ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17 (1002ﾚｽ)
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1: １３２人目の素数さん [] 2025/05/07(水) 14:56:08.85 ID:w6tWvnRz

前スレが1000近く又は1000超えになったので、新スレを立てる

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/
前スレ ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ16

このスレは、ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレです
関連は、だいたい何でもありです（現代ガロア理論＆乗数イデアル関連他文学論・囲碁将棋まであります）

資料としては、まずはこれ
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/
ガロアの第一論文を読む
渡部 一己 著 （2018.1.28）
PDF
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/galois-1.pdf?attredirects=0

＜乗数イデアル関連＞
ガロア第一論文及びその関連の資料スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/785 以降ご参照
https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplier_ideal Multiplier ideal
https://mathoverflow.net/questions/142937/motivation-for-multiplier-ideal-sheaves motivation for multiplier ideal sheaves asked Sep 23, 2013 Koushik

＜層について＞
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
層 (数学)
https://en.wikipedia.org/wiki/Sheaf_(mathematics)
Sheaf (mathematics)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Faisceau_(math%C3%A9matiques)
Faisceau (mathématiques)

あと、テンプレ順次

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/1

10: １３２人目の素数さん [] 2025/05/07(水) 15:20:10.60 ID:w6tWvnRz

つづき

なお、
おサル＝サイコパス＊のピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets＊＊） （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
＜＊）サイコパスの特徴＞
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
（＊＊）注；https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperboloid Hyperboloid
Hyperboloid of two sheets ：https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Hyperboloid2.png/150px-Hyperboloid2.png
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E9%9D%A2 双曲面
二葉双曲面 ：https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b5/HyperboloidOfTwoSheets.svg/180px-HyperboloidOfTwoSheets.svg.png

おサルさんの正体判明！（＾＾）
スレ12 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/923 より
”「ガロア理論 昭和で分からず 令和でわかる
　＃平成どうしたｗ」
昭和の末期に、どこかの大学の数学科
多分、代数学の講義もあったんだ
でも、さっぱりで、落ちこぼれ卒業して
平成の間だけでも30年、前後を加えて35年か”
”(修士の)ボクの専攻は情報科学ですね”とも

可哀想に、数学科のオチコボレで、鳥無き里のコウモリ***）そのもので、威張り散らし、誰彼無く噛みつくアホ
本来お断り対象だが、他のスレでの迷惑が減るように、このスレで放し飼いとするｗ（＾＾

注***）鳥無き里のコウモリ：自分より優れた数学DRやプロ数学者が居ないところで、たかが数学科のオチコボレが、威張り散らす姿は、哀れなり〜！（＾＾；

なお
低脳幼稚園児のAAお絵かき
小学レベルとバカプロ固定
は、お断りです

小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/10

93: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/10(土) 21:28:32.84 ID:hwkVvexl

前スレ 969 関連
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/969

実数論の中で
数学上のレトリック（叙述順）として
有理コーシー列は、無理数に収束しうるが、
無理数については、あえて まだ 叙述しないで
まずは 有理コーシー列の同値類の代表を使って
四則演算や絶対値の議論を進めて
それらの数学的な 叙述が終わったのち
改めて、有理コーシー列の収束 それは数学的に実数たり得ることと
それに加えて、任意の実数のコーシー列が、実数内に収束することを述べる

こういう叙述の順番が、数学の推理・ミステリーとしては 美しいのです
しかし、書き手としては もともと 有理コーシー列が収束することを知っているのです
知って あえて ”有理コーシー列が収束する”という結論を最後にもってくるのです

その数学の推理・ミステリーとしてのレトリックを勘違いしている人がいる ；ｐ）
”有理コーシー列の収束”を疑う ヤカラ がいます
噴飯ものです

もし、下記の下のように 真に収束しない ”有理コーシー列”があるというならば
それは、”有理コーシー列”で 収束しない反例構成が できた事になりますｗｗ ；ｐ）
それなら 一本 論文が書けますよｗｗｗ ；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97
コーシー列
十分先の方で殆ど値が変化しなくなるものをいう。基本列（きほんれつ、fundamental sequence）、正則列（せいそくれつ、regular sequence）[1]、自己漸近列（じこぜんきんれつ）[2]などとも呼ばれる。実数論において最も基本となる重要な概念の一つである。

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/51/Cauchy_sequence_illustration.png/330px-Cauchy_sequence_illustration.png
各 n に対して順番に縦軸上にプロットしたコーシー列の例。xn = 3e−0.4n sin (5n) たちは、コーシー列を成している。

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f4/Cauchy_sequence_illustration2.png/330px-Cauchy_sequence_illustration2.png
コーシー列ではない例
xn = (n + 2)/(n + 0.8)  sin (5n)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/93

136: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/11(日) 23:16:27.94 ID:F7vNf+MQ

>>129 補足
https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_sequence
Cauchy sequence
In real numbers
A sequence
x1,x2,x3,… of real numbers is called a Cauchy sequence if for every positive real number
ε, there is a positive integer N such that for all natural numbers
m,n>N,
|xm−xn|<ε,
where the vertical bars denote the absolute value.
In a similar way one can define Cauchy sequences of rational or complex numbers.
Cauchy formulated such a condition by requiring
xm−xn to be infinitesimal for every pair of infinite m, n.
For any real number r, the sequence of truncated decimal expansions of r forms a Cauchy sequence.
For example, when r=π, this sequence is (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...). The mth and nth terms differ by at most
10^(1−m) when m < n, and as m grows this becomes smaller than any fixed positive number ε.
(引用終り)

