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ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17 (1002ﾚｽ)
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/
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651: １３２人目の素数さん [] 2025/05/24(土) 02:36:50.66 ID:yEGoU5Ff >>650 >『そんなわけで、Lagrange resolventは面白いが、方程式を解くのに使える万能薬ではないのである』 >を 百回音読してかみしめてね それは引用元のひとが完全な誤解をしているから。 >>645に書いたように、「アーベル群の指標」を使う必要がある。 S_4の正規部分群としてクラインの四元群Vというのがあり、S_4/V≅S_3. S_3に対応する拡大は3次方程式の分解体と同値だろう。 そこで、Vに対応する拡大が問題になるが、これは2次巡回群の直積C_2×C_2 に同型であって、4次巡回群C_4とは異なることに注意しましょう。 引用元のひとは、正しい理解がないと言わざるを得ない。 「アーベル群の指標」を正しく用いれば、完璧に解けるはず。 ちなみにVの異なる指標は4つあるが、指標の取りうる値は±1のみであり ±iはあらわれない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/651
661: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/24(土) 09:44:38.79 ID:qLdpZZ2V >>651-654 ほんと、こいつら ガロアの代数方程式の理論を なんにも 分ってないなぁ〜！ｗ ”さて、そこで ガロアは考えたのだ ここの V = Aa+Bb+Cc+… は、今日では ガロア分解式と呼ばれるのです” ここが一丁目一番地 当時、体の理論は無かったから ガロアは ガロア分解式V = Aa+Bb+Cc+… を 体の理論の代用として使った（後の数学者 デデキントたちが 体の理論に書き換えた） ガロアは ここから 彼の代数方程式の理論を 今で言う 抽象的な群と体の理論として 展開していく それが、現代に繋がる 抽象代数学の原点なのです これについては、下記の玉川安騎男「ガロア理論とその発展」をご覧あれ （グロタンディークもこの一つ例にすぎないのです） ”自分は、１のｐ条根を、べき根でどう解くか、書いてあるＨＰ読んで 可解性ってそういうことだったんだぁと、理解しましたね”>>495 って、視点が低すぎるよ。大局観がなさすぎｗ ；ｐ） (参考) https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H18-tamagawa.pdf 平成18年度(第28回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所 平成18年7月) ガロア理論とその発展 玉川安騎男 §0. はじめに ガロア理論とは、Evariste Galois (1811-1832) によって創始された、代数方程式の解の置換に関する理論です。その基本定理は「体」と「群」という代数学の基本概念を用いて述べることができ、現在でも整数論の研究の中で最も基本的な道具の１つであり続けています。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/661
695: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/24(土) 21:00:06.56 ID:yEGoU5Ff >>651 >「アーベル群の指標」を正しく用いれば、完璧に解けるはず。 古典理論の中に既に答えがあった。（高木貞治著『代数学講義』参照） 一般4次方程式の4つの根、x_1,x_2,x_3,x_4 に対して S_4の正規部分群Vについての（一般化された）ラグランジュ分解式は x_1+x_2+x_3+x_4, x_1+x_2-x_3-x_4, x_1-x_2+x_3-x_4, x_1-x_2-x_3+x_4 の4つ。最初の式はそれ自体対称式、残り3つはVの作用によって±1倍の違いが生じる。 したがって、その2乗たちはVの作用で不変で、係数体上のある3次方程式の根になる。 だから、まずこの3次方程式を解いて、その平方根から上の後者3つの量が得られる。 最初の一つは元の4次方程式の係数からそのまま得られる。 あとは、>>536と同様に連立一次方程式に帰するから、x_1,x_2,x_3,x_4が求められる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/695
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