ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17

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650: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/23(金) 21:03:38.81 ID:cdCv3SZj

>>495 戻る
>自分は、１のｐ条根を、べき根でどう解くか、書いてあるＨＰ読んで
>可解性ってそういうことだったんだぁと、理解しましたね
>まあ、たぶん教科書にもどっかに書いてあるんだろうけど

そこな 君が言っているのは
Lagrange resolvent による １のｐ条根のべき根解法だったね
そこね 下記のはてなブログ 〜3次・4次方程式のresolvent編〜
『そんなわけで、Lagrange resolventは面白いが、方程式を解くのに使える万能薬ではないのである』
を 百回音読してかみしめてね
そして、その後ろに引用した 彌永 第3章 ガロアの主著の
ガロア分解式 V = Aa+Bb+Cc+… を百回音読して 噛みしめてｗ　；ｐ）

(参考)
https://peng225.ｈａｔｅｎａblog.com/entry/2018/02/12/223452
ペンギンは空を飛ぶ
2018-02-12
5次方程式の解を巡る旅 〜3次・4次方程式のresolvent編〜

Resolventを用いた方程式の解法

3次方程式の場合
Resolvent invariant

4次方程式の場合
f(x)の根をx1, x2, x3, x4
としたとき、resolvent invariantとして以下の式を考えてみる。
τ1=x1x2+x3x4
τ1は二面体群D4=⟨(1 2), (1 3 2 4)⟩
の作用に対しては不変であるが、それ以外の置換を作用させると以下のどちらかの式に変化する。

おまけ：Lagrange resolventとは
本筋とはあまり関係ないが、最後にLagrange resolventの話をしておこうと思う。私は本件の調査を始めるまで、高次方程式を解くにはLagrange resolventというすごいやつを使えば良いのだと思っていたが、実はそうではない。ここで今の私の理解を整理しておく。
略す

実は3次方程式を解く際に登場したU, VはLagrange resolventになっている。そのため、これらを3乗すると(3−1)!=2
通りの式に変化したと言うわけである。

一方、4次方程式ではLagrange resolventを利用していない。それは、変化のパターンが(4−1)!=6
通りとなってしまい、4次方程式を解くために6次方程式を解かなければならなくなるからである。

そんなわけで、Lagrange resolventは面白いが、方程式を解くのに使える万能薬ではないのである
(引用終り)

さて、そこで ガロアは考えたのだ
『彌永 「ガロアの時代 ガロアの数学」 第二部 数学篇
第3章 ガロアの主著』より
P235
補助定理II
重根のない任意の方程式が与えられたとし, a,b,c,..、
をその根とする．そのときこれらの根の(有理整)関数Vを作
り,(Vにおいて)根(a,b,c,･･)の順列をどのように換えても,
(Vの)値がすべて異なるようにすることができる．
例えば V = Aa+Bb+Cc+…とし,
A,B,C,…は適当に
選ばれた整数とすることもできる．
(引用終り)
ここの V = Aa+Bb+Cc+… は、今日では ガロア分解式と呼ばれるのです

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/650

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