上記のような、無限小数展開との関係は、重要だ
有限小数は、有理数でもあるから
有限小数よるコーシー列は、有理コーシー列であるから
有理コーシー列の集合から、有限小数コーシー列の集合へ、全射が存在する

一方、有理コーシー列の同値類(定義は下記の原隆)において
同値類の中に、一つ単調増加列が存在することを認めると
（単調増加列は必須ではないが、説明の便法として使用）
その単調増加列の有理数を小数展開して 有限小数よるコーシー列に落とせる

例えば、ε＝10^k （kを十分大きく取る）とおくと
|xm−xn|<10^k であるから
小数の言葉に直すと
差 |xm−xn| は、小数k位以下の差しかないとなる
つまりは、xmとxnなどは 殆どが 小数k-1位までは一致しているということ
（ xmを小数展開して 小数k位までを求めて、それをもとに 1桁ずつ増える有限小数のコーシー列が構成できる。それを繰り返す）

但し、例外的に繰り上がりの問題が生じる
つまり、例えば 3.14159・・・という数で
xm＝3.14159,xm+1＝3.141599,xm+1＝3.1416001
のように
xm+1-xm＝0.0000101
となるような
つまり 数字9が連なると、繰り上がりで 5→6 に変わることが起きる
但し、無理数を考えると 無限循環 99999・・ は禁止され
必ず 9以外の数が 小数展開中に無限に出現するので
9の繰り上がりは、数学的に処理可能
よって、無理数の小数展開から作られる 一桁ずつ増える単調増加列と
有理コーシー列の同値類とは対応がついて 単射

よって、有理コーシー列の同値類の集合 ←→ 無理数の一桁ずつ増える有限小数コーシー列の集合
は 全単射
（これら 無理数の小数展開は 我々の日常であって、常識でもある）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/136

177: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/12(月) 07:32:25.53 ID:8FwRldJy

>>174
>ただし注意すべき点として、今示した構成法は実数の完備性を明示的に用いているので、
>有理数の集合 ℚ の完備化については少し異なる扱いが必要になる。
>実数全体の成す集合を、有理数全体の成す集合の通常の絶対値で測った距離に関する完備化として得る、
>カントールによる実数の構成法は、上記の構成法と同様だが、
>実数の構成において実数自身の完備性を用いることは論理的に許されない
>という問題に慎重に取り組まねばならない。
>そうは言っても、上記と同じくコーシー列の同値類を定義して、
>その同値類全体の成す集合が有理数の全体を部分体として含む体を成すこと
>を示すのは容易である。

いや
だから
下記の Terence Tao “big picture”の話と
証明のロジックとして
”実数の構成において実数自身の完備性を用いることは論理的に許されない”
ため 証明の手筋として 技法を駆使する話とを 分けて論じないとね

この二つを混同した議論をする人は、“big picture”が見えるレベルに達していないってこと

(参考)
　>>7より Terence Tao “big picture”（下記）
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-mathematics-than-rigour-and-proofs/comment-page-1/
By Terence Tao
There’s more to mathematics than rigour and proofs July 2016 (1)
3.The “post-rigorous” stage, in which one has grown comfortable with all the rigorous foundations of one’s chosen field, and is now ready to revisit and refine one’s pre-rigorous intuition on the subject, but this time with the intuition solidly buttressed by rigorous theory. (For instance, in this stage one would be able to quickly and accurately perform computations in vector calculus by using analogies with scalar calculus, or informal and semi-rigorous use of infinitesimals, big-O notation, and so forth, and be able to convert all such calculations into a rigorous argument whenever required.) The emphasis is now on applications, intuition, and the “big picture”. This stage usually occupies the late graduate years and beyond.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/177

207: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/12(月) 11:14:22.00 ID:BWkzqcBy

>>177-178 補足
ふっふ、ほっほ

１）Terence Tao “big picture”の話として、完備距離空間 完備化の普遍性
「任意の距離空間 M に対して、M を稠密部分空間として含む完備距離空間 M′）を構成することができる」
　この視点からは、稠密Qによる距離空間 Rの構成は、単なる一例で
　「Qのコーシー列で 距離空間 Rを構成した」と Tao流の“big picture”を語ってもよい
２）一方、昔上司（東北大出身で部長だった）人から 「切り口」という思考スキルを教えてもらった
　複雑な対象は、視点や切り口を変えてみろと
　実数Rの構成法は、いろいろある。デデキントの切断もある。Qのコーシー列に限らない
　この視点では、初期段階としては 必ずしも有理コーシー列は必須ではない
　だから、コーシー列の同値類の概念は 必須でなく、本質でもない
３）加えて、歴史的な視点からは、人類は 小数展開を「手の内化」していた(下記 トヨタ語)
　小数展開を使えば、基本 無理数は 一意の小数展開を持つことから、無限小数展開を使う
　数学的な 実数論も可能ってことですよ

”big picture”の話と
”複雑な対象は、視点や切り口を変えてみろ”という話と
”人類は 小数展開を「手の内化」（下記 トヨタ語）していた”という話
すべて 矛盾せず成り立つ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93
完備距離空間
直観的に言えば、空間が完備であるというのは（その内側や境界において）点を追いかけると「空間からはみ出してしまう」ということが起きないということである。
例えば2 の正の平方根は、それに収束する有理コーシー数列が構成できるにも拘らず、有理数ではないので ℚ からははみ出してしまう（後述）。「こういった抜けを全て埋めてしまう」という考えは後述するように、空間の完備化 (completion) として常に可能である。
例
列（有理コーシー数列）を実数列と考えるならば無理数である √2 を極限に持つ。
完備化
任意の距離空間 M に対して、M を稠密部分空間として含む完備距離空間 M′）を構成することができる。この完備距離空間は、完備化の普遍性
「任意の完備距離空間 N と M から N への一様連続写像が与えられたとき、M′ から N への一様連続写像 f′ で f の延長となるものが一意に存在する」
という普遍性を持つ。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/207

