ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17

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414: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/17(土) 10:31:30.33 ID:y2zepp9J

>>403 追加
google検索：定理 稠密集合上での一様連続関数は一意に拡張できる

一様連続関数を完備化した空間に拡張する
はてなブログ Branched Evolution
https://evolite.はてなブログ.com › entry
2020/08/16 — 距離空間上に定義された一様連続関数は完備化した空間上の一様連続関数に一意的に拡張できる．

なお、藤岡敦 関西大学システム理工学部数学科
下記2011年 一橋大学時代か。これ 一橋大の講義か？ もしそうなら 一橋大 おそるべし（＾＾；
https://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/
藤岡敦 関西大学システム理工学部数学科
https://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/hit/hit.html
２０１１年度 一橋大学時代のもの
https://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/hit/ms/ms.html
２０１１年度冬学期「数理構造II」一橋大学時代のもの
　§１．Euclid 空間　１０月７日分資料（１０月７日修正版）
　§２．距離空間と位相空間　１０月１４日分資料（１０月７日版）
　§３．連続写像　１０月２１日分資料（１０月１４日版）
　§４．実連続関数　１０月２８日分資料（１０月２１日版）
　§５．完備性　１１月１１日分資料（１０月２８日版）
　§６．Dini の定理　１１月２５日分資料（１１月２５日修正版）
　§７．Ascoli-Arzela の定理　１２月２日分資料（１１月２５日版）
　§８．代数的構造　１２月９日分資料（１２月５日版）
　§９．Stone-Weierstrass の定理　１２月１６日分資料（１２月９日版）
　§１０．Urysohn の補題　１月６日分資料（１２月１６日版）
　§１１．Tietze の拡張定理　１月２０日分資料（１月６日版）
　§１２．コンパクト開位相　１月２７日分資料（１月２５日修正版）
https://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/hit/ms/111111ms.pdf
２０１１年１１月１１日数理構造II（藤岡敦担当）授業資料1
§5. 完備性
実連続関数全体の集合は完備な距離空間と同様の性質をもつ.まず, 距離空間の完備性について述べよう.

さて, 実連続関数全体の集合について考えよう.定義 (X,O)を位相空間とし,C(X)の一様収束位相を考える.
{fn}をC(X)の点列とする. 任意のε>0に対しあるN ∈Nが存在し,n≥Nならばfn∈B(fN;ε)となるとき,{fn}n∈Nを一様Cauchy列とよぶ.
距離空間の場合と同様に,C(X)の一様収束する点列は一様Cauchy列であることが分かる.
また, Xがコンパクトなときは一様Cauchy列は距離空間(C(X),d)のCauchy列に他ならない.
次に示すようにC(X)は完備な距離空間と同様の性質をもつ.
定理 C(X)の一様Cauchy列は一様収束する.
証明
略す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/414

456: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/19(月) 14:45:56.37 ID:q68wgaXf

>>449 裏話さらに追加
　>>399より
Q：”「実数から実数への連続関数は
　すべての有理数の点の上での値だけで特定できる」”

この問題で、まず浮かんだ 典型例が よく知られた ディリクレの関数、トマエ関数など病的関数で
（ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%97%85%E7%9A%84%E3%81%AA_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
（上記wikipediaより”「病的な関数」の古典的な例の一つに、至る所で連続であるが至る所微分不可能な、ワイエルシュトラス関数と呼ばれるものがある”）

ディリクレの関数は、有理点で1、無理数点で0を取る関数で、いたるところ不連続
トマエ関数は、有理点で1/q (at p/q(既約分数))、無理数点で0を取る関数で、無理数点で連続で 有理点で不連続

さらに （下記）"Modifications of Thomae's Function and Differentiability"があって、これ旧ガロアすれで 取り上げたことがある（10年ほど前に）
下記は、要するに 有理点で1/q よりも 早く減衰する場合（例えば 2乗 (1/q^2) など）は、無理数点で微分可能にできる ということだ

なので、今の場合に当てはめると、このような病的な場合を抑えるには
単なる連続では足りないのでは？　と思ったわけです
（てっきり 病的な場合のヒッカケを警戒していたのだがｗｗ）

その視点で、ちょっと検索すると
　>>414の”定理 稠密集合上での一様連続関数は一意に拡張できる”
”はてなブログ Branched Evolution
2020/08/16 — 距離空間上に定義された一様連続関数は完備化した空間上の一様連続関数に一意的に拡張できる”
がヒットしたので、”一様連続”が必要と思った次第

>>423の”Copilot”の証明など 全く信用するに足りないので
（”Copilot”が、一様連続と （単なる）連続 の微妙な 機微を理解しているわけないからなぁ〜ｗｗ ；ｐ）

なので、”Copilot”の証明を受けて 再度検索してみたが、和文では めぼしい文献がヒットしなかったのです
そこで、>>442のように 英文で検索すると stackexchange がヒットして なるほどと思ったわけだ

余談>>428より
”匿名なので正直にぶっちゃけるが・・・
正直、定理については知ってたが、証明は知らんかったｗ”

ここは、こちらも 正直 その定理は初耳だったよ
和文の情報は なかなかヒットしなかったし
英文でも 下記の”Mathematical Statistics”の付録で
”(b) A continuous function is determined by its values on any dense subset of R (in other words: if D is a dense subset of R and if two continuous functions f,g are equal on D, then they must be equal on R, so f = g).”
がヒットするくらいなのだ

勉強不足のいいわけだが、機会あれば 和書の実解析の本 チラ見してみるわｗ ；ｐ）
多分、日本だと 上記”距離空間上に定義された一様連続関数は完備化した空間上の一様連続関数に一意的に拡張できる”
のついでに教えているのかもね・・（少ない講義時間で 寄り道をしていると ”寄り道の多い数学”者 と言われるかもだろう ；ｐ）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/456

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