純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21 (208ﾚｽ)
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156: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/27(日) 00:48:50.82 ID:6EVaf5Z4

>>154
>さっさと>>120に答えてよ

？>>120
>反例：正則性公理、選択公理

なんのこっちゃｗ
下記を百回音読してね
（両方とも、渕野先生は「・・存在する」と規定されていますｗ）
あと、先回りして 言っておくが
集合論では、関数or写像も集合に直せるよ（下記。google AIに、教えて貰えｗ）

>>143 より再録
「ゲーデルと20世紀の論理学第４巻」（東京大学出版会，2007）の，渕野 昌の執筆した第I部 https://fuchino.ddo.jp/books/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf
P15
（基礎の公理） 空集合でない任意の集合 x に対し，y ∈ x で，どんな
z ∈ x をとってきても z ∈ y とならないようなものが存在する．
上で y のようなものを x の ∈ に関する極小元とよぶことにする．
基礎の公理から，すべての集合 z に対し z ∈ z とはならないことがわかる．

Ｐ16
（選択公理） 空集合を要素として含まないような任意の集合 x に対し，
x から ∪x への写像 f で f(z) ∈ z がすべての z ∈ x に
対し成り立つようなものが存在する．
このような f は，集合族 x の一つ一つの要素 z から z の「代表元」 f(z)
を選び出す関数となっている．選択公理は AC と略記されることが多い．

google検索：集合論では、関数も集合
AI による概要（AI の回答には間違いが含まれている場合があります）
はい、集合論では関数も集合として定義されます。より正確には、関数は、ある集合から別の集合への対応を、特定の条件を満たす要素の集合として表されます。この対応は、関数のグラフとして知られています。
関数とは:
関数とは、ある集合（定義域）の各要素に対して、別の集合（値域）のただ一つの要素を対応させる規則のことです。例えば、"x を2倍する"という関数は、定義域の各数に、その数の2倍の数を対応させます。
公理的集合論:
公理的集合論では、集合を定義する際に、要素の存在や集合の包含関係などを規定する公理を用います。関数も、これらの公理に基づいて集合として定義されます。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/156

185: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/27(日) 19:53:53.23 ID:6EVaf5Z4

>>183
>その酷く醜い知能をこちらに見せないで

ふっふ、ほっほ
「ハイ、鏡！」ｗ
おサル＝サイコパス＊のピエロ（>>5）
サイコパスの本領発揮かい？ｗ（”サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む”（>>5）ｗｗ）

さて
１）ωa ＝ ∩a^、a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}、1つ無限集合 a 、P (a) は a の「冪集合」
　（a^ は a の部分集合のうち、無限集合になるようなもの全てを集めた集合で
　　a^ の全ての元の共通部分を取ります
　　このようにして得られた無限集合 ωa は、 元の無限集合 a のとり方によらずただ1つに定まります
　　これを単に ω と書き、 自然数全体の集合と呼びます (>>171より https://ufcpp.net/study/math/set/natural/ )）
　　こちらの式の問題点は、>>177に指摘の通りで ”「x は無限集合である」という命題を M(x) とし”の部分であって
　　ここを きちんと 集合の言葉で書けるかどうか？ そこが問題です

２）N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}（Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだもので、下記のペアノ公理 ja.wikipedia に 誰かが書いた式）

この二つの式は、明らかに異なりますね
前者１）は、無限集合 a の 「冪集合」P (a) を経由して 自然数全体の集合 ωを定義しようとするのですが
これは、一理ある
後者２）は、明らかに 「冪集合」P (a) は 経由していない から 本質的に別の式だね
また、自然数の集合Nが きちんと集合論として定義されているかどうか？
特に 本来の自然数以外の(以上の)元を 含んでしまっていないか？
そこが、すっきりしないから こっちはダメじゃないの？ｗ　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
ここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/185

191: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/27(日) 22:46:35.35 ID:6EVaf5Z4

資料提供：
下記 向井 国昭先生、慶應 情報系だが
学歴 1971年東京大学, 理学部, 数学科

・”公理は「これこれの集合が存在するならばしかじかの集合が存在する」という 条件文の形で述べられる”
・”定義 2.6 (A から B への関数) 関数 f が直積 A ×B の部分集合で，dom(f) = A のとき，f を A から B への関数とよぶ”
・”公理 2.10 (無限公理) 次のような集合 N ≠0 が存在する: ∀x(x ∈ N → {x} ∈ N).
　無限公理は, 自然数の全体と同じ大きさの集合, すなわち少なくともひとつの無限集合の存在を主張している.”

