純粋・応用数学・数学隣接分野(含むガロア理論)21 (392レス)
純粋・応用数学・数学隣接分野(含むガロア理論)21 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/
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103: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/07/25(金) 10:45:22.61 ID:ddlXMCUI >>102 >∩恐怖症は治ったかい? ふっふ、ほっほ 踏みつけたゴキブリが まだ動いている ガハハハッ >>72に戻る (引用開始) >まず 記号∩を 他の公理から導かないといけないだろう 分出公理から導けますけど? 知らなかった? ∩X:={x∈A|∃A∈X∧∀Y∈X:(x∈Y)} >その上で ”N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”についての説明が必要だよね 不要。 (引用終り) 全部 >>72 v)「ゲーデルと20世紀の論理学第4巻」(東京大学出版会,2007)の,渕野 昌の執筆した第I部 https://fuchino.ddo.jp/books/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf に書いて有る (引用開始) P10(無限公理) 集合 x で空集合を元として含み,すべての y ∈ x に対し,y ∪ {y} ∈ x となるようなものが存在する. 無限公理で存在の保証された集合 x は 0, 1, 2,. . . のすべてを含むものとなっている.そこで,このような x と分出公理を用いると,自然数の全体からなる集合N = {0, 1, 2, . . . }の存在が証明できる3).3) 詳細については,p.48 を参照. (引用終り) 分出公理については、上記 渕野先生のpdfにもあるが、下記ja.wikipediaが分かり易いだろう 平たくいえば、分出公理=部分集合を作る公理 で、ZFC公理系では 自然数の全体からなる集合N = {0, 1, 2, . . . }を作るのに 一旦 無限公理で Nを部分集合として含む 無限集合の存在A(とする)を認めて Aから、分出公理で部分集合として Nを取り出すという(by 渕野他) さて、上記 N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} なる式が 自然数の集合N を表すと宣う 問題は、記号∩を導くのに 分出公理を必要とするならば それは冗長だろう!■ 補足 なお 単純に 集合N = {0, 1, 2, . . . }のような無限集合を構築することは ZFC公理系では許されない 下記の通り ラッセルのパラドックスなどを防ぐために 無限集合の構築に制限を設けている (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96 ツェルメロ=フレンケル集合論 3. 分出公理図式(内包公理図式) →詳細は「分出公理」および「en:Axiom schema of specification」を参照 部分集合は通常、集合の内包的記法(英語版)を用いて表される 分出公理は部分集合のみを構築でき、次のように一般的な集合を構築することはできないことに注意せよ: {x:ϕ(x)}. この制限は、ラッセルのパラドックス 略 や、ラッセルのパラドックスの変種(無制限の内包公理を含む素朴集合論に関連するもの)を防ぐするために必要である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/103
177: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/07/27(日) 17:12:08.61 ID:WsIwlYym >>175 (引用開始) >まず、何でもいいので1つ無限集合 a を選びます。 また、「x は無限集合である」という命題を M(x) とし、 以下のような集合 a^ を作ります。 >a^ = {x ∈P(a) | M(x)} >P (a) は a の「冪集合」です。 すなわち、a^ は a の部分集合のうち、無限集合になるようなもの全てを集めた集合です。 >そして、a^ の全ての元の共通部分を取ります。 >ωa = ∩a^ これは >N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} とまったく同じであることは分かる? (引用終り) ふっふ、ほっほ ”まったく同じ”とは、思わない 結果的に、同じ自然数の集合 N=ωa が示せたとしても 手法が違うよね つまり 1)”a^ = {x ∈P(a) | M(x)}”は、冪集合 P (a) を使っていることが 一つの工夫だね 即ち M(x)無しで 冪集合 P (a) が、自然数の集合 Nを 含んでいることは言えるからね 但し、M(x)無しで 集合積 ∩a^ とすると、N=ωa よりも 集合が小さくなるだろう 問題は、M(x)をどう定義するか? へたをすると、”M(x)が 自然数の集合 N を定義する”と言った 途端に 循環論法だね つまり、”M(x)が 自然数の集合 N を定義する”のに、それを使って N=ωa 主張すると 循環しているよね 2)”N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”は だれかが、なにかを勘違いして 書いた気がするな >>176 >内容が無い 似た話を、昔誰かのホームページかブログかで ノイマンが、すべての無限集合の共通部分 つまり 無限集合の最小のもの として、自然数 N=ωa を定義した みたいな書き込みを見た記憶がある そのときは、へーと関心したのだが・・w ;p) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/177
266: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [] 2025/08/31(日) 22:58:17.61 ID:Q92KWSCo 超越的な弦があるのなら、放つ矢の方はどうだろうか。そこまで描けてないんだな。俺の最高級の 1 本の弓と矢がまたガルーダの0をもたらしたようには。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/266
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