[過去ﾛｸﾞ] 数学の証明という理論がわからないです (245ﾚｽ)
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1(2): 2021/02/15(月)11:24 ID:/E2KyCsI(1) AAS
ある事象で正しいからそれは正しい
それって正しいの？
2(2): 2021/02/15(月)11:44 ID:iT3CrOuB(1/102) AAS
以下、俺のノート。
集合kに二項演算
+: k × k → k
*: k × k → k
が定義されていて、以下の条件を満たすとき、kは体であるという。
3: 2021/02/15(月)11:45 ID:iT3CrOuB(2/102) AAS
a, b, c ∈ kを任意の元とする。
4: 2021/02/15(月)11:45 ID:iT3CrOuB(3/102) AAS
(1) (a + b) + c = a + (b + c)
5(1): 2021/02/15(月)11:47 ID:iT3CrOuB(4/102) AAS
(2) ∃0∈k; ∀a∈k, 0 + a = a + 0 = a
6(1): 2021/02/15(月)11:48 ID:iT3CrOuB(5/102) AAS
(3) ∀a∈k, ∃-a∈k; a + (-a) = (-a) + a = 0
7: 2021/02/15(月)11:48 ID:iT3CrOuB(6/102) AAS
(4) a + b = b + a
8: 2021/02/15(月)11:50 ID:iT3CrOuB(7/102) AAS
(5) (ab)c = a(bc)
9: 2021/02/15(月)11:50 ID:iT3CrOuB(8/102) AAS
(6) a(b + c) = ab + ac
10: 2021/02/15(月)11:50 ID:iT3CrOuB(9/102) AAS
(7) (a + b)c = ac + bc
11(2): 2021/02/15(月)11:51 ID:iT3CrOuB(10/102) AAS
(8) ∃1∈k; ∀a∈k, 1a = a1 = 1
12(1): 2021/02/15(月)11:53 ID:iT3CrOuB(11/102) AAS
>>11
訂正:
> ∃1∈k; ∀a∈k, 1a = a1 = 1
∃1∈k; ∀a∈k, 1a = a1 = a
13: 2021/02/15(月)11:53 ID:iT3CrOuB(12/102) AAS
(9) ab = ba
14(2): 2021/02/15(月)11:54 ID:iT3CrOuB(13/102) AAS
(10) ∀a∈k, ∃a^(-1)∈k; aa^(-1) = a^(-1)a = 1
15(1): 2021/02/15(月)11:54 ID:iT3CrOuB(14/102) AAS
>>14
訂正:
> ∀a∈k, ∃a^(-1)∈k; aa^(-1) = a^(-1)a = 1
∀a∈k＼{0}, ∃a^(-1)∈k; aa^(-1) = a^(-1)a = 1
16(1): 2021/02/15(月)12:00 ID:iT3CrOuB(15/102) AAS
例:
有理数全体の集合Q, 実数全体の集合R, 複素数全体の集合Cは、通常の加法と乗法について体となる。
17(1): 2021/02/15(月)12:04 ID:iT3CrOuB(16/102) AAS
例:
有理整数の全体Zは、通常の加法と乗法について、体ではない。
±1以外の元が、Z内に乗法の逆元を持たないからである。
18(1): 2021/02/15(月)12:18 ID:IAiw4Ym0(1) AAS
例:
1元からなる集合{0}に、
0 + 0 = 0
0 0 = 0
で演算を定めたものは、体**でない**と定める。
19: 2021/02/15(月)12:23 ID:iT3CrOuB(17/102) AAS
kを体とする。
n1 = 1 + 1 + ... + 1 (n個) = 0
となる正の整数nが存在するとき、その最小のnをkの標数という。
そのようなnが存在しないとき、kの標数は0であると定める。
20(1): 2021/02/15(月)12:25 ID:iT3CrOuB(18/102) AAS
命題
kを体とする。kの標数は0でなければ素数である。
21(2): 2021/02/15(月)12:27 ID:iT3CrOuB(19/102) AAS
補題
体は整域である。すなわち、a, b∈kに対して
ab = 0 ⇒ a = 0 or b =0
が成り立つ。
22(2): 2021/02/15(月)12:30 ID:iT3CrOuB(20/102) AAS
命題:
kを体とする。任意のa∈kに対して、
0a = a0 = 0
である。
23(1): 2021/02/15(月)12:31 ID:iT3CrOuB(21/102) AAS
補題:
kを体とする。任意のa∈kに対して、
(-1)a = -a
24(1): 2021/02/15(月)12:36 ID:iT3CrOuB(22/102) AAS
補題:
kを体とする。加法の単位元0、乗法の単位元1は一意的である。
25(2): 2021/02/15(月)12:38 ID:iT3CrOuB(23/102) AAS
補題:
kを体とする。加法の逆元、乗法の逆元は一意的である。
26: 2021/02/15(月)12:41 ID:iT3CrOuB(24/102) AAS
>>24
証明:
0'∈kが>>5を満たすとすると
0' = 0' + 0 = 0。
1'が>>11-12を満たすとすると
1' = 1' 1 = 1。□
27: 2021/02/15(月)12:45 ID:iT3CrOuB(25/102) AAS