414: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/17(土) 10:31:30.33 ID:y2zepp9J

>>403 追加
google検索：定理 稠密集合上での一様連続関数は一意に拡張できる

一様連続関数を完備化した空間に拡張する
はてなブログ Branched Evolution
https://evolite.はてなブログ.com › entry
2020/08/16 — 距離空間上に定義された一様連続関数は完備化した空間上の一様連続関数に一意的に拡張できる．

なお、藤岡敦 関西大学システム理工学部数学科
下記2011年 一橋大学時代か。これ 一橋大の講義か？ もしそうなら 一橋大 おそるべし（＾＾；
https://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/
藤岡敦 関西大学システム理工学部数学科
https://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/hit/hit.html
２０１１年度 一橋大学時代のもの
https://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/hit/ms/ms.html
２０１１年度冬学期「数理構造II」一橋大学時代のもの
　§１．Euclid 空間　１０月７日分資料（１０月７日修正版）
　§２．距離空間と位相空間　１０月１４日分資料（１０月７日版）
　§３．連続写像　１０月２１日分資料（１０月１４日版）
　§４．実連続関数　１０月２８日分資料（１０月２１日版）
　§５．完備性　１１月１１日分資料（１０月２８日版）
　§６．Dini の定理　１１月２５日分資料（１１月２５日修正版）
　§７．Ascoli-Arzela の定理　１２月２日分資料（１１月２５日版）
　§８．代数的構造　１２月９日分資料（１２月５日版）
　§９．Stone-Weierstrass の定理　１２月１６日分資料（１２月９日版）
　§１０．Urysohn の補題　１月６日分資料（１２月１６日版）
　§１１．Tietze の拡張定理　１月２０日分資料（１月６日版）
　§１２．コンパクト開位相　１月２７日分資料（１月２５日修正版）
https://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/hit/ms/111111ms.pdf
２０１１年１１月１１日数理構造II（藤岡敦担当）授業資料1
§5. 完備性
実連続関数全体の集合は完備な距離空間と同様の性質をもつ.まず, 距離空間の完備性について述べよう.

さて, 実連続関数全体の集合について考えよう.定義 (X,O)を位相空間とし,C(X)の一様収束位相を考える.
{fn}をC(X)の点列とする. 任意のε>0に対しあるN ∈Nが存在し,n≥Nならばfn∈B(fN;ε)となるとき,{fn}n∈Nを一様Cauchy列とよぶ.
距離空間の場合と同様に,C(X)の一様収束する点列は一様Cauchy列であることが分かる.
また, Xがコンパクトなときは一様Cauchy列は距離空間(C(X),d)のCauchy列に他ならない.
次に示すようにC(X)は完備な距離空間と同様の性質をもつ.
定理 C(X)の一様Cauchy列は一様収束する.
証明
略す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/414

432: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/17(土) 20:00:54.76 ID:y2zepp9J

>>427 補足
>（”一様連続”の条件を外せるかは ちょっと保留）

”一様連続”を仮定するのが、良さそうだね
下記の通り
一様連続
→Uniform continuity（英文情報（圧倒的に良質情報が多い））
→Cauchy continuity（For a function between metric spaces, uniform continuity implies Cauchy continuity (Fitzpatrick 2006). ）
→Cauchy-continuous function Examples and non-examples
と辿れる
ここで Q上 Cauchy-continuou関数だが Uniform continuouでない関数が、 non-example として構成されている（下記）
こいつは Rへ連続関数として延長不可だ！ｗ ；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E6%A7%98%E9%80%A3%E7%B6%9A
一様連続

https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_continuity
Uniform continuity

Other characterizations
Cauchy continuity
For a function between metric spaces, uniform continuity implies Cauchy continuity (Fitzpatrick 2006).
（注：逆は不成立（下記））

Relations with the extension problem
A sufficient condition for
f to extend to a continuous function
f:X→R is that it is Cauchy-continuous, i.e., the image under
f of a Cauchy sequence remains Cauchy. If
X is complete (and thus the completion of S), then every continuous function from
X to a metric space Y is Cauchy-continuous. Therefore when
X is complete, f extends to a continuous function
f:X→R if and only if f is Cauchy-continuous.
It is easy to see that every uniformly continuous function is Cauchy-continuous and thus extends to X.

https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy-continuous_function
Cauchy-continuous function

Examples and non-examples
Since the real line
R is complete, continuous functions on R are Cauchy-continuous. On the subspace
Q of rational numbers, however, matters are different. For example, define a two-valued function so that
f(x) is
0 when x^2 is less than
2 but 1 when x^2 is greater than 2.
(Note that x^2 is never equal to 2 for any rational number x.)
This function is continuous on Q but not Cauchy-continuous, since it cannot be extended continuously to R.
{\displaystyle \mathbb {R} .} On the other hand, any uniformly continuous function on Q must be Cauchy-continuous.
For a non-uniform example on Q, let f(x) be 2^x;
this is not uniformly continuous (on all of Q),
but it is Cauchy-continuous. (This example works equally well on R.)
A Cauchy sequence (y1,y2,…) in Y can be identified with a Cauchy-continuous function from
{1,1/2,1/3,…} to Y, defined by f(1/n)=yn.
If Y is complete, then this can be extended to {1,1/2,1/3,…}; f(x) will be the limit of the Cauchy sequence.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/432

442: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/17(土) 23:28:55.87 ID:y2zepp9J

