ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17

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177: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/12(月) 07:32:25.53 ID:8FwRldJy

>>174
>ただし注意すべき点として、今示した構成法は実数の完備性を明示的に用いているので、
>有理数の集合 ℚ の完備化については少し異なる扱いが必要になる。
>実数全体の成す集合を、有理数全体の成す集合の通常の絶対値で測った距離に関する完備化として得る、
>カントールによる実数の構成法は、上記の構成法と同様だが、
>実数の構成において実数自身の完備性を用いることは論理的に許されない
>という問題に慎重に取り組まねばならない。
>そうは言っても、上記と同じくコーシー列の同値類を定義して、
>その同値類全体の成す集合が有理数の全体を部分体として含む体を成すこと
>を示すのは容易である。

いや
だから
下記の Terence Tao “big picture”の話と
証明のロジックとして
”実数の構成において実数自身の完備性を用いることは論理的に許されない”
ため 証明の手筋として 技法を駆使する話とを 分けて論じないとね

この二つを混同した議論をする人は、“big picture”が見えるレベルに達していないってこと

(参考)
　>>7より Terence Tao “big picture”（下記）
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-mathematics-than-rigour-and-proofs/comment-page-1/
By Terence Tao
There’s more to mathematics than rigour and proofs July 2016 (1)
3.The “post-rigorous” stage, in which one has grown comfortable with all the rigorous foundations of one’s chosen field, and is now ready to revisit and refine one’s pre-rigorous intuition on the subject, but this time with the intuition solidly buttressed by rigorous theory. (For instance, in this stage one would be able to quickly and accurately perform computations in vector calculus by using analogies with scalar calculus, or informal and semi-rigorous use of infinitesimals, big-O notation, and so forth, and be able to convert all such calculations into a rigorous argument whenever required.) The emphasis is now on applications, intuition, and the “big picture”. This stage usually occupies the late graduate years and beyond.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/177

178: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/12(月) 07:43:46.58 ID:8FwRldJy

>>177 補足

ホイヨ
ご参考

https://wiis.info/math/real-number/convergent-sequence/cauchy-sequence-and-convergence/
WIIS
コーシー列と収束列の関係（コーシー列の収束定理）
トップ 数学 実数 数列
実数の連続性を認める場合、数列が有限な実数へ収束することと、その数列がコーシー列であることは必要十分になります。

1.収束する数列はコーシー列

収束列はコーシー列でもありそうです。実際、収束列はコーシー列です。

コーシー列が収束するための条件
数列が収束する場合、その数列はコーシー列であることが明らかになりましたが、逆に、コーシー列は収束するのでしょうか。順番に考えます。

コーシー列の収束定理
コーシー列{xn}
が与えられているものとします。コーシー列は有界であるため{xn}
は有界です。有界な数列は収束する部分列を持つ（ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理）ため、
{xn}は収束する部分列 {xl(n)}
を持ちます。つまり、{xn}
はコーシー列であるとともに収束する部分列を持つため、先の命題より、
{xn}は有限な実数へ収束します。

命題（コーシー列の収束定理）
数列{xn}
がコーシー列ならば、
{xn}は収束する。

実数の連続性の公理から導かれるボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理を認める場合には、コーシー列が収束することを保証できるというわけです。

https://wiis.info/math/real-number/convergent-sequence/bolzano-weierstrauss-theorem/
WIIS
ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理
トップ 数学 実数 数列

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9C%E3%83%AB%E3%83%84%E3%82%A1%E3%83%BC%E3%83%8E%EF%BC%9D%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理
有限次元ユークリッド空間 ℝn における収束に関する基本的な結果である。定理は「ℝn 内の任意の有界数列が収束する部分列を持つこと」を主張する[1]。これと同値な定式化として、「ℝn の部分集合が点列コンパクトであるための必要十分条件は、それが有界閉集合となることである[2]」という形で述べることができる。この定理をしばしば (ℝn の) 点列コンパクト性定理とも言う[3]。
歴史と意義
ボルツァノ–ヴァイヤシュトラスの定理は、ボルツァノとヴァイヤシュトラスという二人の名前が冠されているが、実際には1817年にボルツァノが中間値の定理の証明において補題として証明したのが初出である。50年ほどしてから、この結果自身の重要性が見いだされ、ヴァイヤシュトラスによって再び証明された。それ以降、実解析における本質的な定理と位置付けられた。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/178