>>25
証明:
a∈kを任意の元とする。-a'が>>6を満たすとする。
-a' = (-a + a) + -a' = -a + (a + -a') = -a。
a∈kを0でない任意の元とする。a'^(-1)が>>14-15を満たすとする。
a'^(-1) = (a^(-1)a)a'^(-1) = a^(-1)(aa'^(-1)) = a^(-1)。□
28: 2021/02/15(月)12:48 ID:iT3CrOuB(26/102) AAS
>>22
証明:
0a
= (0 + 0)a
= 0a + 0a
∴ 0a = 0。
a0
= a(0 + 0)
= a0 + a0
∴ a0 = 0。□
29: 2021/02/15(月)12:49 ID:iT3CrOuB(27/102) AAS
>>23
証明:
a + (-1)a
= (1 + (-1))a
= 0a
= 0
>>25より、(-1)a = -a。□
30: 2021/02/15(月)12:58 ID:iT3CrOuB(28/102) AAS
>>21
証明:
対偶を示す。
a≠0 and b≠0とする。このとき
a^(-1)abb^(-1) = 1 ≠ 0。
>>22より、ab = 0 ならば上記の左辺も0なので、
省1
31: 2021/02/15(月)13:05 ID:iT3CrOuB(29/102) AAS
>>20
証明:
正の整数nに対して、n1 = 0とする。
n = abならば、ab1 = = (a1)(b1) = 0。
よって、>>21より
a1 = 0 or b1 = 0
となるので、nが素数でなければ、n'1 = 0となるnよりも小さい正の整数n'が存在する。□
32(2): 2021/02/15(月)13:16 ID:iT3CrOuB(30/102) AAS
例:
pを素数とする。
Z/pZ := { [0], [1], ..., [p-1]}
[k] := {n∈Z; n ≡ k (mod p)}
とする。すなわち、n ≡ k (mod p)⇔ [n] = [k]である。
33(2): 2021/02/15(月)13:19 ID:iT3CrOuB(31/102) AAS
>>32
Z/pZには加法と乗法が
[a] + [b] = [a + b]
[a] [b] = [ab]
で定まり、>>4-15を満たす。
34(2): 2021/02/15(月)13:21 ID:iT3CrOuB(32/102) AAS
>>33
>>4-13までは、剰余の定義から直ちに従う。
Z/pZが乗法の逆元を持つことを示す。
35(2): 2021/02/15(月)13:22 ID:iT3CrOuB(33/102) AAS
>>34
補題:
a, b∈Zとする。aとbが互いに素ならば、
na + mb = 1
を満たす整数n, mが存在する。
36: 2021/02/15(月)13:34 ID:iT3CrOuB(34/102) AAS
>>35
証明:
a, bを任意の整数とし、Dをa, bの最大公約数とする。
L = {na + mb; n, m∈Z, na + mb > 0}
とおく。
Lは自然数の空でない部分集合であるから、最小元が存在する。それを
省8
37: 2021/02/15(月)13:38 ID:iT3CrOuB(35/102) AAS
>>34
aをpを法として1, ..., p - 1のいずれかに合同な整数とする。aはpと互いに素であるから、>>35より、
na ≡ 1 (mod p)
となる整数nが存在する。これは、Z/pZが乗法の逆元を持つことを意味する。□
38(2): 2021/02/15(月)13:44 ID:iT3CrOuB(36/102) AAS
例:
Q(√-1) := { a + b√-1; a, b∈Q }
は
(a + b√-1) + (c + d√-1) := (a + c) + (b + d)√-1
(a + b√-1)(c + d√-1) := (ac - bd) + (ad + bc)√-1
により体になる。a + b√-1 ≠ 0の逆元は
省2
39(1): 2021/02/15(月)13:50 ID:iT3CrOuB(37/102) AAS
例:
kを体とする。Xを不定元とし、k(X)で一変数の有理式全体の集合を表す。すなわち
k(X) := { f/g; f, gはXの多項式。g≠0 }
k(X)は自然な加法と乗法について体になる。
k(X)の標数は、kの標数と等しい。
40: 2021/02/15(月)13:53 ID:iT3CrOuB(38/102) AAS
>>2
体の例:
>>16-18
>>32-33
>>38-39
41: 2021/02/15(月)13:54 ID:iT3CrOuB(39/102) AAS
>>2
体の公理
>>3-15
42(2): 2021/02/15(月)14:01 ID:iT3CrOuB(40/102) AAS
kを体とする。
集合Vに加法
+: V × V → V
とスカラー倍
*: k × V → V
が定まり、以下を満たすとき、Vをk上のベクトル空間であるという。
43: 2021/02/15(月)15:18 ID:iT3CrOuB(41/102) AAS
x, y, z∈V、a, b∈kを任意の元とする。
44: 2021/02/15(月)15:19 ID:iT3CrOuB(42/102) AAS
(1) (x + y) + z = x + (y + z)
45(1): 2021/02/15(月)15:20 ID:iT3CrOuB(43/102) AAS
(2) ∃0∈V; ∀a∈V, 0 + a = a + 0 = a
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