純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21

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62: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/23(水) 23:59:24.90 ID:jUNIihmc

>>60-61
まだ、ぶつぶつ言っているよ、この人ｗ ；ｐ）

１）>>18の ペアノ公理の自然数の集合論的構成で
　”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}” https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
　”Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの”
　問題は、これが 公理的集合論として 自然数の集合Nになっているか
　それについて どの公理を使ったかを明示しながらの証明が必要だよね 公理的集合論としては
２）さて、下記 独仏英wikipedia と Akito Tsuboi 筑波大と 渕野 昌の５者は、∩を使わない。∩を使わないで済ましているよ
　i)独wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlichkeitsaxiom
　　Natural numbers N :={x ∈ I ｜∀z(z inductive → x∈ z)}}
　ii)仏wikipedia https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_l%27infini
　　The set of natural numbers
　　that's to say :
　　The class of natural numbers is a set .
　　Indeed :
　let A be a set verifying Cl( A ) whose existence is ensured by the axiom of infinity. Then, the existence of the set ω is ensured by the axiom scheme of comprehension and its uniqueness by the axiom of extensionality , by defining ω as the intersection (therefore the smallest in the sense of inclusion) of all sets containing 0 and closed by successor ( A only intervenes to be able to define ω as a set, but ω does not depend on A ):
ω = { x ∈ A | Ent( x ) } ;
　iii)英wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
　　Extracting the natural numbers from the infinite set
　　In formal language, the definition says:
　　∀n(n∈N⟺([n=∅∨∃k(n=k∪{k})]∧∀m∈n[m=∅∨∃k∈n(m=k∪{k})])).
　iv)Akito Tsuboi 筑波大 数理論理学II https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
　　P8 無限公理
　　無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び，
　　ω = {y ∈ X : ∀x(φ(x) → y ∈ x)}
　　とする．ここで φ(x) は ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) である．このようにすれば，ω は集合であり，φ(x) を満たす最小のものになる（もちろん X の取り方に依存しない）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/62

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