純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21 (392ﾚｽ)
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156: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/27(日) 00:48:50.82 ID:6EVaf5Z4

>>154
>さっさと>>120に答えてよ

？>>120
>反例：正則性公理、選択公理

なんのこっちゃｗ
下記を百回音読してね
（両方とも、渕野先生は「・・存在する」と規定されていますｗ）
あと、先回りして 言っておくが
集合論では、関数or写像も集合に直せるよ（下記。google AIに、教えて貰えｗ）

>>143 より再録
「ゲーデルと20世紀の論理学第４巻」（東京大学出版会，2007）の，渕野 昌の執筆した第I部 https://fuchino.ddo.jp/books/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf
P15
（基礎の公理） 空集合でない任意の集合 x に対し，y ∈ x で，どんな
z ∈ x をとってきても z ∈ y とならないようなものが存在する．
上で y のようなものを x の ∈ に関する極小元とよぶことにする．
基礎の公理から，すべての集合 z に対し z ∈ z とはならないことがわかる．

Ｐ16
（選択公理） 空集合を要素として含まないような任意の集合 x に対し，
x から ∪x への写像 f で f(z) ∈ z がすべての z ∈ x に
対し成り立つようなものが存在する．
このような f は，集合族 x の一つ一つの要素 z から z の「代表元」 f(z)
を選び出す関数となっている．選択公理は AC と略記されることが多い．

google検索：集合論では、関数も集合
AI による概要（AI の回答には間違いが含まれている場合があります）
はい、集合論では関数も集合として定義されます。より正確には、関数は、ある集合から別の集合への対応を、特定の条件を満たす要素の集合として表されます。この対応は、関数のグラフとして知られています。
関数とは:
関数とは、ある集合（定義域）の各要素に対して、別の集合（値域）のただ一つの要素を対応させる規則のことです。例えば、"x を2倍する"という関数は、定義域の各数に、その数の2倍の数を対応させます。
公理的集合論:
公理的集合論では、集合を定義する際に、要素の存在や集合の包含関係などを規定する公理を用います。関数も、これらの公理に基づいて集合として定義されます。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/156

159: １３２人目の素数さん [] 2025/07/27(日) 03:05:44.44 ID:BtC8baTp

>>156
※
>「集合 x1, x2, . . . が与えられたとき，これらか
>ら ... という性質を持つ集合を作ることができる」というタイプの主張（存在公理）となっている
「作ることができる」だから、インプットx1, x2, . . .を具体的に与えたとき、作られる集合も具体的でなければならない。

>P15
>（基礎の公理） 空集合でない任意の集合 x に対し，y ∈ x で，どんな
>z ∈ x をとってきても z ∈ y とならないようなものが存在する．
>上で y のようなものを x の ∈ に関する極小元とよぶことにする．
>基礎の公理から，すべての集合 z に対し z ∈ z とはならないことがわかる．
これは、空でない集合は∈に関する極小元を持つものだけに限られるという主張で、集合に制限を課している。
例えば、
x={{}}のとき、{{}}の元は{}のみで￢{}∈{}だから、{{}}は∈に関する極小元{}を持つ。よって{{}}は基礎の公理を満たし、よって集合である。
x={x}のとき、{x}の元はxのみでx∈xだから、x={x}は∈に関する極小元を持たない。よってx={x}は基礎の公理を満たさず、よって集合でない。
以上の説明から分かる通り基礎の公理は※に合致しない。

>Ｐ16
>（選択公理） 空集合を要素として含まないような任意の集合 x に対し，
>x から ∪x への写像 f で f(z) ∈ z がすべての z ∈ x に
>対し成り立つようなものが存在する．
>このような f は，集合族 x の一つ一つの要素 z から z の「代表元」 f(z)
>を選び出す関数となっている．選択公理は AC と略記されることが多い．
選択公理は選択関数（集合論では集合）の具体的内容について何も主張していない。よって※に合致しない。

>なんのこっちゃｗ
集合論ちんぷんかんぷんの君にとってはなんのこっちゃだろうねｗ

>あと、先回りして 言っておくが
>集合論では、関数or写像も集合に直せるよ
上記の通りまったくトンチンカン。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/159

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