ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17

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453: １３２人目の素数さん [] 2025/05/18(日) 08:33:05.69 ID:dHKV9stj

>>447
１，日本語だけじゃなく英語も読めない？

Since the real line R is complete, continuous functions on R are Cauchy-continuous.
On the subspace Q of rational numbers, however, matters are different.
For example, define a two-valued function so that f(x) is
0 when x^2 is less than 2 but
1 when x^2 is greater than 2.
(Note that x^2 is never equal to 2 for any rational number x.)
This function is continuous on Q but not Cauchy-continuous,
since it cannot be extended continuously to R.

On the other hand, any uniformly continuous function on Q must be Cauchy-continuous.

For a non-uniform example on Q,let f(x) be 2^x;
this is not uniformly continuous (on all of Q),
but it is Cauchy-continuous. (This example works equally well on R.)

ここに全部書いてあるじゃん

Q上コーシー連続なら、Q上連続
しかし、Q上で連続でも、コーシー連続じゃないと拡張できない
（例：ｘ＾２＜２ならｆ（ｘ）＝０、ｘ＾２＞２ならｆ（ｘ）＝１となる関数は、Ｑ上連続）
Q上コーシー連続なら、R上連続に拡張できる

Q上一様連続なら、コーシー連続
しかし、Q上一様連続でない、コーシー連続関数がある
（ｆ（ｘ）＝２＾ｘ）

だから、ｆ：Ｑ→Ｒを、ｆ：Ｒ→Ｒに一意的に拡張する場合
十分条件　　：Ｑ上一様連続
必要条件　　：Ｑ上連続
必要十分条件：Ｑ上コーシー連続
な

ということで、コーシー連続の定義読めよ

Let X and Y be metric spaces, and let f:X→Y be a function from X to Y.
Then f is Cauchy-continuous if and only if,
given any Cauchy sequence (x1,x2,…) in X,
the sequence (f(x1),f(x2),…) is a Cauchy sequence in Y.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/453

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