207: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/12(月) 11:14:22.00 ID:BWkzqcBy

>>177-178 補足
ふっふ、ほっほ

１）Terence Tao “big picture”の話として、完備距離空間 完備化の普遍性
「任意の距離空間 M に対して、M を稠密部分空間として含む完備距離空間 M′）を構成することができる」
　この視点からは、稠密Qによる距離空間 Rの構成は、単なる一例で
　「Qのコーシー列で 距離空間 Rを構成した」と Tao流の“big picture”を語ってもよい
２）一方、昔上司（東北大出身で部長だった）人から 「切り口」という思考スキルを教えてもらった
　複雑な対象は、視点や切り口を変えてみろと
　実数Rの構成法は、いろいろある。デデキントの切断もある。Qのコーシー列に限らない
　この視点では、初期段階としては 必ずしも有理コーシー列は必須ではない
　だから、コーシー列の同値類の概念は 必須でなく、本質でもない
３）加えて、歴史的な視点からは、人類は 小数展開を「手の内化」していた(下記 トヨタ語)
　小数展開を使えば、基本 無理数は 一意の小数展開を持つことから、無限小数展開を使う
　数学的な 実数論も可能ってことですよ

”big picture”の話と
”複雑な対象は、視点や切り口を変えてみろ”という話と
”人類は 小数展開を「手の内化」（下記 トヨタ語）していた”という話
すべて 矛盾せず成り立つ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93
完備距離空間
直観的に言えば、空間が完備であるというのは（その内側や境界において）点を追いかけると「空間からはみ出してしまう」ということが起きないということである。
例えば2 の正の平方根は、それに収束する有理コーシー数列が構成できるにも拘らず、有理数ではないので ℚ からははみ出してしまう（後述）。「こういった抜けを全て埋めてしまう」という考えは後述するように、空間の完備化 (completion) として常に可能である。
例
列（有理コーシー数列）を実数列と考えるならば無理数である √2 を極限に持つ。
完備化
任意の距離空間 M に対して、M を稠密部分空間として含む完備距離空間 M′）を構成することができる。この完備距離空間は、完備化の普遍性
「任意の完備距離空間 N と M から N への一様連続写像が与えられたとき、M′ から N への一様連続写像 f′ で f の延長となるものが一意に存在する」
という普遍性を持つ。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/207

208: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/12(月) 11:14:51.37 ID:BWkzqcBy

つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97
コーシー列 自己漸近列
一般のコーシー点列
一般の距離空間 (X, d) 内の点列 (xn) についても、コーシー性を定義することができる。(xn) がコーシー列であることは、差のノルムの代わりに距離関数 d を用いることによって、つまり
lim n,m→∞ d(xn,xm)=0
を満たすことであると定義することができる。
したがって、ノルム線型空間特にバナッハ空間やヒルベルト空間など、物理学などにおいても重要な応用を持つ空間で、コーシー列を考えることができる。
また、距離空間ではない位相空間でも、同様の概念を考えることができる。特に位相群や位相線型空間のような一様構造を持つ位相代数系などでは、基本近傍系を考えることによってコーシー列を構成することができる。
コーシー列の収束性と空間の完備性
距離空間 (X, d) が、その任意のコーシー列が X 上に極限を持つとき完備であるといい、完備である距離空間を完備距離空間、または単に完備空間という。
“実数の連続性”は、実数全体の成す距離空間 R が完備であることを意味している。すでに述べたように、Rk や Ck などもすべて完備である。

https://scrapbox.io/nobuoka-pub/%E6%89%8B%E3%81%AE%E5%86%85%E5%8C%96
nobuoka-pub
手の内化
『[ソフトウェア・ファースト ― あらゆるビジネスを一変させる最強戦略]』より
[手の内化]とは[トヨタグループ]で使われている言葉です。 [トヨタ]企業サイトの 『トヨタ自動車 75 年史 https://www.toyota.co.jp/jpn/company/history/75years/ 』 によると、80 年代に発展したカーエレクトロニクス分野の関連機能をグループ内で内製化したことを 「手の内化」 と記しています。 筆者なりにその意味を解釈すると、自社プロダクトの進化にかかわる重要な技術を自分たちが主導権を持って企画・開発し、事業上の武器にしていくことを 「手の内化する」 と言うのでしょう。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/208

