ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17

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136: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/11(日) 23:16:27.94 ID:F7vNf+MQ

>>129 補足
https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_sequence
Cauchy sequence
In real numbers
A sequence
x1,x2,x3,… of real numbers is called a Cauchy sequence if for every positive real number
ε, there is a positive integer N such that for all natural numbers
m,n>N,
|xm−xn|<ε,
where the vertical bars denote the absolute value.
In a similar way one can define Cauchy sequences of rational or complex numbers.
Cauchy formulated such a condition by requiring
xm−xn to be infinitesimal for every pair of infinite m, n.
For any real number r, the sequence of truncated decimal expansions of r forms a Cauchy sequence.
For example, when r=π, this sequence is (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...). The mth and nth terms differ by at most
10^(1−m) when m < n, and as m grows this becomes smaller than any fixed positive number ε.
(引用終り)

上記のような、無限小数展開との関係は、重要だ
有限小数は、有理数でもあるから
有限小数よるコーシー列は、有理コーシー列であるから
有理コーシー列の集合から、有限小数コーシー列の集合へ、全射が存在する

一方、有理コーシー列の同値類(定義は下記の原隆)において
同値類の中に、一つ単調増加列が存在することを認めると
（単調増加列は必須ではないが、説明の便法として使用）
その単調増加列の有理数を小数展開して 有限小数よるコーシー列に落とせる

例えば、ε＝10^k （kを十分大きく取る）とおくと
|xm−xn|<10^k であるから
小数の言葉に直すと
差 |xm−xn| は、小数k位以下の差しかないとなる
つまりは、xmとxnなどは 殆どが 小数k-1位までは一致しているということ
（ xmを小数展開して 小数k位までを求めて、それをもとに 1桁ずつ増える有限小数のコーシー列が構成できる。それを繰り返す）

但し、例外的に繰り上がりの問題が生じる
つまり、例えば 3.14159・・・という数で
xm＝3.14159,xm+1＝3.141599,xm+1＝3.1416001
のように
xm+1-xm＝0.0000101
となるような
つまり 数字9が連なると、繰り上がりで 5→6 に変わることが起きる
但し、無理数を考えると 無限循環 99999・・ は禁止され
必ず 9以外の数が 小数展開中に無限に出現するので
9の繰り上がりは、数学的に処理可能
よって、無理数の小数展開から作られる 一桁ずつ増える単調増加列と
有理コーシー列の同値類とは対応がついて 単射

よって、有理コーシー列の同値類の集合 ←→ 無理数の一桁ずつ増える有限小数コーシー列の集合
は 全単射
（これら 無理数の小数展開は 我々の日常であって、常識でもある）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/136

177: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/12(月) 07:32:25.53 ID:8FwRldJy

>>174
>ただし注意すべき点として、今示した構成法は実数の完備性を明示的に用いているので、
>有理数の集合 ℚ の完備化については少し異なる扱いが必要になる。
>実数全体の成す集合を、有理数全体の成す集合の通常の絶対値で測った距離に関する完備化として得る、
>カントールによる実数の構成法は、上記の構成法と同様だが、
>実数の構成において実数自身の完備性を用いることは論理的に許されない
>という問題に慎重に取り組まねばならない。
>そうは言っても、上記と同じくコーシー列の同値類を定義して、
>その同値類全体の成す集合が有理数の全体を部分体として含む体を成すこと
>を示すのは容易である。

いや
だから
下記の Terence Tao “big picture”の話と
証明のロジックとして
”実数の構成において実数自身の完備性を用いることは論理的に許されない”
ため 証明の手筋として 技法を駆使する話とを 分けて論じないとね

この二つを混同した議論をする人は、“big picture”が見えるレベルに達していないってこと

(参考)
　>>7より Terence Tao “big picture”（下記）
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-mathematics-than-rigour-and-proofs/comment-page-1/
By Terence Tao
There’s more to mathematics than rigour and proofs July 2016 (1)
3.The “post-rigorous” stage, in which one has grown comfortable with all the rigorous foundations of one’s chosen field, and is now ready to revisit and refine one’s pre-rigorous intuition on the subject, but this time with the intuition solidly buttressed by rigorous theory. (For instance, in this stage one would be able to quickly and accurately perform computations in vector calculus by using analogies with scalar calculus, or informal and semi-rigorous use of infinitesimals, big-O notation, and so forth, and be able to convert all such calculations into a rigorous argument whenever required.) The emphasis is now on applications, intuition, and the “big picture”. This stage usually occupies the late graduate years and beyond.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/177

178: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/12(月) 07:43:46.58 ID:8FwRldJy

>>177 補足

ホイヨ
ご参考

https://wiis.info/math/real-number/convergent-sequence/cauchy-sequence-and-convergence/
WIIS
コーシー列と収束列の関係（コーシー列の収束定理）
トップ 数学 実数 数列
実数の連続性を認める場合、数列が有限な実数へ収束することと、その数列がコーシー列であることは必要十分になります。

1.収束する数列はコーシー列

収束列はコーシー列でもありそうです。実際、収束列はコーシー列です。

コーシー列が収束するための条件
数列が収束する場合、その数列はコーシー列であることが明らかになりましたが、逆に、コーシー列は収束するのでしょうか。順番に考えます。

コーシー列の収束定理
コーシー列{xn}
が与えられているものとします。コーシー列は有界であるため{xn}
は有界です。有界な数列は収束する部分列を持つ（ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理）ため、
{xn}は収束する部分列 {xl(n)}
を持ちます。つまり、{xn}
はコーシー列であるとともに収束する部分列を持つため、先の命題より、
{xn}は有限な実数へ収束します。

