[過去ﾛｸﾞ] 数学の証明という理論がわからないです (245ﾚｽ)
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1(2): 2021/02/15(月)11:24 ID:/E2KyCsI(1) AAS
ある事象で正しいからそれは正しい
それって正しいの？
2(2): 2021/02/15(月)11:44 ID:iT3CrOuB(1/102) AAS
以下、俺のノート。
集合kに二項演算
+: k × k → k
*: k × k → k
が定義されていて、以下の条件を満たすとき、kは体であるという。
3: 2021/02/15(月)11:45 ID:iT3CrOuB(2/102) AAS
a, b, c ∈ kを任意の元とする。
4: 2021/02/15(月)11:45 ID:iT3CrOuB(3/102) AAS
(1) (a + b) + c = a + (b + c)
5(1): 2021/02/15(月)11:47 ID:iT3CrOuB(4/102) AAS
(2) ∃0∈k; ∀a∈k, 0 + a = a + 0 = a
6(1): 2021/02/15(月)11:48 ID:iT3CrOuB(5/102) AAS
(3) ∀a∈k, ∃-a∈k; a + (-a) = (-a) + a = 0
7: 2021/02/15(月)11:48 ID:iT3CrOuB(6/102) AAS
(4) a + b = b + a
8: 2021/02/15(月)11:50 ID:iT3CrOuB(7/102) AAS
(5) (ab)c = a(bc)
9: 2021/02/15(月)11:50 ID:iT3CrOuB(8/102) AAS
(6) a(b + c) = ab + ac
10: 2021/02/15(月)11:50 ID:iT3CrOuB(9/102) AAS
(7) (a + b)c = ac + bc
11(2): 2021/02/15(月)11:51 ID:iT3CrOuB(10/102) AAS
(8) ∃1∈k; ∀a∈k, 1a = a1 = 1
12(1): 2021/02/15(月)11:53 ID:iT3CrOuB(11/102) AAS
>>11
訂正:
> ∃1∈k; ∀a∈k, 1a = a1 = 1
∃1∈k; ∀a∈k, 1a = a1 = a
13: 2021/02/15(月)11:53 ID:iT3CrOuB(12/102) AAS
(9) ab = ba
14(2): 2021/02/15(月)11:54 ID:iT3CrOuB(13/102) AAS
(10) ∀a∈k, ∃a^(-1)∈k; aa^(-1) = a^(-1)a = 1
15(1): 2021/02/15(月)11:54 ID:iT3CrOuB(14/102) AAS
>>14
訂正:
> ∀a∈k, ∃a^(-1)∈k; aa^(-1) = a^(-1)a = 1
∀a∈k＼{0}, ∃a^(-1)∈k; aa^(-1) = a^(-1)a = 1
16(1): 2021/02/15(月)12:00 ID:iT3CrOuB(15/102) AAS
例:
有理数全体の集合Q, 実数全体の集合R, 複素数全体の集合Cは、通常の加法と乗法について体となる。
17(1): 2021/02/15(月)12:04 ID:iT3CrOuB(16/102) AAS
例:
有理整数の全体Zは、通常の加法と乗法について、体ではない。
±1以外の元が、Z内に乗法の逆元を持たないからである。
18(1): 2021/02/15(月)12:18 ID:IAiw4Ym0(1) AAS
例:
1元からなる集合{0}に、
0 + 0 = 0
0 0 = 0
で演算を定めたものは、体**でない**と定める。
19: 2021/02/15(月)12:23 ID:iT3CrOuB(17/102) AAS
kを体とする。
n1 = 1 + 1 + ... + 1 (n個) = 0
となる正の整数nが存在するとき、その最小のnをkの標数という。
そのようなnが存在しないとき、kの標数は0であると定める。
20(1): 2021/02/15(月)12:25 ID:iT3CrOuB(18/102) AAS
命題
kを体とする。kの標数は0でなければ素数である。
21(2): 2021/02/15(月)12:27 ID:iT3CrOuB(19/102) AAS
補題
