純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21 (392ﾚｽ)
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72: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/24(木) 11:16:01.44 ID:4LVoLOK4

さて 本題に戻る

>>64
(引用開始)
>>63
>分出公理により，N = {n ∈ On : n は自然数 }は集合になる．
それだめｗ
自然数を構成するのに自然数を使ったらダメでしょｗ　君、いつも循環論法やらかすね　頭悪いね
Onとは？
(引用終り)

そこは、渕野先生からの引用部分だ。再録すると
”　v)「ゲーデルと20世紀の論理学第４巻」（東京大学出版会，2007）の，渕野 昌の執筆した第I部 https://fuchino.ddo.jp/books/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf
　　P10（無限公理） 集合 x で空集合を元として含み，すべての y ∈ x に対し，y ∪ {y} ∈ x となるようなものが存在する．
　　無限公理で存在の保証された集合 x は 0, 1, 2,. . . のすべてを含むものとなっている．そこで，このような x と分出公理を用いると，自然数の全体からなる集合N = {0, 1, 2, . . . }の存在が証明できる3)．3) 詳細については，p.48 を参照．
　　P48 補題 2.22 (1) 自然数の要素は自然数である．(2) 集合 X を ∅ ∈ X ですべての y ∈ X に対し y ∪ {y} ∈ X となるよ
うなものとすると，X はすべての自然数を含む．
　　補題 2.22, (2) でのような X は無限公理により存在するから，分出公理により，N = {n ∈ On : n は自然数 }は集合になる．”

渕野先生が、間違っている？ まあ、あるかもよｗｗｗ
渕野先生にお手紙書いてね。その返事を公開してたもれｗ　；ｐ）

>>56
(引用開始)
>まず 記号∩を 他の公理から導かないといけないだろう
分出公理から導けますけど？　知らなかった？
∩X:={x∈A|∃A∈X∧∀Y∈X:(x∈Y)}
>その上で ”N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”についての説明が必要だよね
不要。
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
・分出公理で 記号∩が導けるか まあそうかな
　だとして、上記渕野先生は、上記で『無限公理で存在の保証された集合 x は 0, 1, 2,. . . のすべてを含むものとなっている．そこで，このような x と分出公理を用いると，自然数の全体からなる集合N = {0, 1, 2, . . . }の存在が証明できる3)．3) 詳細については，p.48 を参照』とされています
　p.48 も引用しておいた
　で、渕野先生の言われる通り 無限公理で存在の保証された集合 x から 0, 1, 2,. . .
　を ”分出公理を用いると，自然数の全体からなる集合N = {0, 1, 2, . . . }の存在が証明できる”ならば、それで終わりだ■

詰んだな

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/72

103: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/25(金) 10:45:22.61 ID:ddlXMCUI

>>102
>∩恐怖症は治ったかい？

ふっふ、ほっほ
踏みつけたゴキブリが まだ動いている
ガハハハッ

>>72に戻る
(引用開始)
>まず 記号∩を 他の公理から導かないといけないだろう
分出公理から導けますけど？　知らなかった？
∩X:={x∈A|∃A∈X∧∀Y∈X:(x∈Y)}
>その上で ”N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”についての説明が必要だよね
不要。
(引用終り)

全部 >>72　v)「ゲーデルと20世紀の論理学第４巻」（東京大学出版会，2007）の，渕野 昌の執筆した第I部 https://fuchino.ddo.jp/books/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf
に書いて有る
(引用開始)
　P10（無限公理） 集合 x で空集合を元として含み，すべての y ∈ x に対し，y ∪ {y} ∈ x となるようなものが存在する．
　無限公理で存在の保証された集合 x は 0, 1, 2,. . . のすべてを含むものとなっている．そこで，このような x と分出公理を用いると，自然数の全体からなる集合N = {0, 1, 2, . . . }の存在が証明できる3)．3) 詳細については，p.48 を参照．
(引用終り)

分出公理については、上記 渕野先生のpdfにもあるが、下記ja.wikipediaが分かり易いだろう
平たくいえば、分出公理＝部分集合を作る公理
で、ZFC公理系では 自然数の全体からなる集合N = {0, 1, 2, . . . }を作るのに
一旦 無限公理で Nを部分集合として含む 無限集合の存在A(とする)を認めて
Aから、分出公理で部分集合として Nを取り出すという（by 渕野他）

