純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

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605: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/17(火) 06:58:10.16 ID:142iXzRZ

>>598-604
負負不幸のおサルさん>>596
"-"を3回重ねると、やはり"-"(不)というダジャレか ；ｐ）

さて
1）20世紀初頭に、無限集合論を公理的に構築して、ラッセルのパラドックスなどから救おうというヒルベルトの構想があった
　cf　https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9 ラッセルのパラドックス 矛盾の解消 公理的集合論による解消[注 1]
2）それ以前に、素朴集合論として、カントールやデデキントの無限集合の研究があった
　cf カントールの順序数 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
　　及び デデキント無限 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88%E7%84%A1%E9%99%90
3）この素朴集合論を構築することを目的として ZFC公理系ができたのです
　結果、ZFC公理系からノイマン宇宙ができる https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%AE%87%E5%AE%99
　ここに”整礎集合の階数(rank)はその集合の全ての要素の階数より大きい最小の順序数として帰納的に定義される[1]。特に、空集合の階数は0で、順序数はそれ自身と等しい階数をもつ。V内の集合はその階数に基づいて超限個の階層に分けられ、その階層は累積的階層と呼ばれる。”
4）ノイマン宇宙の英語版には、ポンチ絵がある https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
　ともかく、自然数の集合N＝ω（最初の無限順序数） （これは可算無限でもある）
　であって、ノイマン宇宙の無限集合はすべて、N＝ωを含んでいる
　つまりは、全てのノイマン宇宙の無限集合の共通部分が、自然数の集合Nです
　ところが、これは結論を先取りしていて、自然数の集合Nをいまから構築しようとするときつかうと やばい
5）そこで、20世紀初頭の天才たちが、いろいろ考えた結果が
　>>597 の Axiom of infinity ”Extracting the natural numbers from the infinite set”だね
6）戻ると、∩を使うのは 賢明ではない。ツッコミどころ満載になるだろう
　御大の”無限公理が存在を主張する集合全体？”(>>596) も、これだね
　回答は、前記の通り

>>589で
(引用開始)
>”実質同じ”？ 証明は？
共通部分∩の定義を確認すればよいだけ。確認しろよ
(引用終り)
とか、発狂していたおサルさん
昨日は、ちょっと暑かったｗ　；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/605

614: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/17(火) 14:13:48.42 ID:5DT6XHJJ

>>606-613
ID:imHVDh7R は、御大か
巡回ありがとうございます。

旧帝N大 OTゼミでも
口先だけで、ゼミを”しのぐ”ことを考える ヤカラがいる
大概、黒板ハリツケの刑だｗ　；ｐ）

とつぜん”部分集合族”という用語で、矛先をそらすか？ｗ
どっこい、数学科のゼミはそれを許すような甘いものではない

さて、世に ”存在定理”というものがある（下記）
AIさんが「高木の存在定理」とか例示するんだ
「代数学の基本定理」は、ja.wikipediaの例だ

”存在公理”という言葉はないが、 ”存在定理”と同様に
存在のみを保証し、その具体的な性質については、あまり触れない公理がある
典型例が、選択公理で選択関数の存在のみを保証する
もう一つの例が、無限公理だろう。無限集合の存在を主張するが
無限がいくつあって、それがどんなものかは、示されない
その 無限公理の主張する 具体的でない無限集合から
自然数の集合Nを抽出する それが >>605 の Axiom of infinity ”Extracting the natural numbers from the infinite set”だね

”部分集合族”ね。ゴマカシでしょｗ　；ｐ）

(参考)
google検索： 存在定理
AI による概要（AI の回答には間違いが含まれている場合があります。）
存在定理とは、数学において、ある条件を満たす対象の存在を保証する定理の総称です。具体的にどのような対象が存在するかは示されない場合もあります
例
高木の存在定理:
類体論における重要な定理で、代数体の合同群とアーベル拡大の関係を述べています
存在定理の特徴:
・「ある対象が存在する」ということを保証するだけで、具体的な対象の構成方法や求め方を示すものではない場合があります
・存在を示すことで、その後の研究や問題解決に繋がる手がかりを与えることがあります
・数学の様々な分野で、存在定理が重要な役割を果たしています
存在定理は、数学における証明や問題解決において、対象の存在を前提として議論を進めることができるため、非常に重要な役割を果たしています

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AD%98%E5%9C%A8%E5%AE%9A%E7%90%86
存在定理（英: existence theorem[1]または英: theorem of existence[2]）とは、何らかの数学的対象の存在をいう定理の総称。定理の内容や証明において、対象の具体的な構成方法は必ずしも示されない
具体例
代数学の基本定理
中間値の定理

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%AB%98%E6%9C%A8%E3%81%AE%E5%AD%98%E5%9C%A8%E5%AE%9A%E7%90%86
類体論の高木の存在定理とは、代数体 K の一般化されたイデアル類群に対してそれに対応する K の有限次アーベル拡大が存在するという定理である
歴史
存在定理は高木貞治の論文 (1915) で証明された[8]。その後、高木は「アーベル拡大すなわち類体」という類体論の基本定理に到達し、結果を Takagi (1920) にまとめた[9]。これらの研究は第一次世界大戦の最中になされ、1920年の国際数学者会議で発表された。1920年代の類体論の古典的理論の発展に主導的な役割を果たした

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/614

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