命題（コーシー列の収束定理）
数列{xn}
がコーシー列ならば、
{xn}は収束する。

実数の連続性の公理から導かれるボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理を認める場合には、コーシー列が収束することを保証できるというわけです。

https://wiis.info/math/real-number/convergent-sequence/bolzano-weierstrauss-theorem/
WIIS
ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理
トップ 数学 実数 数列

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9C%E3%83%AB%E3%83%84%E3%82%A1%E3%83%BC%E3%83%8E%EF%BC%9D%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理
有限次元ユークリッド空間 ℝn における収束に関する基本的な結果である。定理は「ℝn 内の任意の有界数列が収束する部分列を持つこと」を主張する[1]。これと同値な定式化として、「ℝn の部分集合が点列コンパクトであるための必要十分条件は、それが有界閉集合となることである[2]」という形で述べることができる。この定理をしばしば (ℝn の) 点列コンパクト性定理とも言う[3]。
歴史と意義
ボルツァノ–ヴァイヤシュトラスの定理は、ボルツァノとヴァイヤシュトラスという二人の名前が冠されているが、実際には1817年にボルツァノが中間値の定理の証明において補題として証明したのが初出である。50年ほどしてから、この結果自身の重要性が見いだされ、ヴァイヤシュトラスによって再び証明された。それ以降、実解析における本質的な定理と位置付けられた。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/178

207: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/12(月) 11:14:22.00 ID:BWkzqcBy

>>177-178 補足
ふっふ、ほっほ

１）Terence Tao “big picture”の話として、完備距離空間 完備化の普遍性
「任意の距離空間 M に対して、M を稠密部分空間として含む完備距離空間 M′）を構成することができる」
　この視点からは、稠密Qによる距離空間 Rの構成は、単なる一例で
　「Qのコーシー列で 距離空間 Rを構成した」と Tao流の“big picture”を語ってもよい
２）一方、昔上司（東北大出身で部長だった）人から 「切り口」という思考スキルを教えてもらった
　複雑な対象は、視点や切り口を変えてみろと
　実数Rの構成法は、いろいろある。デデキントの切断もある。Qのコーシー列に限らない
　この視点では、初期段階としては 必ずしも有理コーシー列は必須ではない
　だから、コーシー列の同値類の概念は 必須でなく、本質でもない
３）加えて、歴史的な視点からは、人類は 小数展開を「手の内化」していた(下記 トヨタ語)
　小数展開を使えば、基本 無理数は 一意の小数展開を持つことから、無限小数展開を使う
　数学的な 実数論も可能ってことですよ

”big picture”の話と
”複雑な対象は、視点や切り口を変えてみろ”という話と
”人類は 小数展開を「手の内化」（下記 トヨタ語）していた”という話
すべて 矛盾せず成り立つ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93
完備距離空間
直観的に言えば、空間が完備であるというのは（その内側や境界において）点を追いかけると「空間からはみ出してしまう」ということが起きないということである。
例えば2 の正の平方根は、それに収束する有理コーシー数列が構成できるにも拘らず、有理数ではないので ℚ からははみ出してしまう（後述）。「こういった抜けを全て埋めてしまう」という考えは後述するように、空間の完備化 (completion) として常に可能である。
例
列（有理コーシー数列）を実数列と考えるならば無理数である √2 を極限に持つ。
完備化
任意の距離空間 M に対して、M を稠密部分空間として含む完備距離空間 M′）を構成することができる。この完備距離空間は、完備化の普遍性
「任意の完備距離空間 N と M から N への一様連続写像が与えられたとき、M′ から N への一様連続写像 f′ で f の延長となるものが一意に存在する」
という普遍性を持つ。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/207

208: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/12(月) 11:14:51.37 ID:BWkzqcBy

つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97
コーシー列 自己漸近列
一般のコーシー点列
一般の距離空間 (X, d) 内の点列 (xn) についても、コーシー性を定義することができる。(xn) がコーシー列であることは、差のノルムの代わりに距離関数 d を用いることによって、つまり
lim n,m→∞ d(xn,xm)=0
を満たすことであると定義することができる。
したがって、ノルム線型空間特にバナッハ空間やヒルベルト空間など、物理学などにおいても重要な応用を持つ空間で、コーシー列を考えることができる。
また、距離空間ではない位相空間でも、同様の概念を考えることができる。特に位相群や位相線型空間のような一様構造を持つ位相代数系などでは、基本近傍系を考えることによってコーシー列を構成することができる。
コーシー列の収束性と空間の完備性
距離空間 (X, d) が、その任意のコーシー列が X 上に極限を持つとき完備であるといい、完備である距離空間を完備距離空間、または単に完備空間という。
“実数の連続性”は、実数全体の成す距離空間 R が完備であることを意味している。すでに述べたように、Rk や Ck などもすべて完備である。

https://scrapbox.io/nobuoka-pub/%E6%89%8B%E3%81%AE%E5%86%85%E5%8C%96
nobuoka-pub
手の内化
『[ソフトウェア・ファースト ― あらゆるビジネスを一変させる最強戦略]』より
[手の内化]とは[トヨタグループ]で使われている言葉です。 [トヨタ]企業サイトの 『トヨタ自動車 75 年史 https://www.toyota.co.jp/jpn/company/history/75years/ 』 によると、80 年代に発展したカーエレクトロニクス分野の関連機能をグループ内で内製化したことを 「手の内化」 と記しています。 筆者なりにその意味を解釈すると、自社プロダクトの進化にかかわる重要な技術を自分たちが主導権を持って企画・開発し、事業上の武器にしていくことを 「手の内化する」 と言うのでしょう。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/208

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