体は整域である。すなわち、a, b∈kに対して
ab = 0 ⇒ a = 0 or b =0
が成り立つ。
22(2): 2021/02/15(月)12:30 ID:iT3CrOuB(20/102) AAS
命題:
kを体とする。任意のa∈kに対して、
0a = a0 = 0
である。
23(1): 2021/02/15(月)12:31 ID:iT3CrOuB(21/102) AAS
補題:
kを体とする。任意のa∈kに対して、
(-1)a = -a
24(1): 2021/02/15(月)12:36 ID:iT3CrOuB(22/102) AAS
補題:
kを体とする。加法の単位元0、乗法の単位元1は一意的である。
25(2): 2021/02/15(月)12:38 ID:iT3CrOuB(23/102) AAS
補題:
kを体とする。加法の逆元、乗法の逆元は一意的である。
26: 2021/02/15(月)12:41 ID:iT3CrOuB(24/102) AAS
>>24
証明:
0'∈kが>>5を満たすとすると
0' = 0' + 0 = 0。
1'が>>11-12を満たすとすると
1' = 1' 1 = 1。□
27: 2021/02/15(月)12:45 ID:iT3CrOuB(25/102) AAS
>>25
証明:
a∈kを任意の元とする。-a'が>>6を満たすとする。
-a' = (-a + a) + -a' = -a + (a + -a') = -a。
a∈kを0でない任意の元とする。a'^(-1)が>>14-15を満たすとする。
a'^(-1) = (a^(-1)a)a'^(-1) = a^(-1)(aa'^(-1)) = a^(-1)。□
28: 2021/02/15(月)12:48 ID:iT3CrOuB(26/102) AAS
>>22
証明:
0a
= (0 + 0)a
= 0a + 0a
∴ 0a = 0。
a0
= a(0 + 0)
= a0 + a0
∴ a0 = 0。□
29: 2021/02/15(月)12:49 ID:iT3CrOuB(27/102) AAS
>>23
証明:
a + (-1)a
= (1 + (-1))a
= 0a
= 0
>>25より、(-1)a = -a。□
30: 2021/02/15(月)12:58 ID:iT3CrOuB(28/102) AAS
>>21
証明:
対偶を示す。
a≠0 and b≠0とする。このとき
a^(-1)abb^(-1) = 1 ≠ 0。
>>22より、ab = 0 ならば上記の左辺も0なので、
省1
31: 2021/02/15(月)13:05 ID:iT3CrOuB(29/102) AAS
>>20
証明:
正の整数nに対して、n1 = 0とする。
n = abならば、ab1 = = (a1)(b1) = 0。
よって、>>21より
a1 = 0 or b1 = 0
となるので、nが素数でなければ、n'1 = 0となるnよりも小さい正の整数n'が存在する。□
32(2): 2021/02/15(月)13:16 ID:iT3CrOuB(30/102) AAS
例:
pを素数とする。
Z/pZ := { [0], [1], ..., [p-1]}
[k] := {n∈Z; n ≡ k (mod p)}
とする。すなわち、n ≡ k (mod p)⇔ [n] = [k]である。
33(2): 2021/02/15(月)13:19 ID:iT3CrOuB(31/102) AAS
>>32
Z/pZには加法と乗法が
[a] + [b] = [a + b]
[a] [b] = [ab]
で定まり、>>4-15を満たす。
34(2): 2021/02/15(月)13:21 ID:iT3CrOuB(32/102) AAS
>>33
>>4-13までは、剰余の定義から直ちに従う。
Z/pZが乗法の逆元を持つことを示す。
35(2): 2021/02/15(月)13:22 ID:iT3CrOuB(33/102) AAS
>>34
補題:
a, b∈Zとする。aとbが互いに素ならば、
na + mb = 1
を満たす整数n, mが存在する。
36: 2021/02/15(月)13:34 ID:iT3CrOuB(34/102) AAS
>>35
証明:
a, bを任意の整数とし、Dをa, bの最大公約数とする。
L = {na + mb; n, m∈Z, na + mb > 0}
とおく。
Lは自然数の空でない部分集合であるから、最小元が存在する。それを
