純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

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643: １３２人目の素数さん [] 2025/06/20(金) 18:01:21.97 ID:S3g1Aii2

>>642
ご苦労様です
スレ主です
その話を聞くと、加藤 文元さんの下記逸話を連想します
”『天に向かって続く数』（中井保行との共著）日本評論社”があるそうです

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A0%E8%97%A4%E6%96%87%E5%85%83
加藤 文元（かとう ふみはる、1968年7月27日 - ）は、日本の数学者。ZEN大学知能情報社会学部教授、東京工業大学名誉教授、学校法人角川ドワンゴ学園理事、株式会社SCIENTA・NOVA代表取締役。博士（理学）。専門分野は代数幾何学・数論幾何学（対数的幾何学、リジッド幾何学、志村多様体、モジュライ理論、代数的微分方程式）。

人物・エピソード
大学に入学した当初は、数学の専門家になろうとは毛頭考えていなかったという。むしろ、「数学科に行くと性格が悪くなる」という一種の偏見を持っており、数学科は避けていた。最初は物理学科に進もうと考えていたが、生物学のほうが面白そうだ、あるいはお金になりそうだと思うようになり、生物学科に進学した。しかし、解剖や実験が嫌いであったこと等からモチベーションが上がらず、またサークル活動も忙しかったため、勉強を蔑ろにしがちであった。
　4年生に進級する際、自分に生物学は向いていないと感じ、またサークルも引退したため、大学を休学して仙台にある実家に帰った。何もすることがなく手持ち無沙汰であったときに目に入ったのが、『おもしろい数学教室』（ヤコブ・ペレルマン著／山崎昇訳）という小学生のときに数学者である祖父に買ってもらった本だった。
　その中に書かれている「二乗しても変わらない無限に続く数」という概念に目が留まった。このとき、どうやら自分が見たこともない数の世界があると気付いたのだという。そこからその概念に興味を持ち始め定理をまとめた。それをトーリック多様体で有名な小田忠雄（当時東北大学教授）に見せたところ、
　「無手勝流であるが、クルト・ヘンゼルという数学者が約100年前に書いたp進数の体系と全く同じものである」と言われた。さらに小田教授が驚き評価したのは、「ヘンゼルの補題」というp進数を扱う上で最も基本となる定理を何も見ずに編み出したという点であった。
　そこで、小田教授に勧められた『可換体論』（永田雅宜著）という数学書を参考にヘンゼルの補題を追証明することにした。すると、苦労した証明の言い回しを現代数学は巧妙に「きれいな言葉」で行なっており、
　そこから数学の魅力に惹かれていった。このとき、もはや生物学を学ぶ気はなくなっていたという。その後、数学科へ転向した[21][22]。

著作
・『天に向かって続く数』（中井保行との共著）日本評論社、2016年 ISBN 978-4535798069

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/643

649: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/20(金) 22:24:13.97 ID:LS/4Ckc6

>>632 戻る
(引用開始)
>無限の存在が集合論の他の公理から独立である
無限の存在？　なにそれ？　無限集合の存在だろ？　バカなの
で、誰が従属と言ったの？　
(引用終り)

・独立 vs 従属？ ああ、線形代数と勘違いの条件反射かよ、おまえ。お里が知れるな、オチコボレさんよｗ
・”無限の存在”は、渕野先生の表現から借用したんだよ >>629の "P173 3 無限の存在証明"な
　公理的集合論以前でも、古代ギリシャの昔から、”無限”の概念は人類は知っていた（アリストテレスの著作がある）
　それ以外にも、ポンスレの射影幾何無限遠点や、リーマンの複素平面を球面としたときの北極点など
　ところで、カントールとデデキントさんは、無限を無限集合で扱うことを考えたのです
　なので、渕野先生 >>629 "P173 3 無限の存在証明"は、これで意味は通じるｗ　；ｐ）
・さて、「無限の存在が集合論の他の公理から独立」を語るには
　極限順序数（下記）から始めるのが分かり易いだろう
　下記の通り、極限順序数で ノイマンの後者関数とフォンノイマン基数割り当て（英語版）を用いれば
　自然数の集合ω＝Nであり、ωは”後続順序数でない”という性質を持つ
　だから、有限の順序数から後者関数を使うだけ では、ω＝Nには到達できないのだ
・だから、無限公理が必要で、但し”自然数の集合ω＝N”の存在を、まず公理と置いても良いのだが
　もっと賢いのは、ω(＝N)を含みそれより大きい集合を一気に認めてしまうことだね
　つまり カントールの順序数 ωのあとも, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω・・ とやることが分っているのだからね
　そしてωは、部分集合として ωより大きい集合から 取り出して構成すれば良いんだよ
（おっと "∩"は使わない方がいいぞ！ｗｗｗ　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
極限順序数は 0 でも後続順序数でもない順序数を言う
あるいは、順序数 λ が極限順序数であるための必要十分条件は「λ より小さい順序数が存在して、順序数 β が λ より小さい限り別の順序数 γ が存在して β < γ < λ とできることである」と言ってもよい。任意の順序数は、0 または後続順序数、さもなくば極限順序数である。
例えば、任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である
順序数に関するフォンノイマンの定義（英語版）を用いれば、任意の順序数はそれより小さい順序数全体の成す整列集合として与えられる。このとき、空でない順序数の集合が最大元を持たないならば、その和集合は常に極限順序数になる。フォンノイマン基数割り当て（英語版）を用いれば、任意の無限基数もまた極限順序数となる

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
すべての順序数は自分自身より小さな順序数全体の集合と等しいと言うことができる
ω より小さな順序数（すなわち自然数）を有限順序数と呼び・・
0, 1, 2, 3, ...., ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), .., ω + ω・・

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/649

965: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/20(日) 19:27:13.97 ID:JxJPBISF

>>964 追加

下記 fr.wikipedia Axiom of infinity（無限公理）
ここでも
　記号∩ 使ってないよ？
　記号∩ は、使わなくてもいいの？
　記号∩ は、使わなくてもいいのならば、その方がすっきりしてないかな？ｗ ；ｐ）

(参考)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_l%27infini
（google翻訳 仏→英）
Axiom of infinity
Statement of the axiom
The axiom is therefore written:
There exists a set to which the empty set belongs and which is closed by application of the successor x ↦ x ∪ { x },
that is, in the formal language of set theory (the calculus of egalitarian first-order predicates with the only non-logical symbol being that for membership, "∈"):
∃A Cl(A)
where Cl( Y ) is the predicate “∅ ∈ Y and ∀ y ( y ∈ Y ⇒ y ∪ { y } ∈ Y )”,
expressing
“  Y is closed under successor and ∅ belongs to it”
(for the abbreviations “∅ ∈ Y  ” and “  y ∪ { y } ∈ Y  ”,
defined from ∈, see Axiom of the empty set , Axiom of the pair and Axiom of the union ).

The set of natural numbers
Definition
To formalize the "and so on", let us define the predicate
Ent(x) as :
∀A (Cl(A)⇒x∈A)

Throughout the following, we will call "natural integers" - or "integers" - the elements x verifying Ent( x ).

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/965

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