純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21 (392ﾚｽ)
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212: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/13(水) 12:15:41.28 ID:ZWqlQsZq

前にも取り上げた記憶があるが、貼っておきます

https://nazology.kusuguru.co.jp/archives/183227
nazology
10代の数学者が「溝畑・竹内予想」が偽であると証明
2025.08.12 21:00:55 Tuesday

（※溝畑・竹内予想についてやや突っ込んだ解説を読みたい人は最終ページに飛んでください）

研究内容の詳細は『arXiv』にて発表されました。

A Counterexample to the Mizohata-Takeuchi Conjecture
https://doi.org/10.48550/arXiv.2502.06137

川勝康弘
Yasuhiro Kawakatsu

歴史的には、分散型偏微分方程式（PDE）の初期値問題が出発点です。

1970〜80年代に竹内正美はシュレディンガー方程式の一次摂動に対するL²の適切性条件を与えようとし、その過程で直線に沿った係数の積分条件が十分条件になり得ると主張しました。

その後、溝畑宏文が議論の誤りを指摘し、問題は「拡張作用素に対する重み付きL²評価」へと自然に置き換えられていきます。

つまり、PDEの適切性（well-posedness）からスタートし、調和解析の幾何学問題へと発展したのがこの仮説の成り立ちです。

この仮説が正しかった場合、直線平均による制御を核に、Kakeya型最大関数やNikodym最大関数を経由し、Bochner–Riesz乗数や制限不等式（とくに臨界的な場合）へと繋がるルートが浮かび上がります。

Steinは1970年代にこの構想を提唱し、その後も多くの研究が“橋”を強化してきました。

多重線形制限の端点（最も際どいケース）についても、Guthによる多重線形Kakeya端点や機能解析的双対化の技術と合流させ、溝畑・竹内型の主張が“損失なし”で成立すれば一気に到達できる、という見通しが共有されていました。

つまり、この予想は単なるきれいな不等式に留まらず、「制限問題の要所へ抜ける幹線道路」の役割を期待されていたのです。

ただし、完全な一般形の証明は長らく成し遂げられず、損失付きの部分的な進展が続いてきました。

Guthは講演で、一定のデカップリング公理の範囲ではこの損失を取り除くことはできないと示唆しています。

こうした「損失の壁」が存在すること自体が、この予想が幾何学のきわどい境界に関わっていることを示しています。

2025年、ハンナ・Cairoによる反例はこの直感を決定的に裏付けました。

つまり、直線平均による最大値を使っても、左辺の重み付きL²ノルムがそれを必ず超えてしまうという状況が明示されました。

Cairo自身も論文で触れている通り、溝畑・竹内やSteinの枠組みは、制限理論の争点を“形の言葉”で捉え直す希少な試みでした。

反例は橋の一部を崩しましたが、同時に局所版の定式化や損失を定量評価するための新たな幾何学・確率論・デカップリング理論などの技術革新を呼び込むきっかけにもなっています。

溝畑・竹内予想とは、「制限理論を指数ではなく形で語る」チャレンジであり、その否定的解答は次世代の正解候補――どの範囲・どの損失・どの観測で普遍性が回復するのか――を鮮やかに照らし出したと言えるでしょう。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/212