ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17

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15: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/07(水) 15:22:03.76 ID:w6tWvnRz

つづき

・自然数 ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
　『形式的な定義 自然数の公理
　以上の構成(注 ノイマン構成)は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
　例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
　0 := {}
　1 := {0} = {{}}
　2 := {1} = {{{}}}
　3 := {2} = {{{{}}}}
　と非常に単純な自然数になる』
・0＜1＜2＜3＜・・・
　{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・
　ここで
　{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・
　と書ける
　何が言いたいか？
　{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・を逆に辿れば
　{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・ となり
　0＜1＜2＜3＜・・・ となる
・つまり、{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・ において
　∈を＜に書き換える
　そうして、{}→0、{{}}→1、{{{}}}→2、{{{{}}}}→3、・・・
　と順序数の背番号がついていると思え
　あるいは、例えば {{{}}}→2 ならば、括弧{}の多重度を基準に整列していると考えれば良い（括弧{}の多重度-1が、順序数に相当している）
・このように、列 {}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・を、順序関係＜に置き換えて
　{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・ として、整列集合と考えることができる（整列可能定理の主張はこれ）
・おサルさん、なにをとち狂ったか、列 {}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・ が、整列していることを否定する
　上記『{}∈{{{}}} は偽』とか、勝手な妄想を沸かす。ほんと、エンタの王で笑いを取る名人だね
　私には、単なるアホとしか思えないがｗ ；ｐ）
以上

あと
＜乗数イデアル関連（含む層）＞の話や
文学論、囲碁の話もあります
これも、5ｃｈらしくて良いと思いますｗ

テンプレは、以上です

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/15

432: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/17(土) 20:00:54.76 ID:y2zepp9J

>>427 補足
>（”一様連続”の条件を外せるかは ちょっと保留）

”一様連続”を仮定するのが、良さそうだね
下記の通り
一様連続
→Uniform continuity（英文情報（圧倒的に良質情報が多い））
→Cauchy continuity（For a function between metric spaces, uniform continuity implies Cauchy continuity (Fitzpatrick 2006). ）
→Cauchy-continuous function Examples and non-examples
と辿れる
ここで Q上 Cauchy-continuou関数だが Uniform continuouでない関数が、 non-example として構成されている（下記）
こいつは Rへ連続関数として延長不可だ！ｗ ；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E6%A7%98%E9%80%A3%E7%B6%9A
一様連続

https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_continuity
Uniform continuity

Other characterizations
Cauchy continuity
For a function between metric spaces, uniform continuity implies Cauchy continuity (Fitzpatrick 2006).
（注：逆は不成立（下記））

Relations with the extension problem
A sufficient condition for
f to extend to a continuous function
f:X→R is that it is Cauchy-continuous, i.e., the image under
f of a Cauchy sequence remains Cauchy. If
X is complete (and thus the completion of S), then every continuous function from
X to a metric space Y is Cauchy-continuous. Therefore when
X is complete, f extends to a continuous function
f:X→R if and only if f is Cauchy-continuous.
It is easy to see that every uniformly continuous function is Cauchy-continuous and thus extends to X.

https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy-continuous_function
Cauchy-continuous function

Examples and non-examples
Since the real line
R is complete, continuous functions on R are Cauchy-continuous. On the subspace
Q of rational numbers, however, matters are different. For example, define a two-valued function so that
f(x) is
0 when x^2 is less than
2 but 1 when x^2 is greater than 2.
(Note that x^2 is never equal to 2 for any rational number x.)
This function is continuous on Q but not Cauchy-continuous, since it cannot be extended continuously to R.
{\displaystyle \mathbb {R} .} On the other hand, any uniformly continuous function on Q must be Cauchy-continuous.
For a non-uniform example on Q, let f(x) be 2^x;
this is not uniformly continuous (on all of Q),
but it is Cauchy-continuous. (This example works equally well on R.)
A Cauchy sequence (y1,y2,…) in Y can be identified with a Cauchy-continuous function from
{1,1/2,1/3,…} to Y, defined by f(1/n)=yn.
If Y is complete, then this can be extended to {1,1/2,1/3,…}; f(x) will be the limit of the Cauchy sequence.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/432

799: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/25(日) 20:50:14.76 ID:Pt4i9H9G

>>790
>f(x) の K 上の分解体 L のガロア群 Gal(L/K) が可解群となることである．

ふっふ、ほっほ
可解群の定義を確認しようね（下記）
”有限群の場合は、同値な定義として「組成列においてすべての商が素数位数の巡回群である」というものもある”
ここの 有限群の場合 すべての商が素数位数の巡回群
って、意味分るかい？ｗ ；ｐ）
（『有限群の組成列の長さは有限であり、全ての単純アーベル群は素数位数の巡回群であるため、この定義は上の定義と同値である。』）
（多項式のガロア群の場合は、巡回群はある体の上の冪根に対応する）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E8%A7%A3%E7%BE%A4
可解群
定義
群 G が、すべての因子が可換であるような連正規列（英語版）をもつとき可解群という[2]。つまり部分群の列
G=G0≥G1≥⋯≥Gn=1
が存在して、各 0 ≤ k < n について Gk + 1 は Gk の正規部分群であり、かつ商群 Gk/Gk + 1 が可換であることをいう。
群 G の可解性は導来列
G=G(0)⊵G(1)⊵G(2)⊵⋯
が有限項で自明な部分群 1 に達することと定義もできる[3]。ここで各 k ≥ 0 について G(k + 1) は G(k) の交換子部分群 [G(k), G(k)] である。可解群 G に対して G(n) = 1 となる最小の n ≥ 0 を導来列の長さ (derived length) という。
任意の群 H とその正規部分群 N について、商群 H/N は N が H(1) を含むとき、かつそのときに限りアーベル群であるため、上の定義は同値である。
有限群の場合は、同値な定義として「組成列においてすべての商が素数位数の巡回群である」というものもある。
有限群の組成列の長さは有限であり、全ての単純アーベル群は素数位数の巡回群であるため、この定義は上の定義と同値である。
ジョルダン・ヘルダーの定理より、一つの組成列が上記の性質を持つ場合、すべての組成列は同様に上記の性質を持つことが保証される。
多項式のガロア群の場合は、巡回群はある体の上の冪根に対応する。
無限群の場合は必ずしも同値ではない。たとえば、整数の加法群 Z のすべての非自明な部分群はZ自身と同型であるため、Zは組成列を持たないが、正規列{0,Z}を持ちその唯一の商 Z/0 は Zと同型（つまり可換）だから、可解群である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/799

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