ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17

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442: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/17(土) 23:28:55.87 ID:y2zepp9J

>>436
>「RからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)はQでの値だけで一意的に定まるか？」
>「QからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)をRからRへの連続函数に（一意的に）拡張できるか？」
>前者と後者は雰囲気は似ていても、異なる命題だね。

なるほど
後者をも考えていた

>>435
>𝑓(𝑥) と 𝑔(𝑥) は連続関数なので、有理数点 𝑞𝑛 で 𝑓(𝑞𝑛)=𝑔(𝑞𝑛) ならば、
>極限を取ることで
>lim 𝑛→∞ 𝑓(𝑞𝑛)=lim⁡ 𝑛→∞ 𝑔(𝑞𝑛).
>しかし、連続性より、右辺はそれぞれ

うむ
そこは、下記 stackexchange に落ちていたが
𝑓(𝑥) - 𝑔(𝑥)と 差を作るのが 常用の手スジで エレガントだね （Copilotも たまには 正しいみたい ；ｐ）
なので、「RからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)はQでの値だけで一意的に定まるか？」では 一様収束は 不要
「QからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)をRからRへの連続函数に（一意的に）拡張できるか？」では 一様収束は 必要
ってことね

(参考)
https://math.stackexchange.com/questions/379899/why-is-every-continuous-function-on-the-reals-determined-by-its-value-on-rationa
Why is every continuous function on the reals determined by its value on rationals? [closed]
Asked 12 years ago
asked May 3, 2013
Timothy Chang

answered May 3, 2013
Gyu Eun Lee

Suppose I have two continuous functions f,g:R→R
that agree at every rational number. You want to conclude that f(x)=g(x)
for every real number x.
Alternatively, you can show that f(x)−g(x)=0
for every real number x.
f−g  is a continuous function on R, and (f−g)(q)=0
for every rational number q.
Let x  be an arbitrary real number. Since the rationals are dense in the reals, we choose a sequence of rational numbers converging to x.
On this sequence f−g  is identically zero, and passing to the limit by continuity, we conclude that (f−g)(x)=0.
Since x  was arbitrary f−g is identically zero on R.
So a continuous function on R is uniquely determined by its values on Q.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/442

444: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/17(土) 23:44:37.10 ID:y2zepp9J

>>442 追加
>「QからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)をRからRへの連続函数に（一意的に）拡張できるか？」では 一様収束は 必要

”Tietze extension theorem”貼っておきますね

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Tietze_extension_theorem
Tietze extension theorem

In topology, the Tietze extension theorem (also known as the Tietze–Urysohn–Brouwer extension theorem or Urysohn-Brouwer lemma[1]) states that any real-valued, continuous function on a closed subset of a normal topological space can be extended to the entire space, preserving boundedness if necessary.

Formal statement

Proof
略す
History
L. E. J. Brouwer and Henri Lebesgue proved a special case of the theorem, when
X is a finite-dimensional real vector space. Heinrich Tietze extended it to all metric spaces, and Pavel Urysohn proved the theorem as stated here, for normal topological spaces.[2][3]

Equivalent statements
This theorem is equivalent to Urysohn's lemma (which is also equivalent to the normality of the space) and is widely applicable, since all metric spaces and all compact Hausdorff spaces are normal. It can be generalized by replacing
R with R^J for some indexing set J, any retract of R^J, or any normal absolute retract whatsoever.

https://en.wikipedia.org/wiki/Heinrich_Tietze
Heinrich Tietze
Heinrich Franz Friedrich Tietze (August 31, 1880 – February 17, 1964) was an Austrian mathematician, famous for the Tietze extension theorem on functions from topological spaces to the real numbers. He also developed the Tietze transformations for group presentations, and was the first to pose the group isomorphism problem. Tietze's graph is also named after him; it describes the boundaries of a subdivision of the Möbius strip into six mutually-adjacent regions, found by Tietze as part of an extension of the four color theorem to non-orientable surfaces.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/444

449: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/18(日) 08:16:13.18 ID:kvRHpDhK

