)∈M_m,n(k)と、c∈kに対して、
A + B = (a_i,j + b_i,j)
cA = (c a_i,j)
78: 2021/02/15(月)20:01 ID:iT3CrOuB(76/102) AAS
>>77
l, m, nを正の整数とする。
A = (a_i,j)∈M_l,m(k), B = (b_i,j)∈M_m,n(k)に対して、AB∈M_l,n(k)を以下のように定義する。
AB = (?_[k=1 to m] a_i,k b_k,j) (1≦i≦l, 1≦j≦n)
たとえば、
((a b), (c d))(x, y) = (ax + by, cx + dy)
省1
79(2): 2021/02/15(月)20:27 ID:iT3CrOuB(77/102) AAS
例:
kを体、V = k^n, W = k^m。
VはM_n,1(k)、WはM_m,1(k)見なせる。
A∈M_m,n(k)とする。x∈Vに対して、Ax∈Wを対応させる写像
f_A: V → W
は線型写像である。
80: 2021/02/15(月)20:33 ID:iT3CrOuB(78/102) AAS
>>79
kを体、V = k^n, W = k^m, U = k^lとする。
A∈M_m,n(k), B∈M_l,m(k)とすると、線型写像
f_A: V → W
f_B: W → U
が定まるが、この写像の合成と、行列の積はcompatible。すなわち、
f_B ○ f_A = f_BA
省1
81: 2021/02/15(月)20:37 ID:iT3CrOuB(79/102) AAS
例:
k = R, V = R^2とする。
p = (x, y)∈Vは、正の数rと、αを用いて
x = r cos(α)
y = r sin(α)
と書ける。すなわち、p = r (cos(α), sin(α))。
2次正方行列R(θ)を
省6
82(1): 2021/02/15(月)21:22 ID:iT3CrOuB(80/102) AAS
例:
kを体、V = k。a∈kとする。
k = M_1,1(k)だから、aによる掛け算による写像f: V → V
f(x) := ax
は線型写像である。
83: 2021/02/15(月)21:24 ID:iT3CrOuB(81/102) AAS
例:
k = C, V = C。a∈C。
>>82より、f(z) := azで定まるf: V → Vは、線型写像である。
これは、VをR上のベクトル空間として見ても線型写像である。
84: 2021/02/15(月)21:28 ID:iT3CrOuB(82/102) AAS
例:
>>71の記号で、k = R、V = C^∞(R)とする。
D: V → Vは線型写像である。
85: 2021/02/15(月)21:30 ID:iT3CrOuB(83/102) AAS
>>70
訂正:
> C^n(R)⊂C^0(R)を、n回以上微分可能な関数全体とする。
C^n(R)⊂C^0(R)を、n回以上微分可能で、導関数が連続な関数全体とする。
この議論では問題ないと思うが、一般的な定義に合わせる。
86: 2021/02/15(月)21:32 ID:iT3CrOuB(84/102) AAS
例:
k = R, Vをx = aで微分可能なRからRへの関数全体のなすベクトル空間とする。
f: V → Rをx = aでの微分係数を取る写像とすると、fは線型写像である。
87: 2021/02/15(月)21:34 ID:iT3CrOuB(85/102) AAS
例:
>>58の記号で、k = R, V = C^0(R)とする。a∈Rとする
f∈Vに対して、f(a)∈Rを対応させる写像は、線型写像である。
88: 2021/02/15(月)21:36 ID:iT3CrOuB(86/102) AAS
例:
I = [a, b]⊂Rを閉区間とする。
k = R, V = C^0(I)はI上の実数値連続関数全体のなすベクトル空間とする。