省8
37: 2021/02/15(月)13:38 ID:iT3CrOuB(35/102) AAS
>>34
aをpを法として1, ..., p - 1のいずれかに合同な整数とする。aはpと互いに素であるから、>>35より、
na ≡ 1 (mod p)
となる整数nが存在する。これは、Z/pZが乗法の逆元を持つことを意味する。□
38(2): 2021/02/15(月)13:44 ID:iT3CrOuB(36/102) AAS
例:
Q(√-1) := { a + b√-1; a, b∈Q }
は
(a + b√-1) + (c + d√-1) := (a + c) + (b + d)√-1
(a + b√-1)(c + d√-1) := (ac - bd) + (ad + bc)√-1
により体になる。a + b√-1 ≠ 0の逆元は
省2
39(1): 2021/02/15(月)13:50 ID:iT3CrOuB(37/102) AAS
例:
kを体とする。Xを不定元とし、k(X)で一変数の有理式全体の集合を表す。すなわち
k(X) := { f/g; f, gはXの多項式。g≠0 }
k(X)は自然な加法と乗法について体になる。
k(X)の標数は、kの標数と等しい。
40: 2021/02/15(月)13:53 ID:iT3CrOuB(38/102) AAS
>>2
体の例:
>>16-18
>>32-33
>>38-39
41: 2021/02/15(月)13:54 ID:iT3CrOuB(39/102) AAS
>>2
体の公理
>>3-15
42(2): 2021/02/15(月)14:01 ID:iT3CrOuB(40/102) AAS
kを体とする。
集合Vに加法
+: V × V → V
とスカラー倍
*: k × V → V
が定まり、以下を満たすとき、Vをk上のベクトル空間であるという。
43: 2021/02/15(月)15:18 ID:iT3CrOuB(41/102) AAS
x, y, z∈V、a, b∈kを任意の元とする。
44: 2021/02/15(月)15:19 ID:iT3CrOuB(42/102) AAS
(1) (x + y) + z = x + (y + z)
45(1): 2021/02/15(月)15:20 ID:iT3CrOuB(43/102) AAS
(2) ∃0∈V; ∀a∈V, 0 + a = a + 0 = a
46: 2021/02/15(月)15:23 ID:iT3CrOuB(44/102) AAS
>>45
訂正:
> ∃0∈V; ∀a∈V, 0 + a = a + 0 = a
(2) ∃0∈V; ∀x∈V, 0 + x = x + 0 = x
47: 2021/02/15(月)15:23 ID:iT3CrOuB(45/102) AAS
(3) ∀x∈V, ∃-x∈V; x + (-x) = (-x) + x = 0
48: 2021/02/15(月)15:24 ID:iT3CrOuB(46/102) AAS
(4) x + y = y + x
49: 2021/02/15(月)15:24 ID:iT3CrOuB(47/102) AAS
(5) a(bx) = (ab)x
50: 2021/02/15(月)15:25 ID:iT3CrOuB(48/102) AAS
(6) a(x + y) = ax + ay
51: 2021/02/15(月)15:26 ID:iT3CrOuB(49/102) AAS
(7) (a + b)x = ax + bx
52: 2021/02/15(月)15:29 ID:iT3CrOuB(50/102) AAS
(8) 1∈k, 1x = x
53: 2021/02/15(月)15:29 ID:iT3CrOuB(51/102) AAS
>>42
ベクトル空間の定義>>43-52
54(1): 2021/02/15(月)15:42 ID:iT3CrOuB(52/102) AAS
例:
kを体とする。
k自身は、kの加法を加法、乗法をスカラー倍として、k上のベクトル空間になる。
55(1): 2021/02/15(月)15:52 ID:iT3CrOuB(53/102) AAS
例:
kを体とする。
kの元の順序付けられたn組の集合をk^nと書く。すなわち
k^n := { (x_1, ..., x_n); x_i∈k, 1≦i≦n }。
x = (x_1, ..., x_n), y = (y_1, ..., y_n)∈k^n, a∈kに対して、
