純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

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288: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/14(水) 11:12:13.59 ID:euuH4tqB

これ面白そう

https://thedebrief.org/a-centuries-old-impossible-equation-once-considered-unsolvable-finally-has-a-solution/
thedebrief
A Centuries-Old “Impossible” Equation, Once Considered Unsolvable, Finally Has a Solution
クリストファー・プレイン·2025年5月13日
google訳

高階多項式の「近似」解がいくつか発見されてきました。しかし、ワイルドバーガーによれば、これらの解は純粋代数学には属さないとのことです。

ワイルドバーガー教授は、この斬新な解決策を概説した論文の中で、従来の方程式に限界が存在するのは、根号である3乗根と4乗根を用いているからだと説明しています。根号は一般的に、円周率のように無限に繰り返される無理数を表すため、単純な分数では表すことができません。

数学界にとって幸いなことに、ヴィルトバーガー教授は無理数を信じていないと述べている。ヴィルトバーガー教授の数学への最も成功した貢献である有理三角法と普遍双曲幾何学は、根号を使わずに機能する。その代わりに、不可能方程式の新しい解を含む彼の研究は、「冪級数」と呼ばれる多項式の特別な拡張を利用しており、これは根号を使わずに変数xについて無限個の項を持つことができる。

組み合わせ論が救世主となる
この問題を解くための代数方程式としては初めてのものですが、この新しい手法は、数列を表す組合せ論と呼ばれる数学の分野に基づいています。最も有名な数列は「カタラン数」と呼ばれ、任意の多角形、つまり3辺以上の任意の図形を分割する方法の数を表すために使用されます。

「カタラン数は二次方程式と密接に関係していると理解されています」とヴィルトバーガー氏は説明した。「私たちの革新性は、より高次の方程式を解きたいのであれば、カタラン数の高次の類似物を探すべきだという考え方にあります。」

数学者はこれらの数値を 1 次元から多次元配列に拡張し、これまで不可能だった方程式の解を解明しました。

「私たちはこれらの拡張を発見し、それが論理的に多項式方程式の一般解にどのようにつながるかを示しました」と彼は説明した。「これは代数学の基礎となる章の劇的な改訂です。」

幅広い用途への期待

コンピューター科学者のディーン・ルビン博士が共同執筆したこの新たな研究では、新たに発見された数値配列を「ジオード」と名付けています。共著者らは、この配列にはさらなる研究のための「大きな可能性」が秘められていると述べています。

「この新しいジオードアレイの研究は、多くの新たな疑問を提起し、組み合わせ研究者を何年も忙しくさせるだろうと予想しています」とワイルドバーガー氏は述べた。「実に、他にも多くの可能性があります。これはほんの始まりに過ぎません。」

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/288

293: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/14(水) 12:12:42.33 ID:euuH4tqB

>>289-290
下記ほいよ

>>288 の根拠投稿論文
American Mathematical Monthly らしいが どの程度権威があるかは知らないが
下記
”Received 27 Dec 2023, Accepted 07 Jun 2024, Published online: 08 Apr 2025”
なので、それなりに 査読はされたみたい

>>288の記事は、ちょっと盛っているところは あるとしても
根も葉もない話ではないだろう（根と葉くらいは ある）

(参考)
https://research.unsw.edu.au/people/professor-norman-j-wildberger/publications?type=journalarticles
UNSW Sydney
Select Publications
By Professor Norman J Wildberger

Journal articles
Wildberger NJ; Rubine D, 2025, 'A Hyper-Catalan Series Solution to Polynomial Equations, and the Geode', American Mathematical Monthly, http://dx.doi.org/10.1080/00029890.2025.2460966

https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00029890.2025.2460966
A Hyper-Catalan Series Solution to Polynomial Equations, and the Geode
N. J. Wildberger Dean Rubine
Pages 383-402 | Received 27 Dec 2023, Accepted 07 Jun 2024, Published online: 08 Apr 2025

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/293

303: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/14(水) 18:10:08.72 ID:euuH4tqB

>>288
>カタラン数

ほいよ

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number
Catalan number
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%82%BF%E3%83%A9%E3%83%B3%E6%95%B0
カタラン数
https://manabitimes.jp/math/657
高校数学の美しい物語
カタラン数の意味と漸化式 2024/08/27
目次
カタラン数の漸化式・性質
最短経路とカタラン数
トーナメントとカタラン数
三角形分割とカタラン数
カタラン数の意味
その他発展的なトピック

カタラン数はフィボナッチ数の次に頻出です

https://www.quora.com/Is-Professor-N-J-Wildbergers-Hyper-Catalan-Series-Solution-to-Polynomial-Equations-a-genuine-advance-in-pure-math
Quora
Is Professor N. J. Wildberger's Hyper-Catalan Series Solution to Polynomial Equations a genuine advance in pure math?

Alon Amit
Lover of math. Also, Ph.D.Upvoted by
Tom Morley
, Ph. D. Mathematics, Carnegie Mellon University (1976) and
Raphael Laufer
, PhD Mathematics, University of California, Berkeley (1997) · Author has 8.7K answers and 170M
answer views May 3
google訳
「真の進歩」という言葉は曖昧ですが、ここでそれを当てはめるのは避けたいと思います。素晴らしい成果です。世間の見出しの中には（「数学者が代数学最古の問題を解く」「200年来の代数学の壁が崩壊」など）、正直言って、荒唐無稽で的外れな誇張表現もあります。

結果が発表された『American Mathematical Monthly』は、純粋な研究ではなく大学レベルの教育に重点を置いた専門学会であるMAA（アメリカ数学会は専門数学者の団体）が発行する解説誌です。学部生から専門家まで幅広い読者を対象としており、最先端の深い研究ではなく、幅広い読者層に訴求力のある論文を掲載しています。

論文の表現の一部にはまだ違和感があります。多項式方程式の解析解は様々な方法で得られるので、アーベルとガロアが探求した方法と対比することがなぜ適切なのか私には理解できません。「結局のところ、無限にネストされた解が許されるのであれば、
n 番目
「根の計算ではなく、4 次を超える多項式を実際に解く、より単純な継続的合計ではなぜダメなのか」という質問は、有限代数式と無限級数の非常に明確な区別を意図的に曖昧にしているように思われます。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/303

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