>>442 蛇足
>下記 stackexchange に落ちていた

裏話だが
1）日本語情報より、英語情報が100倍と言われる
2）そこで google翻訳で 検索キーワードを 英語に訳して 検索した
　キーワード”Real function Continuous function Determined by the values of rational points”
　で 冒頭が
　”Why is every continuous function on the reals determined ...
Mathematics Stack Exchange
https://math.stackexchange.com › ...このページを訳す
2013/05/03 — Since the rationals are dense in the reals, we can construct a sequence (qn)∞1 of rational numbers approaching any real number x∈R.
Must a continuous function with rational image be ...
回答 2 件
2022年6月12日
Can there be two distinct, continuous functions that ...
回答 4 件
2010年7月22日
math.stackexchange.com からの検索結果”
　で、>>442の投稿の通り
3）なお、”一意性の証明”のスジは、下記の通り
　”次にそのような対象がもう一つあり（例: a と b） a=b を示す”だね
　さらに もう一つ a=bを示すときに、>>442のように
　”Alternatively, you can show that f(x)−g(x)=0”
　とするのも 一つの手スジであって、
　a-b＝0 を示す方が エレガントでスッキリしている場合が多いってこと

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E6%84%8F%E6%80%A7_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
一意性 (数学)
一意性の証明
ある対象が一意性を満たすかどうかを証明する方法は、
始めに目的の条件を持つ対象が存在することを証明し、
次にそのような対象がもう一つあり（例: a と b）、
それらが互いに等しいこと（すなわち
a=b）を示すことで得られる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/449

456: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/19(月) 14:45:56.37 ID:q68wgaXf

>>449 裏話さらに追加
　>>399より
Q：”「実数から実数への連続関数は
　すべての有理数の点の上での値だけで特定できる」”

この問題で、まず浮かんだ 典型例が よく知られた ディリクレの関数、トマエ関数など病的関数で
（ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%97%85%E7%9A%84%E3%81%AA_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
（上記wikipediaより”「病的な関数」の古典的な例の一つに、至る所で連続であるが至る所微分不可能な、ワイエルシュトラス関数と呼ばれるものがある”）

ディリクレの関数は、有理点で1、無理数点で0を取る関数で、いたるところ不連続
トマエ関数は、有理点で1/q (at p/q(既約分数))、無理数点で0を取る関数で、無理数点で連続で 有理点で不連続

さらに （下記）"Modifications of Thomae's Function and Differentiability"があって、これ旧ガロアすれで 取り上げたことがある（10年ほど前に）
下記は、要するに 有理点で1/q よりも 早く減衰する場合（例えば 2乗 (1/q^2) など）は、無理数点で微分可能にできる ということだ

なので、今の場合に当てはめると、このような病的な場合を抑えるには
単なる連続では足りないのでは？　と思ったわけです
（てっきり 病的な場合のヒッカケを警戒していたのだがｗｗ）

その視点で、ちょっと検索すると
　>>414の”定理 稠密集合上での一様連続関数は一意に拡張できる”
”はてなブログ Branched Evolution
2020/08/16 — 距離空間上に定義された一様連続関数は完備化した空間上の一様連続関数に一意的に拡張できる”
がヒットしたので、”一様連続”が必要と思った次第

>>423の”Copilot”の証明など 全く信用するに足りないので
（”Copilot”が、一様連続と （単なる）連続 の微妙な 機微を理解しているわけないからなぁ〜ｗｗ ；ｐ）

なので、”Copilot”の証明を受けて 再度検索してみたが、和文では めぼしい文献がヒットしなかったのです
そこで、>>442のように 英文で検索すると stackexchange がヒットして なるほどと思ったわけだ

余談>>428より
”匿名なので正直にぶっちゃけるが・・・
正直、定理については知ってたが、証明は知らんかったｗ”

ここは、こちらも 正直 その定理は初耳だったよ
和文の情報は なかなかヒットしなかったし
英文でも 下記の”Mathematical Statistics”の付録で
”(b) A continuous function is determined by its values on any dense subset of R (in other words: if D is a dense subset of R and if two continuous functions f,g are equal on D, then they must be equal on R, so f = g).”
がヒットするくらいなのだ

勉強不足のいいわけだが、機会あれば 和書の実解析の本 チラ見してみるわｗ ；ｐ）
多分、日本だと 上記”距離空間上に定義された一様連続関数は完備化した空間上の一様連続関数に一意的に拡張できる”
のついでに教えているのかもね・・（少ない講義時間で 寄り道をしていると ”寄り道の多い数学”者 と言われるかもだろう ；ｐ）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/456

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