x + y := (x_1 + y_1, ..., x_n + y_n)
ax := (ax_1, ..., ax_n)
省1
56: 2021/02/15(月)16:03 ID:iT3CrOuB(54/102) AAS
例:
k = Rの場合。
R^2 = {(x, y); x, y∈R }
R^3 = {(x, y, z); x, y, z∈R }
は、それぞれ通常の座標平面、座標空間である。
57(1): 2021/02/15(月)16:20 ID:iT3CrOuB(55/102) AAS
例:
>>54の意味で、CはC上のベクトル空間である。
一方、Cはスカラー倍をRに制限することで、R上のベクトル空間でもある。すなわち、
x = a + b√-1, y = c + d√-1 (a, b, c, d∈R), r∈Rに対して、
x + y = (a + c) + (b + d)√-1
rx = ra + rb√-1。
58(3): 2021/02/15(月)16:36 ID:iT3CrOuB(56/102) AAS
例:
C^0(R)を、RからRへの連続関数全体の集合とする。すなわち
C^0(R) := {f: R → R; fは連続 }
f, g∈C^0(R), r∈Rに対して、関数(f + g), rf: R → Rを以下で定義する。
x∈Rに対して
省3
59: 2021/02/15(月)17:06 ID:iT3CrOuB(57/102) AAS
>>58
> 連続関数の和と積は再び連続関数になる
証明:
f, g: R → Rを連続関数、a∈Rを任意の点とする。
(f + g)が x = aで連続であることを示す。
正の数εを任意に取る。このとき、正の数δ_f, δ_gを適当に取ることで、
|x - a| < δ_f ⇒ |f(x) - f(a)| < ε/2
|x - a| < δ_g ⇒ |g(x) - g(a)| < ε/2
省19
60: 2021/02/15(月)17:19 ID:iT3CrOuB(58/102) AAS
例:
kを体とする。Xを不定元とするk係数の多項式全体をk[X]と書く。すなわち
k[X] := { a_0 + a_1 X + ... + a_n X^n; n≧0, a_i∈k, 0≦i≦n }。
k[X]は多項式の和を加法、定数倍をスカラー倍として、k上のベクトル空間になる。すなわち
f = ?a_i X^i, g = ?b_i X^i∈k[X], c∈kに対して
省2
61: 2021/02/15(月)17:19 ID:iT3CrOuB(59/102) AAS
>>55
修正:
> k^nはベクトル空間になる。
k^nは、k上のベクトル空間になる。
62: 2021/02/15(月)17:26 ID:iT3CrOuB(60/102) AAS
例:
>>38のQ(√-1)は自身の上のベクトル空間である。
一方、>>57と同様、スカラー倍をQに制限することで、Q上のベクトル空間でもある。
63: 2021/02/15(月)17:34 ID:iT3CrOuB(61/102) AAS
>>42
ベクトル空間の例>>54-62
64(2): 2021/02/15(月)17:43 ID:iT3CrOuB(62/102) AAS
kを体、Vをk上のベクトル空間とする。
部分集合W⊂Vが、以下の(1), (2)を満たすとき、WはVの部分空間であるという。
(1) ∀x, y∈W, x + y∈W
(2) ∀x∈W, ∀a∈k, ax∈W。
65: 2021/02/15(月)17:46 ID:iT3CrOuB(63/102) AAS
例:
kを体、Vをk上のベクトル空間とする。
1点集合{0}およびV自身は、Vの部分空間である。
66: 2021/02/15(月)17:54 ID:iT3CrOuB(64/102) AAS
例:
kを体、Vをk上のベクトル空間とする。
v_1, ..., v_n∈Vに対して、
<v_1, ..., v_n> := { a_1 v_1 + ... + a_n v_n; a_i∈k, 0≦i≦n }
と定める。<v_1, ..., v_n>はVの部分空間である。
部分空間W⊂Vが
省2
67: 2021/02/15(月)18:11 ID:iT3CrOuB(65/102) AAS
例:
kを体、V = k^nとする。
kの元を係数とする連立一次方程式
a_1,1 x_1 + ... + a_1,n x_n = 0
...
