純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

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682: １３２人目の素数さん [sage] 2025/06/22(日) 07:46:55.05 ID:e5q/Q8+J

>>681
ご苦労さまです

・内包表記には、下記”分出公理図式（内包公理図式）”あるいは”置換公理図式”を使うようです
・洗濯公理は、選択公理とも書かれるようですが、ＺＦ公理系の中では整列可能定理と同等だとか

なので、内包表記には 洗濯公理は不要のようですね

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ツェルメロ＝フレンケル集合論
公理
3. 分出公理図式（内包公理図式）
→詳細は「分出公理」および「en:Axiom schema of specification」を参照
部分集合は通常、集合の内包的記法（英語版）を用いて表される。
ZFの公理の中で、この公理は置換公理と空集合の公理に従うという点で冗長である。

6. 置換公理図式
→詳細は「置換公理」を参照
置換公理は、定義可能な関数において集合の像も集合内にあると主張する。

9. 選択公理 (または同値な命題)
→詳細は「選択公理」を参照
任意の集合 X に対して、 X を整列する二項関係 R が存在する。
これは R が、空でない X のどの部分集合も R のもとで最小元を持つような、 X の全順序であることを意味する。
ZFの公理 (すなわち、前述の8つの公理および公理図式) の下で、選択公理は同値な主張をいくつか持つ。Kunenは選択公理に相当するものとして上記の主張を公理に設定した[9]が、これは通常整列可能定理と呼ばれるものである。
Zermelo (1908)で用いられた形でもある次の主張が公理になっている：空でなく、互いに交わらない集合族
略
をもつ。この形の選択公理は、一般的なものと同値だが使い勝手が悪い（選択関数を考える時とは違って集合族が互いに交わっていないことが必要となる）。ただ、公理を書くために必要な定義が少なくてすむという利点がある[10]。
選択公理の主張は通常次のようなものである：
略
選択公理は選択集合の存在を主張するが、選択集合がどのように「構築」されるかについては言及しないため、非構成的であるとされる。ACが存在を主張する特定の集合の定義可能性（または不可能性）を明らかにしようと、数多くの研究がなされた。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/682

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