223: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/12(月) 18:31:17.36 ID:BWkzqcBy

この20年で「自己完結」の仕事がほぼなくなった：数学でも共著論文増えている
「VUCA」とも呼ばれる時代においては、正解がない問いについて粘り強く考え続けられる「脳の持久力」がより重要になっている：数学研究そのものかも

(参考)
https://www.newsweekjapan.jp/stories/business/2024/03/post-103992.php
Newsweek
頭のいい人＝学歴やIQが高い、ではない...「頭のよさは他者が決める」時代に、最も大事な能力とは？
20240321 flier編集部
＜仕事の難易度が上がり、「自己完結」の仕事がほぼなくなった現代における頭のよさは、人間関係の中でできる＞
読者が選ぶビジネス書グランプリ2024でビジネス実務部門賞を受賞したのは、『頭のいい人が話す前に考えていること』（ダイヤモンド社、以下「本書」）。
著者は、ティネクト株式会社代表取締役を務め、累計1億2000万PVを誇るビジネスメディア「Books&Apps」を手がける安達裕哉さんです。
コンサルタントとしての22年間で得た知見を、7つの黄金法則と5つの思考法に凝縮したのが本書です
安達さんの「人生に影響を与えた本」についてもお聞きします。※グロービス経営大学院の教員である米良克美さんから安達さんへのインタビューを再構成しています

この20年で「自己完結」の仕事がほぼなくなった
以下略

https://studyhacker.net/hiromu-mounai-interview01
STUDY HACKER 20250512 
「IQが高い人ほど頭がいい」は時代遅れ。本当に頭のいい人の脳には特徴があった
「IQが高い人ほど頭がいい」「勉強ができれば頭がいい」という認識は、もはや時代遅れなのかもしれません。お茶の水女子大学基幹研究院自然科学系助教である脳科学者の毛内拡先生は、「VUCA」とも呼ばれる時代においては、正解がない問いについて粘り強く考え続けられる「脳の持久力」がより重要になっていると言います。そして、その力を高めるために、先生はひとり旅をすすめます

構成／岩川悟　取材・文／清家茂樹　写真／石塚雅人
【プロフィール】
毛内拡（もうない・ひろむ）
1984年生まれ、お茶の水女子大学基幹研究院自然科学系助教。2013年、東京工業大学大学院総合理工学研究科博士課程修了
（https://www.persol-group.co.jp/service/business/article/415/ VUCAとは？意味や時代を生き抜くための対策・組織作りを解説 2024年01月17日 VUCA（ブーカ）とは、Volatility、Uncertainty、Complexity、Ambiguityという4つの単語の頭文字をとった言葉で、目まぐるしく変転する予測困難な状況を意味します。PERSOLグループ）

https://diamond.jp/articles/-/273909
「IQが高い人は頭がいい」という大きすぎる誤解の正体
中邑賢龍 20210624
「頭がいいかどうか」という意味で「知能指数が高いかどうか」を基準に語られることがよくあります。しかし、知能指数は恒常的なものではなく、さまざまな要因で変動するもの。東京大学先端科学技術研究センター人間支援工学分野の中邑賢龍教授は、「IQや学歴といったものは、人の能力を正しく反映するものではない」と語ります。多くの人が抱いている「知能指数」の誤解とは？
※本稿は、中邑賢龍氏の著書『どの子も違う――才能を伸ばす子育て 潰す子育て』（中公新書ラクレ）の一部を再編集したものです

頭の良し悪しは
知能指数だけでは測れない

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/223

229: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/12(月) 21:22:05.38 ID:8FwRldJy

>>228 追加

5ch便所板 おミソのスレ主です
宮岡パパ（洋一先生）の
「曲面の分類に関する小平理論」が落ちていたので、貼っておきます

(参考)
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/activity/lecture14.html
東京大学大学院数理科学研究科
数物フロンティア・リーディング大学院
2014年度公開講座 「 小平邦彦氏の生涯と業績 」2014年11月22日

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/activity/lecture14-miyaoka.pdf
曲面の分類に関する小平理論
宮岡洋一 Nov. 18，2014

