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純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20 (1002ﾚｽ)
純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/
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313: １３２人目の素数さん [] 2025/05/15(木) 10:14:31.43 ID:MwDu6zao 5次方程式に新公式を発見：ルートを超える新理論 https://nazology.kusuguru.co.jp/archives/177496 ＞5次以上の多項式だけは、どうしてもルートを使って表せないことが、19世紀に判明します。 正確には以下 「５次以上の代数方程式の根を、方程式の係数と四則演算、べき根をつかって表示する公式は存在し得ないことが、1824年にアーベルによって示された」 ＞すなわち2次、3次、4次方程式と同じように「5次は解けない」ということが、長らく数学界の定説だったのです。 正確には以下 「すなわち2次、3次、4次方程式と同じように5次方程式の根を方程式の係数と四則演算、べき根をつかって解くことはできない。」 ＞ところがオーストラリアのニューサウスウェールズ大学（UNSW）で行われた研究によって、 ＞ついにその壁を乗り越える新たなアプローチが発表されました。 正確には以下 「しかしながら、四則演算＆べき根の使用のみ、という制限を設けなければ、 任意次数の代数方程式の解を求めることは、複素関数論によって可能である」 （例えば 偏角の原理を用いれば、ある範囲内に存在する根の個数が分かる したがって範囲を狭めることによって、解をいくらでも正確に求めることが可能） ＞新たな方法は数列や図形の概念を使うことで、従来なら「不可能」とされていた ＞2、3、4次方程式と共通した手法で5次方程式以上の解を与えられるというのです。 「四則演算とべき根を使用する」という制限下では不可能であることに変化はない 一方、上記の制限を取り除けば、すでに１９世紀の時点で根を与えることは可能である コーシーはこのことを理解していた 一方コーシーがアーベルやガロアの論文を「紛失」したことが上記の件と関係している （つまり自分の結果があるので、べき根を用いた解表示の非存在に意味を見出さなかった） かどうかは定かでない （つづく） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/313
314: １３２人目の素数さん [] 2025/05/15(木) 10:15:01.32 ID:MwDu6zao >>313のつづき ＞もしこの新手法が本格的に発展すれば、 ＞数学史における「5次方程式の不可能性」の概念が大きく書き換えられるだけでなく、 書き換わらない １．べき根を用いるという制限下では不可能、という結果に変更はない ２．べき根以外を用いれば可能、という結果はすでに１９世紀に得られており どのような方法を用いればよいかについても、いろいろ知られている ＞コンピュータを用いた高次方程式の数値解の算出やアルゴリズム開発にも ＞新しい風が吹くかもしれません。 現在知られている数値解の算出と比べて利点があるかどうかについては不明だが おそらくそれほど革新的なものではない可能性が大である ＞従来の理論では不可能とされた5次方程式が、 ＞なぜ今になって“解ける”ようになったのでしょうか？ べき根に制限しなければ解けるので、不可能ではない また、今回の発見はべき根に制限したものではないので、 その意味では、アーベルの結果を否定するものではない 上記２つの点から、この結果は特段画期的なものではない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/314
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