Vの元はRiemann積分可能であるから、f∈Vに対して∫_I f dxを対応させる写像が定まる。
この写像は線型写像である。
89: 2021/02/15(月)21:40 ID:iT3CrOuB(87/102) AAS
例:
kを体、V = k[X]とする。
多項式f∈Vに対して、その微分df/dXは以下のように定まる。
f = ?[i=0 to N] a_i x^i
df/dX = ?[i=0 to N-1] (i + 1) a_(i + 1) x^i
fにdf/dXを対応させる写像は線型写像である。
90: 2021/02/15(月)21:42 ID:iT3CrOuB(88/102) AAS
>>75
線型写像の例>>76-89
91(1): 2021/02/15(月)21:46 ID:iT3CrOuB(89/102) AAS
kを体、V, Wをk上のベクトル空間、f: V→Wを線型写像とする。
Ker(f) := { x∈V; f(x) = 0 }
Im(f) := { f(x)∈W; x∈V }
と定める。Ker(f)をfの核、Im(f)をfの像と言う。
92(1): 2021/02/15(月)21:48 ID:iT3CrOuB(90/102) AAS
>>91
命題:
Ker(f), Im(f)はそれぞれV, Wの部分空間である。
93: 2021/02/15(月)21:53 ID:iT3CrOuB(91/102) AAS
>>92
証明:
>>64の性質を確かめればよい。
x, y∈Ker(f)とすると、
f(x + y) = f(x) + f(y) = 0 + 0 = 0
より、x + y∈Ker(f)。
x∈Ker(f), a∈kとすると
f(ax) = a f(x) = a 0 = 0
より、ax∈Ker(f)。
よって、Ker(f)はVの部分空間。
省5
94(1): 2021/02/15(月)21:55 ID:iT3CrOuB(92/102) AAS
命題:
kを体、V, Wをk上のベクトル空間、f: V → Wを線型写像とする。
(1) fが全射 ⇔ Im(f) = W
(2) fが単射 ⇔ Ker(f) = {0}
95: 2021/02/15(月)21:59 ID:iT3CrOuB(93/102) AAS
>>94
証明:
(1)は明らか。
(2)
まず、fが線型写像ならば、f(0) = 0 f(0) = 0である。
したがって、fが単射ならば、f(x) = 0となるx∈Vは0のみである。
逆に、Ker(f) = {0}とする。
x, y∈Vが、f(x) = f(y)を満たすとすると、fが線型写像であることから
f(x - y) = 0
省1
96: 2021/02/15(月)22:10 ID:iT3CrOuB(94/102) AAS
例:
kは体、V = k^n, W = k^mとする。
A = (a_i,j) ∈ M_m,n(k)
とする。>>79の記号で、f_Aは
f_A(x) = Ax
省6
97: 2021/02/15(月)22:17 ID:iT3CrOuB(95/102) AAS
kを体、Vをk上のベクトル空間とする。
x_1, ..., x_n∈Vが一次独立であるとは、以下の条件を満たすことである。
a_1 x_1 + ... + a_n x_n = 0 （a_1, ..., a_n∈k）
⇒ a_1 = ... = a_n = 0
98: 2021/02/15(月)22:31 ID:iT3CrOuB(96/102) AAS
例:
kを体、V = k^nとする。
e_1 := (1, 0, ..., 0),
e_2 := (0, 1, ..., 0),
...,
e_n := (0, 0, ..., 1) ∈ V
は一次独立である。
99: 2021/02/15(月)22:42 ID:iT3CrOuB(97/102) AAS
例:
kは体、Vはk上のベクトル空間とする。
x_1∈Vが一次独立でない
⇔ <x_1> = <0>
x_1, x_2∈Vが一次独立でない
⇔ x_2∈<x_1>
...