（補足）
公理 2.10 (無限公理) は、情報系の人向けの簡略形でしょう
まあ、当座は これでも良いんだ
ちょっと、簡略しすぎの気もしますが ；ｐ）

(参考)
https://researchmap.jp/read0116084
向井 国昭
ムカイ クニアキ  (Kuniaki Mukai)
基本情報
所属慶應義塾大学 環境情報学部 環境情報学科 環境情報学部 環境情報学部 環境情報学科 教授
学位
工学(東京工業大学)
学歴  2
- 1971年東京大学, 理学部, 数学科
- 1971年東京大学

https://web.sfc.keio.ac.jp/~mukai/modular/set-theory-basic-2009.pdf
集合論ベーシック
(2009 年度版)
向井 国昭

P2
個々の公理は，どんな集合が V に存在するかを規定
する．公理は「これこれの集合が存在するならばしかじかの集合が存在する」という
条件文の形で述べられる．

P10
定義 2.6 (A から B への関数) 関数 f が直積 A ×B の部分集合で，dom(f) = A のと
き，f を A から B への関数とよぶ．このとき，B を f の 値域とよぶ．

P11
公理 2.10 (無限公理) 次のような集合 N ≠0 が存在する: ∀x(x ∈ N → {x} ∈ N).
無限公理は, 自然数の全体と同じ大きさの集合, すなわち少なくともひとつの無限集
合の存在を主張している.

P5
2 集合論 (ZFC) の公理

P16
文献
[1] K. Kunen. Set Theory. North Holland, 1980.
[2] 齋藤正彦. 数学の基礎―集合・数・位相. 基礎数学 14. 東京大学出版会, 2002.
[3] 田中一之=鈴木登志雄. 数学のロジックと集合論. 培風館, 2003.
[4] 弥永昌吉=小平邦彦. 現代数学概説 (i). 岩波書店, 1961.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/191

194: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/27(日) 23:58:28.22 ID:6EVaf5Z4

>>188
ふっふ、ほっほ
踏みつけたゴキブリ、しぶといなぁ〜、まだ動いているよｗ ；ｐ）

(引用開始)
>こちらの式の問題点は、>>177に指摘の通りで ”「x は無限集合である」という命題を M(x) とし”の部分であって
>ここを きちんと 集合の言葉で書けるかどうか？ そこが問題です
なんとか先生のφ(x)を使え
(引用終り)

「x は無限集合である」という命題が M(x)だというが
言葉で書けば簡単だが、”無限”という用語は使えないよ
”無限”という用語を使わずに
「x は無限集合である」という意味を 集合の言葉として M(x)を どう書けばいいのか？
それが、問題だ by ハムレット

なお
『N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}（Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの』>>185
において
下記の ja.wikipedia 順序数の大小関係 を借用して
A={0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω)))}
を考えよう

x1={0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω)}
x2={0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω))}
x3={0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω)))}

このとき、xi⊂A ｜i=1,2,3 だから
∩(i=1〜3) xi＝{0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω)}
となる
N≠∩(i=1〜3) xi
ですよ

つまり、自然数Nに余計な ω, S(ω) が入りましたｗ ；ｐ）
なので、『N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}』このままでは
自然数Nの規定としては、ちょっとまずい

で、記号∩ なんて、メンドクサイものを使うのをやめれ
>>115 仏語 Axiome de la réunion、英語 Axiom of union
>>153 渕野 昌先生、>>62 Akito Tsuboi 筑波大
みんな 記号∩は 使わないぞｗ　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
順序数の大小関係
・α が順序数のとき、S(α) ≔ α ∪ { α } は α より大きな順序数のうちで最小のものである。S(α) を α の後続者 (successor of α)と呼ぶ
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω)))

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/194

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