純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21 (392ﾚｽ)
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18: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/21(月) 14:22:04.50 ID:60RWf/A5

>>16-17
ありがとうございます

さて、補足すれば
ことの起こりは、下記

前スレより
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/563 2025/06/15 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
Inter-universal geometry とABC 予想57
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1723187304/988
(引用開始)
>無限公理が存在を主張する集合全体
無限公理が存在を主張する集合全体？
(引用終り)

1）ペアノ公理の自然数の集合論的構成で、ノイマンによるものの説明が下記です
　ここで、”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”、”Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの”
　とあるので、集合の積∩は 任意A つまり 全てのA と読めます
　ノイマンの最初の論文がこうだったという都市伝説がある（私は原論文は未確認）
2）で、wikipediaの記載は こうだとしても・・
　任意Aあるいは全てのAの 集合の積∩を考えるというのは 当然突っ込みどころであります
3）下記の 筑波大 Akito Tsuboi 先生は、下記 数理論理学IIでは
　ここは、少し技巧的な記述をしています
（ここの式を手で写すのは面倒なので（どうせ原文見る方がいいしｗ）、各人原文をご覧あれ）
以上

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
現代数学において標準的な数学の対象はすべて集合として実現されている。集合論における自然数の標準的な構成法としては、
・N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
・0:=∅
・S(x):=x∪{x}
がある。ただしここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである。
これらの集合は存在して、ペアノの公理を満たすことが確かめられる。
この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる[7]。

https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
Akito Tsuboi 筑波大
学部（数学類）関連
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
数理論理学II

P8
1.1.9 無限公理
無限公理：
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/18

19: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/21(月) 14:24:20.15 ID:60RWf/A5

>>18
さて 上記を受けて 下記がある
前スレより
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/588 2025/06/16 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
1）すっきりの度合いが違うだろ？
　即ち、和記号Σや積記号Πならば、普通その範囲を明示するべきだろ？
　Σ n=1〜∞とか Σ m,n=1〜∞とかね
　では問う 記号∩について 同じことを要求する
　きちんと、記号∩の定義を書け！
　ここ、ツッコミどころだねｗ
2）”実質同じ”？ 証明は？ 上記1）項のあと 証明やってみてｗ ；ｐ）

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/949-957 2025/07/20 ID:2Jr4cGNB
>>588
>2）”実質同じ”？ 証明は？
定義１
　論理式φ(x)を下記で定義する。
　φ(x):={}∈x∧∀y(y∈x→y∪{y}∈x)
　φ(x)を満たすxを帰納的集合と呼ぶ。
以下略

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/964-965 2025/07/20 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
>>949-950
>補題１
>　ωは任意の帰納的集合の共通部分である。

うむ
１）その結論は、正しい。下記の独 de.wikipediaの英訳
　Infinity axiomで、”The natural numbers are therefore defined as the intersection of all inductive sets, as the smallest inductive set.”
　とある通りだ
２）ところで 下記の 独 de.wikipedia Infinity axiom では
　記号∩ 使ってないよ？
　記号∩ は、使わなくてもいいの？
　記号∩ は、使わなくてもいいのならば、その方がすっきりしてないかな？ｗ ；ｐ）

(参考)
https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlichkeitsaxiom
（google翻訳 独→英）
Infinity axiom
The axiom of infinity is an axiom of set theory that postulates the existence of an inductive set . It is called the axiom of infinity because inductive sets are also infinite sets .

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/19

62: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/23(水) 23:59:24.90 ID:jUNIihmc

>>60-61
まだ、ぶつぶつ言っているよ、この人ｗ ；ｐ）

１）>>18の ペアノ公理の自然数の集合論的構成で
　”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}” https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
　”Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの”
　問題は、これが 公理的集合論として 自然数の集合Nになっているか
　それについて どの公理を使ったかを明示しながらの証明が必要だよね 公理的集合論としては
２）さて、下記 独仏英wikipedia と Akito Tsuboi 筑波大と 渕野 昌の５者は、∩を使わない。∩を使わないで済ましているよ
　i)独wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlichkeitsaxiom
　　Natural numbers N :={x ∈ I ｜∀z(z inductive → x∈ z)}}
　ii)仏wikipedia https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_l%27infini
　　The set of natural numbers
　　that's to say :
　　The class of natural numbers is a set .
　　Indeed :
　let A be a set verifying Cl( A ) whose existence is ensured by the axiom of infinity. Then, the existence of the set ω is ensured by the axiom scheme of comprehension and its uniqueness by the axiom of extensionality , by defining ω as the intersection (therefore the smallest in the sense of inclusion) of all sets containing 0 and closed by successor ( A only intervenes to be able to define ω as a set, but ω does not depend on A ):
ω = { x ∈ A | Ent( x ) } ;
　iii)英wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
　　Extracting the natural numbers from the infinite set
　　In formal language, the definition says:
　　∀n(n∈N⟺([n=∅∨∃k(n=k∪{k})]∧∀m∈n[m=∅∨∃k∈n(m=k∪{k})])).
　iv)Akito Tsuboi 筑波大 数理論理学II https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
　　P8 無限公理
　　無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び，
　　ω = {y ∈ X : ∀x(φ(x) → y ∈ x)}
　　とする．ここで φ(x) は ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) である．このようにすれば，ω は集合であり，φ(x) を満たす最小のものになる（もちろん X の取り方に依存しない）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/62

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