省2
100: 2021/02/15(月)22:50 ID:iT3CrOuB(98/102) AAS
例:
kは体、V = k^2。
A = ((a b), (c d))∈M_2,2(k)とする。
連立一次方程式
Ax = 0 --- (*)
を考える。
省1
101: 2021/02/15(月)22:55 ID:iT3CrOuB(99/102) AAS
kは体、V, Wはk上のベクトル空間。f: V → Wは線型写像とする。
fが全単射のとき、同型写像という。
V, Wの間に同型写像f: V → Wが存在するとき、V, Wは同型であるという。
102: 2021/02/15(月)23:16 ID:iT3CrOuB(100/102) AAS
kは体、U, V, Wはk上のベクトル空間
f g
U→V→W
が完全であるとは、Im(f) = Ker(g)となることである。
103: 2021/02/15(月)23:24 ID:iT3CrOuB(101/102) AAS
例:
kは体、V, Wはk上のベクトル空間。f: V → Wは線型写像。
0 → Ker(f) → V → Im(f) → 0
は完全。
104(2): 2021/02/15(月)23:34 ID:iT3CrOuB(102/102) AAS
kは体、Vはk上のベクトル空間。
部分集合B⊂Vが、Vの基底であるとは、以下を満たすことである。
(1) Bの空でない任意の有限部分集合は一次独立。
(2) 任意のx∈Vは、有限個のb_1, ..., b_n∈Bを適当に取れば、x∈<b_1, ..., b_n>とできる。
105(1): 2021/02/16(火)09:02 ID:c/rM9q1s(1/20) AAS
kは体、Vはk上のベクトル空間。
あるx_1, ..., x_n∈Vが存在して
V = <x_1, ..., x_n>
となるとき、Vは有限生成であるという。
まず、ベクトル空間に>>104の意味の基底が存在することを示す。
有限生成でない場合も存在するが、実用性皆無なので、有限生成の場合のみ扱う。
106(1): 2021/02/16(火)09:04 ID:c/rM9q1s(2/20) AAS
>>105
定理:
kは体、Vはk上の有限生成ベクトル空間。
Vには基底が存在する。
107(1): 2021/02/16(火)09:29 ID:c/rM9q1s(3/20) AAS
>>106
証明:
V = <x_1, ..., x_n> --- (1)
とする。集合X = {x_1, ..., x_n}の、一次独立な元からなる部分集合には、包含関係に関する極大元が存在する。
（∵ 有限集合だから。Vが有限生成でないときはZornの補題を使う）
それをB = {b_1, ..., b_d}とする。Bは一次独立なので、
V = <b_1, ..., b_d>
を示せばよい。⊃は明らかだから、⊂を示す。
108(1): 2021/02/16(火)09:32 ID:c/rM9q1s(4/20) AAS
>>107
簡単のため、元の順番を入れ替えて、
b_1 = x_1, ..., b_d = x_d （d≦n）
とする。まず、
x_(d+1), ..., x_n∈<b_1, ..., b_d>
であることを示す。
省5
109: 2021/02/16(火)09:33 ID:c/rM9q1s(5/20) AAS
>>108
x∈Vとする。(1)より
x = a_1 x_1 + ... + a_n x_n
と書ける。x_iはすべて<b_1, ..., b_d>に属するから
x∈<b_1, ..., b_d>
である。□
110(6): 2021/02/16(火)09:47 ID:c/rM9q1s(6/20) AAS
定理:
kを体、Vを有限生成ベクトル空間とする。
Vの基底の濃度は、取り方によらず一定である。
111(3): 2021/02/16(火)11:58 ID:c/rM9q1s(7/20) AAS
>>110
証明:
B = {b_1, ..., b_d}, B' = {b'_1, ..., b'_d'}をVの基底とする。
このとき、(d', d)行列A = (a_i,j)と、(d, d')行列A' = (a'_i,j)があって、
b'_i = ?[j=1 to d] a_i,j b_j（1≦i≦d'）
b_i = ?[j=1 to d'] a'_i,j b'_j（1≦i≦d）
を満たす。このとき、
省3
112(1): 2021/02/16(火)12:02 ID:c/rM9q1s(8/20) AAS
>>111
n次正方行列A = (a_i,j)に対して、Aのトレースを
