純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

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625: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/18(水) 10:35:20.49 ID:1ZjEJMOG

>>621-624
ふっふ、ほっほ

(引用開始)
>>∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
>>はAの部分集合族の共通部分。範囲の明示なんて要らないよｗ
オチコボレ君はなんで範囲の明示が要らないかチンプンカンプンなんだろうね。
添字付けられた集合族ではないからそもそも範囲という概念が無いんだよｗ
(引用終り)

まあ、素人考えだな
（普通ではあるが、公理的集合論にはなじまない）

ツッコミどころは
１）”旅の途中”＊）
２）∩（集合積）は、俗にいう構造敏感だということ
（　＊）”旅の途中”という昔流行った歌がある https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%97%85%E3%81%AE%E9%80%94%E4%B8%ADなど）

さて、まず１）について、そもそも公理による無限集合N（自然数の集合）の構築について
素朴には、ペアノ公理による 0,1,2,3・・・をすべて集めて、集合にすれば よかんべだが

問題は、ラッセルパラドックスで、無限に関する操作を 無制限に認めるのはまずってことだ
そこで、集合論の公理を設定して、抑制的に集合操作をして カントールやデデキントの素朴集合論の構築をしようとなった
いまは、”旅の途中”で 無限集合N（自然数の集合）さえ、まだ得ていない

ちょっと脱線するが、誰しも考えるのは 素朴単純に 公理として
”ペアノ公理による 0,1,2,3・・・をすべて集めて、集合Nが出来た”（0,1,2,3・・・たちはノイマン後者関数による）
を公理として 決めればよかんべ と思う
ところが、次には 自然数の集合Nより大きな集合を認めるかどうかが問題になるのです
そこで、公理としては 自然数の集合Nを含む大きな集合の存在を公理として認めて、Nはそこから落としてくる
この方が公理としてキレイなのだ

次に、２）について >>571から再録すると
”簡単に例示すると、5つの集合A,B,C,D,Eにおいて
∩{A,B,C} 3つだけの積集合と
∩{A,B,C,D,E} 5つ全部の積集合とでは
当然 積集合の大きさが異なる”
繰り返すが、100個の集合の積∩に 新たに一つ集合が増えると
∩{100個} ≠∩{101個}となる可能性が高い というか そう考えるべきなのだ
記号∩を使う問題点は、そこにある

つまり、冒頭の∩の式で無限の集合全て "∀"が きちんと尽くされたという保証がないと
最小であるべき無限集合たる自然数Nの定義に曖昧さが残ることになる
ところが、そもそも”無限集合”の概念が確立されていない
（”旅の途中”では 無限集合族などを無造作に使うべきではない）

対して、>>571 Extracting the natural numbers from the infinite set https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
や、>>569 筑波大 坪井明人 PDF P9 が やっていることは
無限公理で保証されたNを含む無限集合の部分集合として 再度 ペアノ公理による 0,1,2,3・・・をすべて集めて 部分集合として構築するってことだね
しかも、公理で許される集合操作のみを使ってってこと

君の 部分集合族の議論は、最終段階では正しいだろうが
いまは、”旅の途中”ってことよ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/625

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