純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

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625: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/18(水) 10:35:20.49 ID:1ZjEJMOG

>>621-624
ふっふ、ほっほ

(引用開始)
>>∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
>>はAの部分集合族の共通部分。範囲の明示なんて要らないよｗ
オチコボレ君はなんで範囲の明示が要らないかチンプンカンプンなんだろうね。
添字付けられた集合族ではないからそもそも範囲という概念が無いんだよｗ
(引用終り)

まあ、素人考えだな
（普通ではあるが、公理的集合論にはなじまない）

ツッコミどころは
１）”旅の途中”＊）
２）∩（集合積）は、俗にいう構造敏感だということ
（　＊）”旅の途中”という昔流行った歌がある https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%97%85%E3%81%AE%E9%80%94%E4%B8%ADなど）

さて、まず１）について、そもそも公理による無限集合N（自然数の集合）の構築について
素朴には、ペアノ公理による 0,1,2,3・・・をすべて集めて、集合にすれば よかんべだが

問題は、ラッセルパラドックスで、無限に関する操作を 無制限に認めるのはまずってことだ
そこで、集合論の公理を設定して、抑制的に集合操作をして カントールやデデキントの素朴集合論の構築をしようとなった
いまは、”旅の途中”で 無限集合N（自然数の集合）さえ、まだ得ていない

ちょっと脱線するが、誰しも考えるのは 素朴単純に 公理として
”ペアノ公理による 0,1,2,3・・・をすべて集めて、集合Nが出来た”（0,1,2,3・・・たちはノイマン後者関数による）
を公理として 決めればよかんべ と思う
ところが、次には 自然数の集合Nより大きな集合を認めるかどうかが問題になるのです
そこで、公理としては 自然数の集合Nを含む大きな集合の存在を公理として認めて、Nはそこから落としてくる
この方が公理としてキレイなのだ

次に、２）について >>571から再録すると
”簡単に例示すると、5つの集合A,B,C,D,Eにおいて
∩{A,B,C} 3つだけの積集合と
∩{A,B,C,D,E} 5つ全部の積集合とでは
当然 積集合の大きさが異なる”
繰り返すが、100個の集合の積∩に 新たに一つ集合が増えると
∩{100個} ≠∩{101個}となる可能性が高い というか そう考えるべきなのだ
記号∩を使う問題点は、そこにある

つまり、冒頭の∩の式で無限の集合全て "∀"が きちんと尽くされたという保証がないと
最小であるべき無限集合たる自然数Nの定義に曖昧さが残ることになる
ところが、そもそも”無限集合”の概念が確立されていない
（”旅の途中”では 無限集合族などを無造作に使うべきではない）

対して、>>571 Extracting the natural numbers from the infinite set https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
や、>>569 筑波大 坪井明人 PDF P9 が やっていることは
無限公理で保証されたNを含む無限集合の部分集合として 再度 ペアノ公理による 0,1,2,3・・・をすべて集めて 部分集合として構築するってことだね
しかも、公理で許される集合操作のみを使ってってこと

君の 部分集合族の議論は、最終段階では正しいだろうが
いまは、”旅の途中”ってことよ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/625

629: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/18(水) 17:02:57.74 ID:1ZjEJMOG

>>626-628
素人が、グダグダ言い訳している

さて
１）なぜ無限公理が必要なのか？
　その答えが 下記 渕野”Dedekind の数学の基礎付けと集合論の公理化”
　P173-174 "3 無限の存在証明"に記されている通り
　「無限の存在が集合論の他の公理から独立である」ってこと
２）集合論の公理は”スッキリ”していることが求められる
　なので、>>625に示したように 単に 自然数の集合Nの存在だけを公理とするのではなく
　Nを含む（Nより大きな）集合の存在を公理として認めて、それ以外の公理系から
　もし”Extracting the natural numbers from the infinite set”（下記）が可能なら
　その方がスッキリだってこと（我々が求めているのは そのさらに先で N→Q→Rと 順序数*)の構築なのだから）
　*)https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
３）下記に ”Extracting the natural numbers from the infinite set”を
　全文引用しておいたから、百回音読してね
　文中で、axiom schema of specification 、axiom of extensionality、 axiom of induction
　など 使う公理が明示されているでしょ？ そして 最後”I=ω”が結論ですよ！

素人が、グダグダ書いても
なんの格好付けにもなってないよｗ
(参考)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1739-16.pdf
RIMS講究録
Dedekind の数学の基礎付けと集合論の公理化 渕野昌(神大)2011
P170
無い物ねだり的な指摘をすることはたやすい．彼の時代には，現代の我々が識るような形式論理はまだ生れてすらいなかった(彼とほぼ同時代のFrege の研究には形式論理学の萌芽のようなものが見られるが，[3] の第2版の前書き(1893)では，Dedekind は，Frege の仕事を後になってからはじめて知ることになったと書いている).いわんや，形式的推論の体系や，その体系の完全性，そして不完全性定理に基づく知見は，どう頑張ったとしてもDedekindの行なった考察の背景にはなり得なかったはずのものである
P173
3 無限の存在証明
単純無限的体系によって自然数の全体の体系の基礎付けがなされうるためには，
そもそも無限集合の存在が大前提となる．しかも，これが，「数の理論を扱かう論理学の部分の基礎付け」としてなされるためには，無限集合の存在が無条件に証明できなくてはならない．
P174
晩年のDedekind が，無限の存在証明([3] の66.) の残ったままのテキストをこの再版に回してしまったことの背景だったのではないだろうか．
ただし，Dedekind の名誉のために付け加えておくと，1911 年の時点では，無限の存在が集合論の他の公理から独立であることは，当時の若い集合論の研究者たちすら，まだ完全には把握しきれていなかった可能性がある
P176
集合論の基礎に関してDedekind の越えられなかった壁は，Zermelo やFraenkelが易々と越えることができたが，このZermelo も後にG"odel の不完全性定理を全く理解できず，不完全性定理以降の数学の発展に取り残されることになっ
た. 1960 年代に強制法の理論が確立されたときにも，この手法を理解できなかったことで，多くの集合論の研究者が脱落していった

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/629

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