a_m,1 x_1 + ... + a_m,n x_n = 0
( a_i,j∈k, 1≦i≦m, 1≦j≦n )
の解(x_1, ..., x_n)の集合は、Vの部分空間である。
省5
68(1): 2021/02/15(月)18:14 ID:iT3CrOuB(66/102) AAS
例:
kを体、V = k[X]とする。
非負整数nに対して、V_nを
V_n := { f∈k[X]; fはn次以下 }
と置くと、V_nはVの部分空間である。
69: 2021/02/15(月)18:35 ID:iT3CrOuB(67/102) AAS
例:
kを体とする。X_1, ..., X_nを不定元とする多変数の多項式全体をk[X_1, ..., X_n]と書く。すなわち、
k[X_1, ..., X_n] := { ?_[I∈{(i_1, ..., i_n)}, 有限和] a_I X^I; a_I∈k}
（ただし、I = (i_1, ..., i_n)に対して、a_I X^I := a_(i_1),...(i_n) X_1^i_1 ... X_n^i_n）
k[X_1, ..., X_n]はk上のベクトル空間である。
V = k[X_1, ..., X_n]とする。
省2
70(2): 2021/02/15(月)18:44 ID:iT3CrOuB(68/102) AAS
例:
>>58と同様に、C^0(R)をRからRへの連続関数全体とする。C^0(R)はR上のベクトル空間である。
正の整数nに対して、部分集合C^n(R)⊂C^0(R)を、n回以上微分可能な関数全体とする。
f, gが微分可能であれば、f + gおよび、実数rに対してrfも微分可能であるから、C^n(R)はC^0(R)の部分空間である。
C^∞(R)をRからRへの何回でも微分可能な関数全体とすれば、これもC^0(R)の部分空間である。
C^0(R) ⊃ C^1(R) ⊃ C^2(R) ⊃ ... ⊃ C^∞(R)
省1
71(2): 2021/02/15(月)18:57 ID:iT3CrOuB(69/102) AAS
例:
>>70の記号で、k = R, V = C^∞(R)とする。
f∈C^∞(R)に対して、
D^n(f) := d^nf/dx^n (n階導関数)
D^0(f) := f
と定める。R係数の微分方程式
?[n=0 to N] a_n D^n(f) = 0
（a_n∈R）
省6
72: 2021/02/15(月)19:00 ID:iT3CrOuB(70/102) AAS
例:
>>71の記号で、
D^2(f) + a^2 f = 0 （a∈R）
を満たすf∈C^∞(R)全体は、
<cos(ax), sin(ax)>
省1
73: 2021/02/15(月)19:24 ID:iT3CrOuB(71/102) AAS
例:
ζ = e^(2πi/5)とおく。ζ^5 = 1である。
CをQ上のベクトル空間と見なして、
Q(ζ) := <1, ζ, ζ^2, ζ^3, ζ^4>
と置くと、これはQベクトル空間としてのCの部分空間である。
α := ζ + ζ^4 = ζ + ζ^(-1)
β := ζ^2 + ζ^3 = ζ^2 + ζ^(-2)
省3
74: 2021/02/15(月)19:25 ID:iT3CrOuB(72/102) AAS
>>64
部分空間の例>>65-73
75(1): 2021/02/15(月)19:32 ID:iT3CrOuB(73/102) AAS
kを体、V, Wをk上のベクトル空間とする。
写像f: V → Wは、以下の(1), (2)を満たすとき、線型写像であるという。
(1) ∀x, y∈V, f(x + y) = f(x) + f(y)
(2) ∀x∈V, ∀a∈k, f(ax) = af(x)
76(1): 2021/02/15(月)19:54 ID:iT3CrOuB(74/102) AAS
例:
kを体とする。正の整数m, nに対して、M_m,n(k)を以下のように定義する。
M_m,n(k) := { (a_i,j)_i,j; a_i,j∈k, 1≦i≦m, 1≦j≦n }
たとえば、M_m,n(k)の元を(m, n)行列という。特にm = nならば、n次正方行列という。
77(1): 2021/02/15(月)19:54 ID:iT3CrOuB(75/102) AAS
