[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17 (1002ﾚｽ)

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/

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645: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/23(金) 14:02:28.35 ID:NoFTj/rU >>541に書いた Σ_{σ∈G}χ(σ)(s_0)^σ がべき根であるという事実は Gがアーベル群、χがその指標であっても成立する。 より見やすくするために、s_0=θとし (χ,θ)=Σ_{σ∈G}χ(σ)θ^σ とおく。 ここで重要な仮定をする。χ(σ)の値から生じる1のべき根は、基礎体に 含まれるものとするのである。このとき、Gの作用はχ(σ)を変えない。 その上で、τ∈Gの元が、(χ,θ)にどのように作用するか見てみる。 (χ,θ)^τ=Σ_{σ∈G}χ(σ)θ^{στ} 　　　　　=χ(τ)^(-1)Σ_{σ∈G}χ(στ)θ^{στ} 　　　　　=χ(τ)^(-1)(χ,θ) となる。χ(τ)^(-1)の値が1のn乗根であるなら (χ,θ)^n は、τの作用で不変ということになる。 ポントリャーギン双対は、アーベル群の場合もそのまま成立するのだから これによって、べき根解法はアーベル群の場合も巡回群とまったく同様に 成立することが分かる。このことに大学の頃、昼間寝ていて気づいた。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/645

646: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/23(金) 14:08:54.69 ID:NoFTj/rU このことは、数論的には一つの事実を示している。それは アーベル拡大と広義クンマー拡大の差を示すもので 「アーベル拡大が広義クンマー拡大であるための必要十分条件は ガロア群であるアーベル群Gの指標から生じる1のべき根が すべて基礎体に含まれることである」 というもの。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/646

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