>>436
>「RからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)はQでの値だけで一意的に定まるか？」
>「QからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)をRからRへの連続函数に（一意的に）拡張できるか？」
>前者と後者は雰囲気は似ていても、異なる命題だね。

なるほど
後者をも考えていた

>>435
>𝑓(𝑥) と 𝑔(𝑥) は連続関数なので、有理数点 𝑞𝑛 で 𝑓(𝑞𝑛)=𝑔(𝑞𝑛) ならば、
>極限を取ることで
>lim 𝑛→∞ 𝑓(𝑞𝑛)=lim⁡ 𝑛→∞ 𝑔(𝑞𝑛).
>しかし、連続性より、右辺はそれぞれ

うむ
そこは、下記 stackexchange に落ちていたが
𝑓(𝑥) - 𝑔(𝑥)と 差を作るのが 常用の手スジで エレガントだね （Copilotも たまには 正しいみたい ；ｐ）
なので、「RからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)はQでの値だけで一意的に定まるか？」では 一様収束は 不要
「QからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)をRからRへの連続函数に（一意的に）拡張できるか？」では 一様収束は 必要
ってことね

(参考)
https://math.stackexchange.com/questions/379899/why-is-every-continuous-function-on-the-reals-determined-by-its-value-on-rationa
Why is every continuous function on the reals determined by its value on rationals? [closed]
Asked 12 years ago
asked May 3, 2013
Timothy Chang

answered May 3, 2013
Gyu Eun Lee

Suppose I have two continuous functions f,g:R→R
that agree at every rational number. You want to conclude that f(x)=g(x)
for every real number x.
Alternatively, you can show that f(x)−g(x)=0
for every real number x.
f−g  is a continuous function on R, and (f−g)(q)=0
for every rational number q.
Let x  be an arbitrary real number. Since the rationals are dense in the reals, we choose a sequence of rational numbers converging to x.
On this sequence f−g  is identically zero, and passing to the limit by continuity, we conclude that (f−g)(x)=0.
Since x  was arbitrary f−g is identically zero on R.
So a continuous function on R is uniquely determined by its values on Q.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/442

456: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/19(月) 14:45:56.37 ID:q68wgaXf

>>449 裏話さらに追加
　>>399より
Q：”「実数から実数への連続関数は
　すべての有理数の点の上での値だけで特定できる」”

この問題で、まず浮かんだ 典型例が よく知られた ディリクレの関数、トマエ関数など病的関数で
（ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%97%85%E7%9A%84%E3%81%AA_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
（上記wikipediaより”「病的な関数」の古典的な例の一つに、至る所で連続であるが至る所微分不可能な、ワイエルシュトラス関数と呼ばれるものがある”）

ディリクレの関数は、有理点で1、無理数点で0を取る関数で、いたるところ不連続
トマエ関数は、有理点で1/q (at p/q(既約分数))、無理数点で0を取る関数で、無理数点で連続で 有理点で不連続

さらに （下記）"Modifications of Thomae's Function and Differentiability"があって、これ旧ガロアすれで 取り上げたことがある（10年ほど前に）
下記は、要するに 有理点で1/q よりも 早く減衰する場合（例えば 2乗 (1/q^2) など）は、無理数点で微分可能にできる ということだ

なので、今の場合に当てはめると、このような病的な場合を抑えるには
単なる連続では足りないのでは？　と思ったわけです
（てっきり 病的な場合のヒッカケを警戒していたのだがｗｗ）

その視点で、ちょっと検索すると
　>>414の”定理 稠密集合上での一様連続関数は一意に拡張できる”
”はてなブログ Branched Evolution
2020/08/16 — 距離空間上に定義された一様連続関数は完備化した空間上の一様連続関数に一意的に拡張できる”
がヒットしたので、”一様連続”が必要と思った次第

>>423の”Copilot”の証明など 全く信用するに足りないので
（”Copilot”が、一様連続と （単なる）連続 の微妙な 機微を理解しているわけないからなぁ〜ｗｗ ；ｐ）

なので、”Copilot”の証明を受けて 再度検索してみたが、和文では めぼしい文献がヒットしなかったのです
そこで、>>442のように 英文で検索すると stackexchange がヒットして なるほどと思ったわけだ

余談>>428より
”匿名なので正直にぶっちゃけるが・・・
正直、定理については知ってたが、証明は知らんかったｗ”

ここは、こちらも 正直 その定理は初耳だったよ
和文の情報は なかなかヒットしなかったし
英文でも 下記の”Mathematical Statistics”の付録で
”(b) A continuous function is determined by its values on any dense subset of R (in other words: if D is a dense subset of R and if two continuous functions f,g are equal on D, then they must be equal on R, so f = g).”
がヒットするくらいなのだ

勉強不足のいいわけだが、機会あれば 和書の実解析の本 チラ見してみるわｗ ；ｐ）
多分、日本だと 上記”距離空間上に定義された一様連続関数は完備化した空間上の一様連続関数に一意的に拡張できる”
のついでに教えているのかもね・・（少ない講義時間で 寄り道をしていると ”寄り道の多い数学”者 と言われるかもだろう ；ｐ）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/456

491: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/20(火) 17:53:52.97 ID:9Dv5LoIH

>>473-474
>ディリクレ少年：
>いいえお母さん、僕は理解できるまで読むのです。

ID:BGl5UhB7 は、御大か
巡回ご苦労様です

人それぞれのところもあり
まあ だれかも書いているが、天才と凡才とも違うし
で、下記の 謎の数学者 氏は、一つの見識でしょう
彼は、東京理科大の機械工学科のあと、米国の修士で基礎論をやって
そのあと、純粋数学の方へ転向したという（いま 某旧帝大の数学科准教授）
なので、これは 参考になるでしょうね・・（＾＾

