純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21 (392ﾚｽ)

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/

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52: １３２人目の素数さん [] 2025/07/22(火) 23:14:34.68 ID:4jFdIsuX 初期の集合論における内包公理からはラッセルのパラドックスとなる集合{x|¬x∈x}を構成可能。 そのため公理的集合論では分出公理に置き換える。 和集合の公理が必要な理由は、分出公理で和集合を構成できないため。 [参考]内包公理による和集合の構成 ∪X:={x|∃Y∈X:(x∈Y)} 対の公理、無限公理、べき集合の公理が必要な理由も同じ。 尚、 標準的ZFでは分出公理を置換公理に置き換える。 空集合の公理が必要な理由は、置換公理で空集合を構成できないため。 [参考]分出公理による空集合の構成 Xを任意の集合とする。{}:={x∈X|x≠x} 置換公理で空集合を構成できない理由。 置換公理では既存の集合を定義域とする関数の像を集合と定めることで新たな集合を構成可能とする。 定義域の任意の元に対する関数値が必要なため、関数の像が空集合になることはない。よって置換公理で空集合を構成できない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/52

55: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/07/23(水) 11:38:18.04 ID:wMoU4wX9 >>49-52 さて、オチコボレさんたちへ ブーメランだよ １）まず、私は >>38で"いま、公理系から離れて 素朴集合論で話をしよう 　素朴な 集合演算を定義する"と 断っているよ 　そして、素朴集合論として 　よく知られる >>42 U＝I+(As+Bs) ・・(2) 　ここに 和集合(英union) U：=A∪B 、積集合（共通部分 英: intersection）I：=A∩B 　を 示した 　だから、和集合U ←→ 積集合I 　和集合U と 積集合I のどちらか一つが分れば、他は それから導かれる と言った ２）そもそもは、>>18の ペアノ公理の自然数の集合論的構成で 　”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}” https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86 　”Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの” 　とあり、私の主張は、こんなところに 積集合の記号∩ を使うのはまずいだろうということだった 　（ja.wikipedia なんて、だれが書いたかわからんし・・） 　そして キミたちが >>49-52で主張するように 和集合の公理で 記号Uの使用は是としても 　ここで 積集合の記号∩を使うならば、まず 記号∩を 他の公理から導かないといけないだろう 　さらに、その上で ”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”についての説明が必要だよね 　あなたちは、積集合の記号∩は 集合論として自明だのウンヌンと屁理屈をこねていて それが出来なかったんだよ 詰んだなｗ　；ｐ） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/55

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