>>76
M_m,n(k)は、成分ごとの加法とスカラー倍により、k上のベクトル空間になる。
すなわち、A = (a_i,j), B = (b_i,j)∈M_m,n(k)と、c∈kに対して、
A + B = (a_i,j + b_i,j)
cA = (c a_i,j)
78: 2021/02/15(月)20:01 ID:iT3CrOuB(76/102) AAS
>>77
l, m, nを正の整数とする。
A = (a_i,j)∈M_l,m(k), B = (b_i,j)∈M_m,n(k)に対して、AB∈M_l,n(k)を以下のように定義する。
AB = (?_[k=1 to m] a_i,k b_k,j) (1≦i≦l, 1≦j≦n)
たとえば、
((a b), (c d))(x, y) = (ax + by, cx + dy)
省1
79(2): 2021/02/15(月)20:27 ID:iT3CrOuB(77/102) AAS
例:
kを体、V = k^n, W = k^m。
VはM_n,1(k)、WはM_m,1(k)見なせる。
A∈M_m,n(k)とする。x∈Vに対して、Ax∈Wを対応させる写像
f_A: V → W
は線型写像である。
80: 2021/02/15(月)20:33 ID:iT3CrOuB(78/102) AAS
>>79
kを体、V = k^n, W = k^m, U = k^lとする。
A∈M_m,n(k), B∈M_l,m(k)とすると、線型写像
f_A: V → W
f_B: W → U
が定まるが、この写像の合成と、行列の積はcompatible。すなわち、
f_B ○ f_A = f_BA
省1
81: 2021/02/15(月)20:37 ID:iT3CrOuB(79/102) AAS
例:
k = R, V = R^2とする。
p = (x, y)∈Vは、正の数rと、αを用いて
x = r cos(α)
y = r sin(α)
と書ける。すなわち、p = r (cos(α), sin(α))。
2次正方行列R(θ)を
省6
82(1): 2021/02/15(月)21:22 ID:iT3CrOuB(80/102) AAS
例:
kを体、V = k。a∈kとする。
k = M_1,1(k)だから、aによる掛け算による写像f: V → V
f(x) := ax
は線型写像である。
83: 2021/02/15(月)21:24 ID:iT3CrOuB(81/102) AAS
例:
k = C, V = C。a∈C。
>>82より、f(z) := azで定まるf: V → Vは、線型写像である。
これは、VをR上のベクトル空間として見ても線型写像である。
84: 2021/02/15(月)21:28 ID:iT3CrOuB(82/102) AAS
例:
>>71の記号で、k = R、V = C^∞(R)とする。
D: V → Vは線型写像である。
85: 2021/02/15(月)21:30 ID:iT3CrOuB(83/102) AAS
>>70
訂正:
> C^n(R)⊂C^0(R)を、n回以上微分可能な関数全体とする。
C^n(R)⊂C^0(R)を、n回以上微分可能で、導関数が連続な関数全体とする。
この議論では問題ないと思うが、一般的な定義に合わせる。
86: 2021/02/15(月)21:32 ID:iT3CrOuB(84/102) AAS
例:
k = R, Vをx = aで微分可能なRからRへの関数全体のなすベクトル空間とする。
f: V → Rをx = aでの微分係数を取る写像とすると、fは線型写像である。
87: 2021/02/15(月)21:34 ID:iT3CrOuB(85/102) AAS
例:
>>58の記号で、k = R, V = C^0(R)とする。a∈Rとする
f∈Vに対して、f(a)∈Rを対応させる写像は、線型写像である。
88: 2021/02/15(月)21:36 ID:iT3CrOuB(86/102) AAS
例:
I = [a, b]⊂Rを閉区間とする。
k = R, V = C^0(I)はI上の実数値連続関数全体のなすベクトル空間とする。
Vの元はRiemann積分可能であるから、f∈Vに対して∫_I f dxを対応させる写像が定まる。
この写像は線型写像である。