tr(A) = ?[i=1 to n] a_i,i =a_1,1 + ... + a_n,n
で定義する。
補題:
Aを(m,n)行列、Bを(n,m)行列とする。このとき、
省3
113: 2021/02/16(火)12:03 ID:c/rM9q1s(9/20) AAS
>>111
>>112より
d = tr(A' A) = tr(A A') = d'。□
114: 2021/02/16(火)12:06 ID:c/rM9q1s(10/20) AAS
kを体、Vをk上の有限生成ベクトル空間とする。
>>110より、Vの基底の濃度は一定であるから、その値をdim(V)と書き、Vの次元という。また、dim(V) = n < ∞であるとき、Vは有限次元、特にn次元であるという。
115: 2021/02/16(火)12:28 ID:c/rM9q1s(11/20) AAS
>>104の定義では、基底は集合なので順序は関係ないが、
>>111の証明にもあるように複数の基底関で係数を変換する行列などを考えることが多いので、
以後、基底B = {b_1, ..., b_d}を
b = (b_1, ..., b_d)
のように並べ方まで考慮して書くことがある。
116(3): 2021/02/16(火)12:44 ID:c/rM9q1s(12/20) AAS
次の補題は、部分空間の基底を適当に延長して、全体の基底にできることを言っている。
補題:
kを体、Vをn次元ベクトル空間とする。
b = (b_1, ..., b_n)
をVの基底とする。1≦k≦nとし、{x_1, ..., x_k}⊂Vを一次独立な部分集合とする。このとき、bの適当なn - k個の元
省4
117: 2021/02/16(火)13:35 ID:c/rM9q1s(13/20) AAS
>>116
証明:
n - kの帰納法で示す。
k = nのとき。
>>110より、n次元ベクトル空間のn+1個以上の元は必ず一次従属になる。よって、b_iはすべて<x_1, ..., x_k>に属する。
bはVの基底なので、<x_1, ..., x_k> = Vである。x_1, ..., x_kは一次独立なので、これは基底である。
k < nのとき。
>>110より、<x_1, ..., x_k> ≠ Vである。よって、<x_1, ..., x_k>に含まれないb_iがある。{x_1, ..., x_k, b_i}は一次独立であるから、帰納法の仮定より、bの元をさらにn-k-1個加えてVの基底にできる。□
118(2): 2021/02/16(火)13:43 ID:c/rM9q1s(14/20) AAS
命題:
kを体、Vをk上の有限次元ベクトル空間、W⊂Vを部分空間とする。このとき
dim(W) ≦ dim(V)
である。
119(2): 2021/02/16(火)13:47 ID:c/rM9q1s(15/20) AAS
>>118
補題:
kを体、Vをk上の有限次元ベクトル空間、W⊂Vを部分空間とする。このとき、Wも有限生成である。
120: 2021/02/16(火)14:00 ID:c/rM9q1s(16/20) AAS
>>119
これはベクトル空間以外の代数構造では成り立つとは限らない。
たとえば、多項式環k[X, Y]は、k上の多元環として1, X, Yで生成されるが、
その部分環
k[X, XY, XY^2, ...]
はk上の多元環として有限生成ではない。
121(1): 2021/02/16(火)14:27 ID:c/rM9q1s(17/20) AAS
AA省
122: 2021/02/16(火)14:35 ID:c/rM9q1s(18/20) AAS
>>118
証明:
>>121よりWの基底
b = (b_1, ..., b_k)
が存在するが、>>110よりVの一次独立な元の個数はdim(V)以下なので、dim(W) = k ≦ dim(V)。□
123(1): 2021/02/16(火)14:50 ID:c/rM9q1s(19/20) AAS
>>110
この形で使っているようなので、証明しておく。
系:
kを体、Vをk上のベクトル空間。
W = <b_1, ..., b_k>⊂V
とする。{x_1, ..., x_l}⊂Wが一次独立とすると、
省2
124: 2021/02/16(火)16:04 ID:c/rM9q1s(20/20) AAS
方針変換。
ベクトル空間の一般論を確立してから、連立一次方程式をやろうと思ったけど、先に連立一次方程式をやる
>>123
証明:
W = <b_1, ..., b_k>より、(l, k)行列A = (a_i,j)が存在して
x_1 = a_1,1 b_1 + ... + a_l,k b_k
...