私の場合は、ガロア理論を齧ってみようとして
最初、秋月先生の 高等代数学1で 早々に挫折（学部１年だった。”作用域を持つ群”だったかで始まっていてねｗ ）

次に、院卒業か就職したかのころ、
アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) で、ガロア第一論文の訳があって買って
で 守屋 美賀雄先生の翻訳と解説もあり だがこれも 読めなかった（読んだが読めず）
で 服部昭先生の現代代数学も読んでみた。 結構ねばったが（何回も読んだがｗ） やはり挫折

下記謎の数学者氏の基準でいえば、
レベルが 読むに適したレベルに達していなかったのでしょう

その後、矢ケ部先生の数III方式ガロアの理論を見つけて、
こいつは レベルの低いところから書いてくれているので、これはなんとか読めて
でも もやっとしているところが残ったが、「ガロアを読む―第1論文研究」倉田 令二朗 で補って（これも何回も読んだ）

そのあとは、寺田先生のアルティン本とかいろいろ読みました
いま、Cox のガロワ理論 上下 が、良いと思っています
（歴史ノートとかある）

挫折のところが、みなさんの参考になるでしょう （＾＾

(参考)
https://www.youtube.com/watch?v=iRXfk8Bhj0o
大学数学を独学で学ぶ際の教科書の選び方。とりあえず、本の○○を見よ！
謎の数学者
2021/07/10

動画内で言及した動画
教科書は一冊に絞る：   • 大学レベルでの数学の教科書を読む際の注意点。
大学で学ぶ数学の概観：   • 数学科で学ぶ数学の概観。大学ではこんな数学を学びます。数学の三本柱。
数学者を目指すための数学の勉強法：   • 数学者を目指すための数学の勉強法

大学レベルでの数学の教科書を読む際の注意点。
作成者: 謎の数学者

@ルイス-q2u
3 年前
数学の考え方とテキストの合う合わないは人それぞれ

@六連佑斗-h8t
3 年前
有り難い

@Scutigeromorpha
1 年前
個人的に一冊やり込むって読み方にもよるけど、難しいものになればなるほどめちゃくちゃ効率悪いと思う。
なんでかって、わからんから。このわからないには言い方が悪いとか間違ってるとか。
他の本には別の言い方されたりしてるからどうしてもわからなくなったら複数冊を見比べたりしないと沼にハマるし一冊にこだわりすぎるのはダメだと思うな。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/491

505: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/21(水) 07:53:04.30 ID:+3NhFfLb

>>502
>>>501 そこはガロア以前のガウスが見つけたことだからさ
>探すの面倒だから、命題1とその例示の10行、ここに書いてくれる？それが一番話早いからさ

うむ
ここを見ている他の人にも参考になるだろうから

『彌永 「ガロアの時代 ガロアの数学」 第二部 数学篇
第3章 ガロアの主著』P237より

命題I
定理 α,b,c,･･・を、m個の根としてもつ方程式が与えられたとしよう．
そのときいつも次の性質1,2をもつα,b,c,･･・の置換から成る群がある．
1. 根の関数でこの群の置換によって変わらないものは，必ず有理的に知られる．
2. 逆に有理的に決定される根の関数は，この群の置換によって変わらない．

（代数方程式の場合は，この群は1・2・・・・m(= m!)個のm個
の文字のすべての置換から成る群にほかならない．その場合，根
の有理的に知られる関数は対称関数だけであるからである.）

（方程式(x^m-1)/(x-1)＝0の場合は、gを(mod nの)原始根(γを1の
原始n乗根)としα=r,b=r^g,C =r^g^2,・・・とすれば，その群は
単に
a,b,c,d,･･･,k
b,c,d,･･･,k,a
c,d,･･･,k,a,b
　・・・
k,a,b,・・・,i
となる．この特別な場合には，順列の数は方程式の次数に等しい．
これと同じことは，すべての根が1つの根の有理関数として表さ
れる場合に対して成り立つであろう.）

証明 与えられた方程式がどんな方程式であっても，（上に示した
ように)根の(有理)関数Vであって，すべての根がVの有理関数
として表されるようなものを見出すことができる．そこでVを根
以下略す
(引用終り)

上記で、方程式(x^m-1)/(x-1)＝0 以下 成り立つであろう までの約10行がそれだよ
そして、命題は8番まである。命題Iは、当然ながら 冒頭部分にすぎない
繰り返すが 一度、ガロア第一論文を読んでみて(>>501)

”自分は、１のｐ条根を、べき根でどう解くか、書いてあるＨＰ読んで
　可解性ってそういうことだったんだぁと、理解しましたね
　まあ、たぶん教科書にもどっかに書いてあるんだろうけど"
が、滑っているのが分るよ
（なお 上記”方程式(x^m-1)/(x-1)＝0”が、1のべき根を求める式であることは 自明だが、中高一貫生のために 注意しておく）

追伸
　>>504 ID:4hfas3rf は、御大か
巡回ありがとうございます

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/505

520: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/21(水) 10:38:44.47 ID:byug+qYO

>>511-519

ふっふ、ほっほ
　>>505より
”自分は、１のｐ条根を、べき根でどう解くか、書いてあるＨＰ読んで
　可解性ってそういうことだったんだぁと、理解しましたね
　まあ、たぶん教科書にもどっかに書いてあるんだろうけど"（>>495より）
が、滑っているのが分るよ

まあ、ここはいろんな人が来るだろう
中高一貫生も来るかもしれない
滑ったカキコには、赤ペン先生だよ！！ｗ ；ｐ）

さて、ガロアの代数方程式論の到達点は、彌永本にもあるが
下記の 高瀬正仁氏も書かれている通り

(参考)
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/284813/1/B92-02.pdf
アーベルの代数方程式論 高瀬正仁 RIMS B92 2023

