純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21 (392ﾚｽ)
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172: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/27(日) 14:34:18.21 ID:WsIwlYym

つづき

https://ufcpp.net/study/math/set/axiom/
Copyright Nobuyuki Iwanaga since 2000  ++C++; // 未確認飛行 C について
集合の公理系
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目次
公理系
ZFC公理系

https://ufcpp.net/study/math/set/set
Copyright Nobuyuki Iwanaga since 2000  ++C++; // 未確認飛行 C について
集合
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目次
概要
集合とは
元
等しい集合
部分集合
空集合
集合に対する操作
対
合併
共通部分
その他の操作
冪集合

概要
「ZFC公理系」を満たす数学的思考の対象を集合(set)といいます。 自然数や実数などの集合も、ZFC公理系から出発して構築していくことが出来ます。
ZFC公理系を満たすもの以外にも、 数学的思考の対象（object）の集まり(collection)を考えることは出来ますが、 集合論ではそのような集まりは議論の対象から外します。 これは、何でもかんでも扱おうとして、理論が破綻しないようにするためです。 （何でもかんでも扱おうとすると生じてしまう矛盾の例として、 ラッセルの背理(Russell's paradox)というものがあります。 興味があれば調べてみてください。）

集合とは
「概要」でも述べましたが、 集合論ではZFC公理系を満たすような物を集合と呼びます。

集合に対する操作
対
2つの集合 a, b から、これら2つを要素として持つ集合 c ＝ {a, b} を作ることが考えられます。 このような操作が出来る（このような集合が存在する）ということを仮定するのが「対の公理」です。
∀a∀b∃c∃x(x∈c ⇔ x＝a∨x＝b)
このようにして得られる集合 {a, b} を対（pair）と呼びます。 このとき、a と b の順番は関係ありません。 すなわち、{a, b} と {b, a} はどちらも同じものになります。 順序が関係ないということを明示するために、対を非順序対（unordered pair）と呼ぶこともあります。
また、a ＝ b の場合、対 {a, a} を単に {a} と書き、a のシングルトン（singleton）と呼びます。 a と {a} は全く別の集合になります。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/172

312: １３２人目の素数さん [] 2025/09/21(日) 23:07:26.21 ID:cEGpGchm

つづき

２．続けて時枝はいう
　私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかた(の冒頭)に似ている.
但しもっときびしい同値関係を使う.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0
形式的冪級数（英: formal power series）とは、（形式的）多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。
定義
A を可換とは限らない環とする。A に係数をもち X を変数（不定元）とする（一変数）形式的冪級数 (formal power series) とは、各 ai (i = 0, 1, 2, …) を A の元として、
?n=0〜∞ anXn=a0+a1X+a2X^2+⋯
の形をしたものである。ある m が存在して n ≥ m のとき an = 0 となるようなものは多項式と見なすことができる。
形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0
多項式環（英語: polynomial ring）は環に係数を持つ一変数または多変数の多項式の全体の集合が成す環である。
注意すべき点として、多項式には項が有限個しかないこと —つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 pk がすべて零であるということ— は、暗黙の了解である
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/312

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