x_l = a_l,1 b_1 + ... + a_l,k b_k
となる。
省1
125(1): 2021/02/16(火)23:32 ID:dluONYOe(1/5) AAS
定理:
kを体、V, Wをk上有限次元ベクトル空間、f: V→Wを線型写像とする。このとき
dim(Im(f)) = dim(V) - dim(Ker(f))。
126(2): 2021/02/16(火)23:54 ID:dluONYOe(2/5) AAS
>>125
証明:
dim(V) = n、dim(Ker(f)) = k、(b_1, ..., b_k)をKer(f)の基底とする。
>>116より、Vの適当な元b_(k+1), ..., b_nを取ることにより、
B = (b_1, ..., b_n)
をVの基底にできる。
B' = (f(b_(k+1)), ..., f(b_n))
省11
127(2): 2021/02/16(火)23:55 ID:dluONYOe(3/5) AAS
>>126
補題:
kを体、Vをk上のベクトル空間。
U, W⊂Vが部分空間
⇒U∩Wも部分空間
128: 2021/02/16(火)23:56 ID:dluONYOe(4/5) AAS
>>127
証明:
明らか
129(2): 2021/02/16(火)23:59 ID:dluONYOe(5/5) AAS
>>126
kを体、Vをk上の有限次元ベクトル空間、U, W⊂Vを部分空間とする。
>>127よりU∩WはVの部分空間であり、
dim(U⊕W) = dim(U) + dim(W) - dim(U∩W)
が成り立つ。
130: 2021/02/17(水)00:00 ID:roaJxwbL(1/2) AAS
>>129
証明:
>>116を使えばいい
131: 2021/02/17(水)00:19 ID:8rLvZi8O(1) AAS
ようやくルベーグに進んだと思ったら結局また線形に逆戻り、か……
132: 2021/02/17(水)09:37 ID:roaJxwbL(2/2) AAS
>>129
訂正:
> dim(U⊕W) = dim(U) + dim(W) - dim(U∩W)
dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U∩W)
U + W := { u + w; u∈U, w∈W }
133(1): 2021/02/17(水)19:39 ID:je7Fy8iq(1) AAS
「選択公理がないと証明できない」という命題はどうやって証明するんだろな。
ハーンバナッハの定理は選択公理無しには証明できないらしい。
134: 2021/02/17(水)20:07 ID:zld65fln(1) AAS
>>133
＞ハーンバナッハの定理は選択公理無しには証明できないらしい。
というのはガセ
135: 2021/02/18(木)15:55 ID:nRIK6KzM(1/10) AAS
非数学科の学生です。
数学科の同級生に問題を出してもらったので、解きます。
136: 2021/02/18(木)15:55 ID:nRIK6KzM(2/10) AAS
解けました。
137(1): 2021/02/18(木)15:56 ID:nRIK6KzM(3/10) AAS
問題
Xをコンパクト位相空間とする。
Xの閉部分集合はコンパクトである。
138: 2021/02/18(木)15:56 ID:nRIK6KzM(4/10) AAS
まず、用語を確認しました。
139: 2021/02/18(木)16:00 ID:nRIK6KzM(5/10) AAS
定義1.
位相空間Xがコンパクトであるとは、Xの任意の開被覆
U = {U_i} s. t. X = ∪ U_i
に対して、有限個のU'_1, ..., U'_n∈Uを選んで、
X = U'_1∪ ... ∪ U'_n
とできることを言います。
140: 2021/02/18(木)16:01 ID:nRIK6KzM(6/10) AAS
また、位相空間Xの部分集合Sがコンパクトであるとは、
SにXの相対位相を入れたときにコンパクトになることを言います。
141: 2021/02/18(木)16:04 ID:nRIK6KzM(7/10) AAS
次に、コンパクト位相空間の例を考えました。
142(1): 2021/02/18(木)16:05 ID:nRIK6KzM(8/10) AAS
まず、任意の有限集合はコンパクトです。
なぜならば、有限集合には有限個の開集合しか存在しないからです。
143(1): 2021/02/18(木)16:07 ID:nRIK6KzM(9/10) AAS
Xを実直線Rとします。
Rの有界閉区間[a, b]はコンパクトです。
これは、次の方法で証明できます。
144: 2021/02/18(木)16:14 ID:nRIK6KzM(10/10) AAS
(1) まず、[a, b] = [0, 1]としてよいです。
a = bならば、>>142よりこれはコンパクトです。
そうでなければ、f: [0, 1] → [a, b]を
y = f(x) = (b - a)x + a
で定めると、これは連続全単射で、逆写像
省2
145: 2021/02/18(木)17:39 ID:umGW1Vqs(1/10) AAS
(2) [0, 1]がコンパクトでないとして、矛盾を導きます。
I = [0, 1]とします。
Uを、Iの無限個の開集合による開被覆とします。
I = [0, 1/2] ∪ [1/2, 1]
なので、Iがコンパクトでないとすると、[0, 1/2], [1/2, 1]の少なくとも一方は、Uの有限個の開集合で被覆できません。
なぜならば、両方の区間がともにUの有限公個の開集合で被覆できると、それはIの被覆でもあるため、Iがコンパクトになるからです。
簡単のため、[0, 1/2]が、Uの有限個の開集合で被覆できないとします。 --- (*)
省15
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