ガロアが明示した判定基準は1846年の論文
「方程式の冪根による可解条件について」（まえがきの末尾に1831年1月16日という日付が附されている．
『リューヴィユの数学誌』2，第11巻，1846，417-433頁）
に書き留められている．
ガロアの言葉をそのまま引くと，ガロアが得た判定基準は次のとおりである．
素次数既約方程式が冪根を用いて解けるためには，諸根のうちの任意の二つが判明したとき，
他の根がそれらの根から有理的に導出されることが必要かつ十分である．
（『リューヴィユの数学誌』，第11巻，432頁）
ガロアの代数方程式論の到達点がここに示されている．
(引用終り)

で、諸君に問う
君らのいう ガウスの円分理論から このガロアの到達点
”素次数既約方程式が冪根を用いて解けるためには，諸根のうちの任意の二つが判明したとき，
他の根がそれらの根から有理的に導出されることが必要かつ十分である”
を導いてみせろ！ｗ ；ｐ）

ついでに、 下記 大迎規宏 ”可解な5次方程式について”を貼っておく
これ見てもいいよ
これ、以前 旧ガロアすれで取り上げたことがあるんだ
（一時 検索でヒットしなくなっていたが（キーワードが不適切だったかも）、今回見つけたので リンクを貼付けします！ ）
(参考)
https://hyogo-u.repo.nii.ac.jp/record/5251/files/ZD30301003.pdf
可解な5次方程式について 兵庫教育大学学術情報リポジトリ
大迎規宏 著 · 2003 — である．この根は係数α，δ，cから四則演算とベキ根をとる操作のみを使って表示されてい. る．このときベキ根によって根が表示されるという．3次方程式はCardano（1501−76）に ...

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/520

650: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/23(金) 21:03:38.81 ID:cdCv3SZj

>>495 戻る
>自分は、１のｐ条根を、べき根でどう解くか、書いてあるＨＰ読んで
>可解性ってそういうことだったんだぁと、理解しましたね
>まあ、たぶん教科書にもどっかに書いてあるんだろうけど

そこな 君が言っているのは
Lagrange resolvent による １のｐ条根のべき根解法だったね
そこね 下記のはてなブログ 〜3次・4次方程式のresolvent編〜
『そんなわけで、Lagrange resolventは面白いが、方程式を解くのに使える万能薬ではないのである』
を 百回音読してかみしめてね
そして、その後ろに引用した 彌永 第3章 ガロアの主著の
ガロア分解式 V = Aa+Bb+Cc+… を百回音読して 噛みしめてｗ　；ｐ）

(参考)
https://peng225.ｈａｔｅｎａblog.com/entry/2018/02/12/223452
ペンギンは空を飛ぶ
2018-02-12
5次方程式の解を巡る旅 〜3次・4次方程式のresolvent編〜

Resolventを用いた方程式の解法

3次方程式の場合
Resolvent invariant

4次方程式の場合
f(x)の根をx1, x2, x3, x4
としたとき、resolvent invariantとして以下の式を考えてみる。
τ1=x1x2+x3x4
τ1は二面体群D4=⟨(1 2), (1 3 2 4)⟩
の作用に対しては不変であるが、それ以外の置換を作用させると以下のどちらかの式に変化する。

おまけ：Lagrange resolventとは
本筋とはあまり関係ないが、最後にLagrange resolventの話をしておこうと思う。私は本件の調査を始めるまで、高次方程式を解くにはLagrange resolventというすごいやつを使えば良いのだと思っていたが、実はそうではない。ここで今の私の理解を整理しておく。
略す

実は3次方程式を解く際に登場したU, VはLagrange resolventになっている。そのため、これらを3乗すると(3−1)!=2
通りの式に変化したと言うわけである。

一方、4次方程式ではLagrange resolventを利用していない。それは、変化のパターンが(4−1)!=6
通りとなってしまい、4次方程式を解くために6次方程式を解かなければならなくなるからである。

そんなわけで、Lagrange resolventは面白いが、方程式を解くのに使える万能薬ではないのである
(引用終り)

さて、そこで ガロアは考えたのだ
『彌永 「ガロアの時代 ガロアの数学」 第二部 数学篇
第3章 ガロアの主著』より
P235
補助定理II
重根のない任意の方程式が与えられたとし, a,b,c,..、
をその根とする．そのときこれらの根の(有理整)関数Vを作
り,(Vにおいて)根(a,b,c,･･)の順列をどのように換えても,
(Vの)値がすべて異なるようにすることができる．
例えば V = Aa+Bb+Cc+…とし,
A,B,C,…は適当に
選ばれた整数とすることもできる．
(引用終り)
ここの V = Aa+Bb+Cc+… は、今日では ガロア分解式と呼ばれるのです

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/650

788: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/25(日) 17:36:26.03 ID:Pt4i9H9G