1 複素多様体
複素多様体とはどんなものであるか．簡単に説明する．
1.1. 射影直線・射影平面・射影空間
略
1.5. 実多様体・複素多様体

2 リーマン面と代数曲線

2.2. 代数曲線上の有理関数と因子

2.3.曲線のリーマン・ロッホの定理

2.4.分岐とHurwitzの定理

2.5. 代数曲線のモジュライ

3 層とそのコホモロジー
代数曲線のリーマン・ロッホ定理は，零点や極に条件をつけた大域的な有理関数の言葉で記述できた。しかし２次元以上の話になると，曲線のようなわけにはいかなくなって，厳密な数学を展開するためには，層の概念が必要になる。層の概念の原型は岡潔の多変数関数論にすでに現れるが，以下に述べるような使いやすい形で述べたのはである。古典的なイタリア学派は
代数曲面論を展開して深い結果を多数得たが，層とそのコホモロジー理論がまだ使えなかったため，議論が非常にわかりにくいものになっている。以下では層とそのコホモロジーについて，簡単に説明する。
3.1. 層の定義
略す
3.2.層のコホモロジー
層に対しては層係数のコホモロジー理論がある。詳しくは述べないが，とりあえずは以下を記憶しておけばよい。
略す
3.3.連接層の特性類

3.4. Serre双対定理

3.5.複素多様体の変形

4複素曲面
２次元の複素多様体を複素曲面という。通常はコンパクトを仮定する。前節で説明した基本的概念をもちいて，小平先生が展開した複素曲面理論のエッセンスを説明する。

4.3.爆発と爆縮，極小モデル

4.5.エンリケスと小平の曲面分類理論

小平の分類理論を使うと，
(a)すべての複素解析的K3曲面は変形でつながっており，とくにP3内の非特異４次曲面と微分同相である。変形の空間のうち代数的なK3曲面全体は可算個の超曲面の和集合になっている。
(B)略す
代数曲面だけではなくコンパクトな複素曲面全体を考察する小平理論によって，Enriquesの理論は（一般型曲面および非代数的なVIIo曲面を除いて）実質的な分類表になったのである。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/229

234: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/12(月) 21:38:56.66 ID:8FwRldJy

>>231
死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ さん、ありがとうございます。
スレ主です

20世紀後半から21世紀にかけて、フランスは数学大国なのです
（下記 河東氏 ”フィールズ賞にはフランス人枠がある”説 ご参照）

フランス人たちは、ナポレオンの昔から
数学＝国力のように、数学力を重視している感がありますね

(参考)
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/suri1408.pdf
数理科学 NO.614,AUGUST 2014
特集／フィールズ賞で語る現代数学 河東 泰之

ドイツ語で書かれた数学論文は現在めったに見ないが，フランス語で論文を書く大物数学者は現在もいる．
フィールズ賞受賞者で言えばラフォルグがそうである．
フランス人は冗談で，フィールズ賞にはフランス人枠があるんだというくらいである．
グロタンディークは活躍の主舞台はフランスだったが無国籍であったので，普通フランスのカウントに入れない．

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%89%E3%82%A5%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%82%BA
ジル・ドゥルーズ（Gilles Deleuze, 本名：Gilles Louis René Deleuze、1925年1月18日 - 1995年11月4日[1]）は、フランスの哲学者。パリ第8大学で哲学の教授を務めた。20世紀のフランス現代哲学を代表する哲学者の一人であり、ジャック・デリダなどとともにポスト構造主義の時代を代表する哲学者とされる[2]。ただし、同時代のあらゆる哲学者にとって他称でしかない「ポスト構造主義」というカテゴライズについて、ドゥルーズ本人は否定している（本頁「哲学史上の意義」の節を参照）。
概説
ドゥルーズは、数学の微分概念を哲学に転用して、差異の哲学を構築し、スコトゥスの存在の一義性（これについては、アラン・バディウのドゥルーズ論に詳しい）という視点から、ヒューム、スピノザ、ベルクソンらの著作を読み解いた。ただし、アラン・ソーカルからは『知の欺瞞』において数学的概念の用い方のいい加減さを批判された（詳しくはソーカル事件を参照）。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/234

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