ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17 (1002ﾚｽ)
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442: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/17(土) 23:28:55.87 ID:y2zepp9J

>>436
>「RからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)はQでの値だけで一意的に定まるか？」
>「QからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)をRからRへの連続函数に（一意的に）拡張できるか？」
>前者と後者は雰囲気は似ていても、異なる命題だね。

なるほど
後者をも考えていた

>>435
>𝑓(𝑥) と 𝑔(𝑥) は連続関数なので、有理数点 𝑞𝑛 で 𝑓(𝑞𝑛)=𝑔(𝑞𝑛) ならば、
>極限を取ることで
>lim 𝑛→∞ 𝑓(𝑞𝑛)=lim⁡ 𝑛→∞ 𝑔(𝑞𝑛).
>しかし、連続性より、右辺はそれぞれ

うむ
そこは、下記 stackexchange に落ちていたが
𝑓(𝑥) - 𝑔(𝑥)と 差を作るのが 常用の手スジで エレガントだね （Copilotも たまには 正しいみたい ；ｐ）
なので、「RからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)はQでの値だけで一意的に定まるか？」では 一様収束は 不要
「QからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)をRからRへの連続函数に（一意的に）拡張できるか？」では 一様収束は 必要
ってことね

(参考)
https://math.stackexchange.com/questions/379899/why-is-every-continuous-function-on-the-reals-determined-by-its-value-on-rationa
Why is every continuous function on the reals determined by its value on rationals? [closed]
Asked 12 years ago
asked May 3, 2013
Timothy Chang

answered May 3, 2013
Gyu Eun Lee

Suppose I have two continuous functions f,g:R→R
that agree at every rational number. You want to conclude that f(x)=g(x)
for every real number x.
Alternatively, you can show that f(x)−g(x)=0
for every real number x.
f−g  is a continuous function on R, and (f−g)(q)=0
for every rational number q.
Let x  be an arbitrary real number. Since the rationals are dense in the reals, we choose a sequence of rational numbers converging to x.
On this sequence f−g  is identically zero, and passing to the limit by continuity, we conclude that (f−g)(x)=0.
Since x  was arbitrary f−g is identically zero on R.
So a continuous function on R is uniquely determined by its values on Q.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/442

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