89: 2021/02/15(月)21:40 ID:iT3CrOuB(87/102) AAS
例:
kを体、V = k[X]とする。
多項式f∈Vに対して、その微分df/dXは以下のように定まる。
f = ?[i=0 to N] a_i x^i
df/dX = ?[i=0 to N-1] (i + 1) a_(i + 1) x^i
fにdf/dXを対応させる写像は線型写像である。
90: 2021/02/15(月)21:42 ID:iT3CrOuB(88/102) AAS
>>75
線型写像の例>>76-89
91(1): 2021/02/15(月)21:46 ID:iT3CrOuB(89/102) AAS
kを体、V, Wをk上のベクトル空間、f: V→Wを線型写像とする。
Ker(f) := { x∈V; f(x) = 0 }
Im(f) := { f(x)∈W; x∈V }
と定める。Ker(f)をfの核、Im(f)をfの像と言う。
92(1): 2021/02/15(月)21:48 ID:iT3CrOuB(90/102) AAS
>>91
命題:
Ker(f), Im(f)はそれぞれV, Wの部分空間である。
93: 2021/02/15(月)21:53 ID:iT3CrOuB(91/102) AAS
>>92
証明:
>>64の性質を確かめればよい。
x, y∈Ker(f)とすると、
f(x + y) = f(x) + f(y) = 0 + 0 = 0
より、x + y∈Ker(f)。
x∈Ker(f), a∈kとすると
f(ax) = a f(x) = a 0 = 0
より、ax∈Ker(f)。
よって、Ker(f)はVの部分空間。
省5
94(1): 2021/02/15(月)21:55 ID:iT3CrOuB(92/102) AAS
命題:
kを体、V, Wをk上のベクトル空間、f: V → Wを線型写像とする。
(1) fが全射 ⇔ Im(f) = W
(2) fが単射 ⇔ Ker(f) = {0}
95: 2021/02/15(月)21:59 ID:iT3CrOuB(93/102) AAS
>>94
証明:
(1)は明らか。
(2)
まず、fが線型写像ならば、f(0) = 0 f(0) = 0である。
したがって、fが単射ならば、f(x) = 0となるx∈Vは0のみである。
逆に、Ker(f) = {0}とする。
x, y∈Vが、f(x) = f(y)を満たすとすると、fが線型写像であることから
f(x - y) = 0
省1
96: 2021/02/15(月)22:10 ID:iT3CrOuB(94/102) AAS
例:
kは体、V = k^n, W = k^mとする。
A = (a_i,j) ∈ M_m,n(k)
とする。>>79の記号で、f_Aは
f_A(x) = Ax
省6
97: 2021/02/15(月)22:17 ID:iT3CrOuB(95/102) AAS
kを体、Vをk上のベクトル空間とする。
x_1, ..., x_n∈Vが一次独立であるとは、以下の条件を満たすことである。
a_1 x_1 + ... + a_n x_n = 0 （a_1, ..., a_n∈k）
⇒ a_1 = ... = a_n = 0
98: 2021/02/15(月)22:31 ID:iT3CrOuB(96/102) AAS
例:
kを体、V = k^nとする。
e_1 := (1, 0, ..., 0),
e_2 := (0, 1, ..., 0),
...,
e_n := (0, 0, ..., 1) ∈ V
は一次独立である。
99: 2021/02/15(月)22:42 ID:iT3CrOuB(97/102) AAS
例:
kは体、Vはk上のベクトル空間とする。
x_1∈Vが一次独立でない
⇔ <x_1> = <0>
x_1, x_2∈Vが一次独立でない
⇔ x_2∈<x_1>
...
省2
100: 2021/02/15(月)22:50 ID:iT3CrOuB(98/102) AAS
例:
kは体、V = k^2。
A = ((a b), (c d))∈M_2,2(k)とする。
連立一次方程式
Ax = 0 --- (*)
を考える。
省1
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