純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21 (211ﾚｽ)
純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/
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38: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/07/22(火) 10:31:01.03 ID:wkDrXwO+ >>37 >聞いてるのは、１．なぜ積集合はそれができるのか、２．なぜ和集合はそれができないのか 多分、どちらか一方を公理にすれば、他方は それから導かれるだろう しかし、和集合を公理にする方が、きっと公理系としては 美しいのだろう いま、公理系から離れて 素朴集合論で話をしよう 素朴な 集合演算を定義する 二つの空でない集合 A,B で、和集合(英union) U：=A∪B として 積集合（共通部分 英: intersection）I：=A∩B とする UからBを除いた部分は As：=UーB （Asは、和集合からBを除いたAの部分集合で As⊂A） 同様に、 Bs：=UーA これから、簡単な演算で直ちに U−(As+Bs)＝I が導かれる つまり、和集合Iから 簡単な演算で 積集合Iは出る これを、正式に集合の公理系で やればいいだけ（面倒だから やらないが ；ｐ） さて、空でない集合 A,B に対し 和集合Uは 常に空集合ではないが しかし、積集合Iは、空集合の場合がある だから、和集合を公理にする方が 公理系としては 美しいと思うよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/38
39: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/07/22(火) 10:33:26.49 ID:wkDrXwO+ >>38 タイポ訂正 つまり、和集合Iから 簡単な演算で 積集合Iは出る ↓ つまり、和集合Uから 簡単な演算で 積集合Iは出る 分かると思うが http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/39
42: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/07/22(火) 12:11:15.69 ID:wkDrXwO+ >>40-41 上記>>38の記号で U−(As+Bs)＝I ・・(1) を導いたよね ここに 和集合(英union) U：=A∪B 積集合（共通部分 英: intersection）I：=A∩B だね (1)式から直ちに（移項して） U＝I+(As+Bs) ・・(2) が出る なお （>>38と同様に） As：=A−I Bs：=B−I (積集合A∩B＝Iが与えられている前提だから、これは可能）■ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/42
48: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/07/22(火) 16:17:02.13 ID:wkDrXwO+ >>43-47 ふっふ、ほっほ さすが、数学科入学１年の１日目の講義で 目を白黒させて 詰んだ男だ 君に欠落しているのは、囲碁でいうところの大局観だよ １）そもそも 公理的集合論は 素朴集合論があって それを公理化しようとするものだ （あたかも、古代ギリシャで ユークリッドが 平面幾何を 公理として整理して いろんな定理を証明した如くだ） ２）さて、集合とはなにか？ 簡単にいえば、複数の要素を集めたものだね そして 集合A ={a1,a2,a3}、集合B ={b1,b2,b3} この二つの集合で 重なりがないとき A+B ＝{a1,a2,a3,b1,b2,b3} これが 出来ないと 話が始まらない （だから これはこれで 公理を設けるとして） ３）問題は AとB に重なりがある場合だ 集合A ={a1,a2,a3,c1,c2,c3,・・・} 集合B ={b1,b2,b3,c1,c2,c3,・・・} このとき U＝A∪B＝{a1,a2,a3,b1,b2,b3,c1,c2,c3,・・・} I＝A∩B＝{c1,c2,c3,・・・} だよね。具体例としてはね これを、抽象的な公理として どう処理するのか？ だね そういう問題 だよね さて 繰り返しいうが ・そもそも集合とは 複数の要素を集めたもの ・二つの集合で 重なりがないときに、二つの集合の要素を集めて 一つの集合を作ることは当然可（これができなければ 話は始まらない） ・問題は、二つの集合で 重なりがあるときに、抽象的な公理として どう処理するのか？ そういう問題でだね ・そこで、ZFC公理系においては、和集合の公理をおいたってことだね 追伸 >>42 U＝I+(As+Bs) ・・(2) の式において I,As,Bsの３つ どれも重なりを持たない だから、この場合は 単純に 要素を列挙すれば良いだけ これを 公理系として どう実現するかを考えれば良い まず、そこの文献を調べてみな オチコボレさんｗ ；ｐ） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/48
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