ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (485ﾚｽ)
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258: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/29(日) 10:16:55.23 ID:HQSTLRKE

>>256
ありがとう
良い突っ込みだね

”1の冪根の方程式 x^n-1=0 (2≦n) において
この方程式のガロア群は 本質的に巡回群だ”は、省略形です

まあ、>>255で引用した 石井の頂本を読んで貰えば 省略されていることは
全部記述があるよ （別に 石井の頂本以外の該当箇所でも可）
ちゃんとしたガロア本の成書で補うべし、そういう前提で書いている
念のため、ガロア群 ja.wikipediaを引用しておく

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%BE%A4
ガロア群
定義
体の拡大のガロア群
略
多項式のガロア群
体 E が多項式 f の F 上の分解体（ f の根をすべて含む最小の F の拡大体）であるとき、 Gal(E/F) を f の F 上のガロア群と呼ぶ。
(引用終り)

>「Q上のすべてのアーベル拡大は、円分体またはその部分体として得られる」
>というクロネッカー-ウェーバーの定理と齟齬が生じるとは思いませんか？

そこも、興味深いツッコミだが
齟齬は　全く生じていないと思うよ
下記をご参照

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E6%8B%A1%E5%A4%A7
アーベル拡大
ガロア群がアーベル群となるようなガロア拡大のことをアーベル拡大 (abelian extension) と言う。ガロア群が巡回群のときは、巡回拡大 (cyclic extension) という。ガロア拡大が可解 (solvable) であるとは、ガロア群が可解、つまり中間拡大に対応するアーベル群の列からガロア群が構成されるときを言う。
有限体の全ての有限拡大は、巡回拡大である。類体論の発展は、数体と局所体と、有限体上の代数曲線の函数体のアーベル拡大についての詳細な情報をもたらした。
円分拡大という概念があり、2つの少し異なる定義がある。1つは1の冪根による拡大のことであり、もう1つはその部分拡大のことである。例えば円分体は円分拡大である。任意の円分拡大はいずれの定義でもアーベル拡大である。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%83%8D%E3%83%83%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
クロネッカー・ウェーバーの定理
代数的整数論において、すべての円分体は有理数体 Q のアーベル拡大であることが示せる。クロネッカー・ウェーバーの定理 (Kronecker–Weber theorem) は、この逆を部分的に与えるもので、Q のアーベル拡大体はある円分体に含まれるという定理である。言い換えると、有理数体上の拡大体でそのガロア群がアーベル群である体に含まれる代数的整数は、1の冪根の有理係数による和として表すことができる。

https://tsujimotter.ｈａｔｅｎａblog.com/entry/kronecker-weber-1
tsujimotterのノートブック
2017-07-02
クロネッカー・ウェーバーの定理と証明のあらすじ（その１）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/258

369: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/20(日) 16:03:55.23 ID:JxJPBISF

つづき

幾何学的版では、リーマン面（ドーナツのような穴の開いた図形）の性質を研究します。具体的には、「基本群」（図形の周りにループを描く方法）と「層」（図形の各点に情報を割り当てる方法）という二つの概念の間に対応関係があることを主張していました。

9人の数学者チームが5本の論文、合計約1000ページにわたる証明を完成させました。リーダーのデニス・ゲイトスゴリーとサム・ラスキンは、この功績により、2025年のブレイクスルー賞（賞金300万ドル）を受賞しています。

物理学との意外な関係
驚くべきことに、この純粋に数学的な理論が、物理学の最先端分野と深く関わっていることが分かってきました。2007年、プリンストン高等研究所のエドワード・ウィッテンとカリフォルニア工科大学のアントン・カプスティンは、幾何学的ラングランズ対応が、量子場理論における「S双対性」という対称性と本質的に同じものであることを示しました。

S双対性とは、電場と磁場を入れ替えても物理法則が変わらないという、マクスウェル方程式の美しい性質を量子の世界に拡張したものです。純粋数学の理論が、素粒子物理学の深い対称性と結びついているという発見は、多くの研究者を驚かせました。

今後の展望：新たな扉が開かれた
テキサス大学のデビッド・ベン＝ツヴィ教授は、「これは巨大な勝利です。しかし、扉を閉じるのではなく、新たに十数個の扉を開け放つものです」と語っています。実際、今回の証明は、新たな研究の出発点となることが期待されています。

特に注目されているのは、「局所」版のラングランズプログラムへの応用です。これは、数学的対象の特定の点の周りを「ズームイン」して調べる手法で、マックス・プランク数学研究所のピーター・ショルツェらが精力的に研究を進めています。

また、数理物理学者のミンヒョン・キムは、物理学の概念を使って数論の問題にアプローチする新しい方法を開発しています。「フェルマーの最終定理のような単純に見える問題でさえ難しい。物理学のアイデアを使うことで、新たな突破口が開けるかもしれません」と彼は語ります。

学の美しさと統一性
ラングランズプログラムが示すのは、数学の異なる分野が実は深いところでつながっているという、驚くべき事実です。それは、地球上の異なる大陸が、実は海底でつながっているという発見に似ています
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/369

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