純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21

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54: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/23(水) 11:09:07.87 ID:wMoU4wX9

>>53
>>初期の集合論における内包公理からはラッセルのパラドックスとなる集合{x|￢x∈x}を構成可能。
>>そのため公理的集合論では分出公理に置き換える。
>これは豆知識としてよい

ID:gP8zJ0yp は、御大か
巡回ご苦労様です
まあ、いつも引用させてもらっている 渕野 Dedekindの無限証明（下記）
20世紀の公理的集合論が、数十年の歳月をかけて 作り上げられてきたことが良く分かります

(参考)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1739-16.pdf
数理解析研究所講究録 2011
R. Dedekind の数学の基礎付け と集合論の公理化 神戸大 渕野昌
1 「数の理論を扱かう論理学」の基礎付け
R. Dedekind は，19 世紀的視点からの数学の基礎付けという枠組の中で大きな貢献をはたした．

P170
もちろん，無い物ねだり的な指摘をすることはたやすい．彼の時代には，現
代の我々が識るような形式論理はまだ生れてすらいなかった(彼とほぼ同時代
のFrege の研究には形式論理学の萌芽のようなものが見られるが，[3] の第2 版
の前書き(1893)では，Dedekind は，Frege の仕事を後になってからはじめて
知ることになったと書いている). いわんや，形式的推論の体系や，その体系の
完全性，そして不完全性定理に基づく知見は，どう頑張ったとしてもDedekind
の行なった考察の背景にはなり得なかったはずのものである(2).

P172
現代の記法を用いると，自然数の全体は，[3] では，(a) 無限集合Xを1 つとり，
(b) それがDedekind の意味で無限集合となっていることのwitness となっている略
(e)このベースの上で，現在では，デデキント=ペアノの公理系と呼ばれている
自然数の体系(5) の満たすべき基本性質が成り立つことを示し
(特に完全帰納法や再帰法が成り立つことを厳密に示している）
単純無限的体系Nが導入された後，[3] での(d), (e), (f) に関する議論は，
今日の数学のスタンダードから見ても十分に厳密なものといえる．だが，その
前に，ここでまず問題とすべきなのは，そもそも，なぜこのような定義による
単純無限的体系を，Dedekind が，自然数の全体の集合の基礎付けとなると考
えたのかということであろう．

P173
3 無限の存在証明
単純無限的体系によって自然数の全体の体系の基礎付けがなされうるためには，
そもそも無限集合の存在が大前提となる．しかも，これが，「数の理論を扱かう
論理学の部分の基礎付け」としてなされるためには，無限集合の存在が無条件
に証明できなくてはならない．

晩年のDedekind が，無限の存在証明([3] の66.) の残った
ままのテキストをこの再版に回してしまったことの背景だったのではないだろうか．
ただし，Dedekind の名誉のために付け加えておくと，1911 年の時点では，
無限の存在が集合論の他の公理から独立であることは，当時の若い集合論の研
究者たちすら，まだ完全には把握しきれていなかった可能性がある．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/54

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