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ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17 (1002ﾚｽ)
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/
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173: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/12(月) 06:35:20.81 ID:dLUNia17 完備距離空間＃完備化 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93#%E5%AE%8C%E5%82%99%E5%8C%96 （引用始） 任意の距離空間 M に対して、M を稠密部分空間として含む完備距離空間 M′を構成することができる。 この完備距離空間は、 完備化の普遍性 「任意の完備距離空間 N と M から N への一様連続写像が与えられたとき、 M′ から N への一様連続写像 f′ で f の延長となるものが一意に存在する」 という普遍性を持つ。 空間 M′ は等距変換の違いを除いて、この普遍性によって決まり、M の完備化と呼ばれる。 M の完備化は M 内のコーシー列のある同値類集合として構成することができる。 まず M 内の任意の二つのコーシー列 (xn)n と (yn)n に対して、それらの間の距離を d(x,y)=lim‗n d(xn,yn) で定める（この極限は、実数直線が完備であることから存在する）。 これは実は擬距離であって距離関数ではない（二つの相異なるコーシー列の間の距離が 0 となることがあり得る）が、 「距離が 0 である」というのはコーシー列全体の成す集合上の同値関係で、 これで割って得られる同値類集合は距離空間となり、これが M の完備化を与える。 もともとの空間 M は各元 x に対して、x に収束するコーシー列の同値類 （これはつまり各項が常に x を値に取る定値列を含む同値類である） と x とを同一視することにより、完備化へ埋め込まれる。 この埋め込みが所期の通り稠密部分空間の上への等距変換を定める。 （引用終） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/173
174: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/12(月) 06:36:03.72 ID:dLUNia17 >>173のつづき （引用始） ただし注意すべき点として、今示した構成法は実数の完備性を明示的に用いているので、 有理数の集合 ℚ の完備化については少し異なる扱いが必要になる。 実数全体の成す集合を、有理数全体の成す集合の通常の絶対値で測った距離に関する完備化として得る、 カントールによる実数の構成法は、上記の構成法と同様だが、 実数の構成において実数自身の完備性を用いることは論理的に許されない という問題に慎重に取り組まねばならない。 そうは言っても、上記と同じくコーシー列の同値類を定義して、 その同値類全体の成す集合が有理数の全体を部分体として含む体を成すこと を示すのは容易である。 この新しい体は完備であり、自然な全順序を備え、同型を除いて唯一の完備全順序体となる。 こうして実数全体の成す体が「定義」される。 （引用終） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/174
447: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/18(日) 07:55:32.92 ID:kvRHpDhK >>446 >その結論は正しいですね。セタさんは「一様連続」という概念が好きらしい。 >それには一理あると思いますよ。 >もしご自分でその理由が説明できれば感心しますが。 ID:LhBQrX7V さん、投稿ありがとう スレ主です 固有名詞の話は別として 理由は、簡単で 下記の通り 記 >>427の はてなブログ Branched Evolution で ”2020/08/16 — 距離空間上に定義された一様連続関数は完備化した空間上の一様連続関数に一意的に拡張できる．” で、「一様連続関数」とあるから、この命題では 「一様連続」は外せないと読んだ （なお、今見ると >>207にも 完備距離空間 ja.wikipedia で ”完備距離空間は、完備化の普遍性 「任意の完備距離空間 N と M から N への一様連続写像が与えられたとき、M′ から N への一様連続写像 f′ で f の延長となるものが一意に存在する」 という普遍性を持つ。”とある（同様の記述が >>173にもあるね）） 感心するほどではなく ”完備距離空間での 完備化の普遍性”として ”一様連続”は 覚えておくべき そして 理解しておくべきことだね もし ”一様連続”という条件を外すと、>>432の通りで https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy-continuous_function の”Examples and non-examples”の記載の通り non-exampleの存在が示せる ってこと だね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/447
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