純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

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425: １３２人目の素数さん [] 2025/05/31(土) 07:57:41.46 ID:GXFm2WhE

つづき

ある信号波形データがあったとして，この波形から何か情報を抽出したいとする． たとえば，音声信号から内容を推定したり，楽器や自動車の振動波形からその減衰特性や共振特性を把握したい，各種気象データから長期の気候変動を知りたい場合などがこれにあたる．
実際にはこれらの波形は単純な正弦波などには程遠く，複雑な信号波形であるため，そのまま観察していても得られる情報は少なく，よく分からない場合が多い． そこで，その信号にどのような周波数（振動数※）成分がどのくらいの大きさで含まれているかを解析することによって，どのような振動成分が支配的であるかを調べると，その性質を把握することが出来る．
そのための解析手法としてフーリエ変換が用いられる．

フーリエ変換
まず，フーリエ変換（Fourier Transform)がどのような変換で，どのような性質かを理解しよう．
フーリエ変換とは，任意の関数を三角関数の和（積分）で表す変換であり，もともとはフランスの数学者 Joseph Fourier により，固体の熱伝導方程式を解析するために提案された方法である．
連続な関数 f (t) に対して，フーリエ変換は以下のように定義される．
略
まとめ
ある関数を別の関数に何らかの方法で変形することを「変換」と呼ぶ．
（キーワード：フーリエ変換，離散フーリエ変換，高速フーリエ変換の違い．）
1.フーリエ変換は，任意の連続関数を周期関数（sin, cos）の和に変換する．
2.コンピュータでは連続関数（＝無限にデータが必要）を扱うことはできないので，「離散化」を行い「有限個」の配列データに格納する．
3.離散化された有限個のデータに対して行うフーリエ変換を「離散フーリエ変換(DFT)」と呼ぶ．
4.DFTは，大変計算時間がかかるので，計算アルゴリズムの工夫で計算を高速化させたものを「高速フーリエ変換(FFT)」と呼ぶ．
5.一般的にFFTではデータ数 N が2の累乗のときに計算時間が大幅に短縮される．
6.DFTとFFTの計算結果は同じである．
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/425

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