>>785
>層の勉強、進んでる？
>層のコホモロジー、分かった？

当然進んでいるよ
層、コホモロジーは、21世紀 2025年現在では
数学だけの理論にあらずだ

物理屋だって（下記）
使うよｗ ；ｐ）

おれが、工学屋で高等数学をやる意味はこれ
つまり、大学の学部で習った数学だけでは ダメ時がやってくるんだ（めしくえない！）

それを、予見して 高等数学を やってきた
それが、時代の進歩というやつよｗ ；ｐ）

予想通りの展開だった
なので、数学で困ったことは、全く無かったよ （＾＾

(参考)
https://www.youtube.com/playlist?list=PLULs_xht0MfW_eD0vvfelL3Z8s8B5z-K8
物理で使う数学チャンネル
https://youtu.be/2ZWPS3nPkt0?list=PLULs_xht0MfW_eD0vvfelL3Z8s8B5z-K8&t=30
1,一般コホモロジーとSRE状態,SPT相
物理で使う数学チャンネル 1:07:08
7571 回視聴 • 4 年前
発表者 : 大山修平
内容 : 一般コホモロジーの定義から始めて，一般コホモロジーが物理とどのように関係するかについて述べました．
コメント
@_LiSa0
2 年前（編集済み）
この人物理屋なのに数学お化けすぎる。京理こわいよ。

2,物理屋のためのスペクトル系列入門
物理で使う数学チャンネル 1:12:44
2394 回視聴 • 4 年前

3,物理屋のための旗多様体のコホモロジー群の計算
物理で使う数学チャンネル 29:50
1398 回視聴 • 4 年前

(注：”math and physics”に ご注目)
https://www.youtube.com/@mathandphysics6113
教授になりたい昆布【math and physics】
修士学生（数学）です。プロではないので間違いがあるかもしれません。

https://youtu.be/nZQRUjXsiDA?t=1
【層コホモロジー?】　茎の具体的な構成をします！！
教授になりたい昆布【math and physics】
2022/09/25

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/788

851: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/26(月) 16:39:56.56 ID:Ca1KD/GB

>>807 戻る
>ガロア原論文にはラグランジュ分解式が複数回表れているが、セタさんは
>れがどれかさえ分からないレベル。
>原論文そのものではなく、それを解説した歴史的な「お話」の部分だけを読み
>うんうんなるほど」と頷いて、分かった気になってるだけ。

話は真逆だよ
・フェリクス クライン「正20面体と5次方程式」関口 次郎訳(下記)がある
・それに関連して 関口次郎氏の2009年の2回の発表原稿が下記にある
・当然だが、ラグランジュ分解式は ここには 全く出てこない！
・クラインは、ガロア理論をもとに 可解を越えて 代数方程式の解法を
　考察したのだから！！ｗ　；ｐ）

＜アマゾン＞
正20面体と5次方程式 (シュプリンガー数学クラシックス) 単行本 – 1997/4/1
フェリクス クライン (著), Felix Klein (原名), 関口 次郎 (翻訳)
シュプリンガー・フェアラーク東京

https://www.math.chuo-u.ac.jp/ENCwMATH/
第51回 正20面体にまつわる数学--その 2 -- 2009年10月2日
https://www.math.chuo-u.ac.jp/ENCwMATH/51/ewm51_Sekiguchi1.pdf
正20面体群からの旅たち1 東京農工大学関口次郎
この講演の内容は2003年の「数学史研究会」（津田塾大学）と数学セミナー2009年4月号の記事がもとになっている．
1 序文
クラインのアイデアの根幹をなしているのは正多面体方程式である．その中でも最も注目したのが正20面体方程式である．

3. グールサの研究
ここで，グールサの学位論文[12]
に言及しておく．グールサの学位論文では次の問題を研究している．
略す
グールサの学位論文についてはマッカイに教えていただいた．

4.フックスの問題
シュワルツが解いた問題ガウスの超幾何微分方程式がいつ代数関数解をもつかは大変な反響を呼んだようである．この問題は，超幾何方程式に付随する新しい超越関数のクラス，つまり保型関数の発見につながった．一方では，どのようなときに線型微分方程式のすべての解が代数的になるか，という問題が年代に大問題となった．
このような一般的な問題に初めて取り組んだフックスに因んでフックスの問題と呼ばれたようである．

5.1 クライン

P14
フルヴィッツの論文にはもうつの場合も扱っており，微分方程式が出てくる．それもで表されるのだが，何から導かれてくるものなのか解読できない．これについては後(第2回)で推理を述べる．

藤原松三郎著：「代数学」第二巻，内田老鶴圃刊のページをみると，ジョルダンはもう一つの三元一次変換群として実現できる有限単純群を見落としていた，とある．それは位数のヴァレンティナー群である．

https://www.math.chuo-u.ac.jp/ENCwMATH/51/ewm51_Sekiguchi2.pdf
正20面体群からの旅たち2 東京農工大学関口次郎

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/851

857: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/26(月) 18:04:03.83 ID:Ca1KD/GB

つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Septic_equation
Septic function (7次方程式)
Solvable septics
Some seventh degree equations can be solved by factorizing into radicals, but other septics cannot. Évariste Galois developed techniques for determining whether a given equation could be solved by radicals which gave rise to the field of Galois theory.
Septics are the lowest order equations for which it is not obvious that their solutions may be obtained by composing continuous functions of two variables. Hilbert's 13th problem was the conjecture this was not possible in the general case for seventh-degree equations. Vladimir Arnold solved this in 1957, demonstrating that this was always possible.[2] However, Arnold himself considered the genuine Hilbert problem to be whether for septics their solutions may be obtained by superimposing algebraic functions of two variables.[3] As of 2023, the problem is still open.
　↓