さて、上記 N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} なる式が 自然数の集合N を表すと宣う
問題は、記号∩を導くのに 分出公理を必要とするならば それは冗長だろう！■

補足
なお 単純に 集合N = {0, 1, 2, . . . }のような無限集合を構築することは ZFC公理系では許されない
下記の通り ラッセルのパラドックスなどを防ぐために 無限集合の構築に制限を設けている

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ツェルメロ＝フレンケル集合論
3. 分出公理図式（内包公理図式）
→詳細は「分出公理」および「en:Axiom schema of specification」を参照
部分集合は通常、集合の内包的記法（英語版）を用いて表される
分出公理は部分集合のみを構築でき、次のように一般的な集合を構築することはできないことに注意せよ：
{x:ϕ(x)}.
この制限は、ラッセルのパラドックス 略 や、ラッセルのパラドックスの変種（無制限の内包公理を含む素朴集合論に関連するもの）を防ぐするために必要である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/103

131: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/26(土) 20:36:04.37 ID:w9PY0JQs

>>127
(引用開始)
ID:gZ1LykHx
>>111
>上記 渕野のPDF冒頭
>”2009 年の後期以降に神戸大学で大学院の講義でテキストとして用いた際に見つけた typos などの訂正などの update が書きこまれている”
>とある。そもそも 東京大学出版会，2007 成書となるときに、十分な校正がされているはず
>そのうえ、”2009 年の後期以降に神戸大学で大学院の講義でテキストとして用いた”とあるので、
>君の指摘は、たぶん 誤解・無理解・上滑り じゃないの？
反例：
>「n∈Onが自然数であるとは，nは0または後続順序数でnのすべての要素も後続順序数であること」
は間違い。実際、0以外の任意の自然数は後続順序数ではない要素0を持つ。
(引用終り)

それ、下記だね
　>>72「ゲーデルと20世紀の論理学第４巻」（東京大学出版会，2007）の，渕野 昌の執筆した第I部 https://fuchino.ddo.jp/books/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf

ここに、目次
第 2 章 公理的集合論の展開 .... 29
2.1 整列順序 ... 30
で
(引用開始)
Ｐ44
2.3 順序数
順序数 (ordinals) のクラス On を導入する．次の性質を On が持つこと
がポイントとなる．
(2.13) On は真のクラスで，推移的で14)，∈ に関し整列順序となってい
る15)．
(2.14) 各順序数 α は，（推移的な）集合で，（∈ により）整列されている．
(2.15) 任意の整列順序集合 ⟨X, <⟩ は，一意に決まる順序数 ⟨α, ∈⟩ と順序
同型となる．
これらの性質，特に最後の (2.15) により，順序数の全体のクラスは，すべて
の整列順序集合のクラスの（順序同型に関する同値類の）自然な代表元を集
めたクラスとみなせる．

P48
順序数 α が極限順序数でないとき，後続順序数であるという．
極限順序数の概念を使って自然数の全体の集合 N を定義することができ
る： n ∈ On が自然数であるとは，n は 0 または後続順序数で n のすべて
の要素も後続順序数であること，とできるからである．
補題 2.22 (1) 自然数の要素は自然数である．
(2) 集合 X を ∅ ∈ X ですべての y ∈ X に対し y ∪ {y} ∈ X となるよ
うなものとすると，X はすべての自然数を含む．

補題 2.22, (2) でのような X は無限公理により存在するから，分出公理により，
N = {n ∈ On : n は自然数 }
は集合になる．また，補題 2.22, (2) により，p.10 で導入した 0, 1, 2,. . . は N
の最初の方の要素になっていることがわかる．
(引用終り)

さて、上記”反例：
>「n∈Onが自然数であるとは，nは0または後続順序数でnのすべての要素も後続順序数であること」
は間違い。実際、0以外の任意の自然数は後続順序数ではない要素0を持つ。”

において
0以外の任意の自然数n（n≠0）の後続順序数はn+1であって、上記 y ∪ {y} の記号を借用すると
n+1：＝n ∪ {n} と略記できるよね
そして、n（n≠0）の前後続順序数は n-1であって、
n：＝n-1 ∪ {n-1} と略記できる
なので
『実際、0以外の任意の自然数は後続順序数ではない要素0を持つ』は、イミフ 言葉のサラダだね

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/131

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