https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_thirteenth_problem
Hilbert's thirteenth problem
google訳
ヒルベルトの第13問題は、1900年にダヴィド・ヒルベルトが編纂した有名なリストに記載されている23のヒルベルト問題のうちの1つである。この問題は、2変数の代数関数（変形：連続）を用いて、すべての7次方程式に解が存在するかどうかを証明することである。この問題は、ノモグラフィー、特に「ノモグラフィック構成」、すなわち2変数の関数を用いて多変数関数を構成する過程の文脈で初めて提示された。連続関数の変形は、1957年にウラジーミル・アーノルドがコルモゴロフ・アーノルドの表現定理を証明した際に肯定的に解決されたが、代数関数の変形は未解決のままである
導入
ウィリアム・ローワン・ハミルトンは、エーレンフリート・ヴァルター・フォン・チルンハウス（1683年）、エルランド・サミュエル・ブリング（1786年）、ジョージ・ジェラード（1834年）によって開拓された方法を用いて、1836年にすべての7次方程式が根号によって次の形に簡約できることを示した。
×7+a×3+b×2+c×+1＝0
この方程式に関して、ヒルベルトは、その解xを 3 つの変数a、b、c の関数として考えたとき、有限個の 2 変数関数の 合成として表現できるかどうかを問いました
歴史
アーノルドは後に志村五郎と共同で、この問題の代数バージョンに戻りました(Arnold and Shimura 1976)
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/857

858: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/26(月) 18:08:13.21 ID:Ca1KD/GB

>>851 追加
5次方程式から、6次、7次へ(下記)
全部、ガロア理論が元になっている

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Quintic_function
Quintic function (5次方程式)
　↓

https://en.wikipedia.org/wiki/Sextic_equation
Sextic function (6次方程式)
Solvable sextics
Some seventh degree equations can be solved by factorizing into radicals, but other septics cannot. Évariste Galois developed techniques for determining whether a given equation could be solved by radicals which gave rise to the field of Galois theory.
Some sixth degree equations, such as ax6 + dx3 + g = 0, can be solved by factorizing into radicals, but other sextics cannot. Évariste Galois developed techniques for determining whether a given equation could be solved by radicals which gave rise to the field of Galois theory.
It follows from Galois theory that a sextic equation is solvable in terms of radicals if and only if its Galois group is contained either in the group of order 48 which stabilizes a partition of the set of the roots into three subsets of two roots or in the group of order 72 which stabilizes a partition of the set of the roots into two subsets of three roots.
There are formulas to test either case, and, if the equation is solvable, compute the roots in term of radicals.[1]
References
1. R. Hagedorn, General formulas for solving solvable sextic equations, J. Algebra 233 (2000), 704-757
　↓
つづく

>>855
>ガロア原論文の話をしていて、そこにはラグランジュ分解式が何度もあらわれているのに
>なんでクラインの本がラグランジュ分解式を知らなくていい理由になるんだい？
>言い訳が酷すぎるね。

到達点および視点が、低すぎる
ガロア理論は、ラグランジュ分解式を包含し、それをはるかに超えた広がりを持つ
”ラグランジュ分解式＝ガロア理論”ではない

ガロア理論の中で、ラグランジュ分解式を使うことと
”ガロア理論は、ラグランジュ分解式を包含し、それをはるかに超えた広がりを持つ”こと
とは、矛盾しない

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/858

872: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/26(月) 21:06:48.13 ID:PcNaprFC

>>841
>今、国会図書館デジタルコレクションで、
>倉田令二朗「ガロアを読む : 第1論文研究」
>を読んだけど、やっぱラグランジュの分解式
>がっつり使ってんじゃん（笑）

あのさ 国会図書館デジタルコレクションで 下記の共立
”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11)”
読めるか？
読めるなら、原論文読んでみて

（アマゾン）
アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) – 1975/4/20
N.H.ABEL (著), E.GALOIS (著), 守屋 美賀雄 訳・解説・ 正田 建次郎 監修・ 吉田 洋一 監修‎ 共立出版
(引用終り)

でな
ラグランジュの分解式 が、補助方程式の一つであることは、否定していない
繰り返すが、”補助方程式の一つであることは、否定していない”

そして、下記 三次方程式にしろ 四次方程式にしろ ラグランジュの分解式を使わない解法が いろいろ考えられている
ガロア理論は、このような 個々の補助方程式を使う解法からの 天才的な発想の飛躍と転換があるのです！　（＾＾

つまり、個別具体的な 種々の補助方程式の探求ではなく
抽象的に 方程式の根による体の拡大と、方程式のガロア群との関係と捉える視点
これこそが、ガロアの発想の飛躍なのです

それに対して、ラグランジュの分解式などいう
些末な補助方程式論を
ガロア理論に 縛り付けてはいけないのです！ｗ ；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
三次方程式

代数的解法
カルダノの方法

ビエトの解

ラグランジュの方法（これがラグランジュの分解式法）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
四次方程式

フェラーリの解法

デカルトの方法

オイラーの方法

ラグランジュの方法
ラグランジュの分解式 (Lagrange resolvent)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/872

972: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/28(水) 08:17:23.55 ID:bsICkNCM

>>939
ID:CTASdXCp は、御大か
巡回ありがとうございます

２と３と５と７の平方根が 有理数体上線形独立であることを 初めて示したのは誰？
　↓英訳
Who first showed that the square roots of 2, 3, 5, and 7 are linearly independent over the field of rational numbers?

Copilotさんに喰わせると
その答え：
The linear independence of square roots of distinct square-free integers over ℚ has been studied extensively in number theory and algebra. One of the earliest rigorous treatments of this topic can be traced back to A.S. Besicovitch (1940), who explored the linear independence of fractional powers of integers. Later, L.J. Mordell (1953) also contributed to the study of the linear independence of algebraic numbers.
The general result states that if n₁, n₂, ..., nₖ are distinct square-free integers, then {√n₁, √n₂, ..., √nₖ} is linearly independent over ℚ. This follows from deeper results in Kummer theory and the Galois theory of radical extensions.
Would you like to explore the proof in more detail? It involves some fascinating applications of field extensions and trace arguments.
でした
果たして、合っているかどうか？　（＾＾

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/972

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