純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

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167: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/07(水) 11:21:47.93 ID:w6tWvnRz

>>151
>>言わんとすることは 最初から一意の無限10進小数展開を使えば、実数の構成だけなら 同値使わずにやれるってだけのこと
>じゃやってみて
>君の言う方法で構成した集合が実数の公理を満たすことを示してみて
>大口叩く前に実際にやってみせてよ

ふっふ、ほっほ
１）高校生でもわかる簡単な話だが・・
　下記Cauchy sequence en.wikipediaの通りです
　つまり、１例で円周率 r=π this sequence is (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...)
　The mth and nth terms differ by at most 10^(1−m) when m < n
２）かように、いま任意の無理数 r'に対して πと同じようにできて（任意有理数も同じ）
　有限小数の列 (a0, a1, a2, ... ,am, ... ,an,, ... )
（注：am+1は、小数第m位の有限小数amに対して 一桁多い小数第m+1位の有限小数である。
　これで 無限列でコーシー列だね）
（なお、蛇足ながら、一桁ずつ桁が増えるので コーシー列で かつ一意になる）
３）逆に、有限小数は 有理数であるから、上記の有限小数のコーシー列は、有理コーシー列の一種だ
　まとめると
　i)任意の無理数 r'に対して それの有理コーシー列から 代表が一つ決まると、そこから
　　上記 r=π 同様に 一桁ずつの有限小数のコーシー列
　 (a0, a1, a2, ... ,am, ... ,an,, ... )が決まる（これは一意）
　ii)逆に、一桁ずつの有限小数のコーシー列は、有理コーシー列 である
　従って、一桁ずつの有限小数のコーシー列 ←→ 有理コーシー列 （数学的には同値）がなりたつ
４）上記３）項の通り 一桁ずつの有限小数のコーシー列が、有理コーシー列（による構成）と同値なので
　あとは、有理コーシー列による扱いの通りです。つまり、四則と絶対値について
　有理コーシー列による議論をそのまま、有限小数のコーシー列に落とせばいい
　こまかい部分は、下記”数学科に入ったら読む本” 福井敏純の ”第7章有理数の完備化95”を見てね （＾＾
（四則の商は多少工夫が必要（分数が混じるので それを 有限小数に落とす議論（循環節の処理）が必要だろうが））
　p進数での完備化もあるよ ；ｐ）

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_sequence
Cauchy sequence
In real numbers
For any real number r, the sequence of truncated decimal expansions of r forms a Cauchy sequence. For example, when
r=π, this sequence is (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...). The mth and nth terms differ by at most
10^(1−m) when m < n, and as m grows this becomes smaller than any fixed positive number ε.

https://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/ToshizumiFukui.html
福井　敏純 埼玉大学数学科
https://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/Fukui/lectures/
講義ノートなど
https://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/Fukui/lectures/intro.pdf
数学科に入ったら読む本 福井敏純 2025 年1月9日
はじめにiii
0.1数学とは. . . . . iii
0.2数学をわかるようになるには?. . . iv
第7章有理数の完備化95
7.1有理数の完備化...... 96
7.2実数....... 100
7.3 p進数. . . 104

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/167

397: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/21(水) 18:08:51.93 ID:byug+qYO

これ面白い
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/
Career advice
By Terence Tao

Advice is what we ask for when we already know the answer but wish we didn’t. (Erica Jong)
google訳

ここでは、数学の学術キャリアに関するさまざまなアドバイスを、そのアドバイスが最も適切なキャリアの段階ごとに大まかにまとめています (もちろん、いくつかのアドバイスは複数の段階に関係します)。

免責事項：ここでのアドバイスはごく一般的なものであり、あらゆるキャリアの問題を解決できる「特効薬」のようなものを持っていると主張するつもりはありません。

学部レベル
どうすれば数学の問題をうまく解けるようになるのでしょうか？数学には成績や試験、方法論以上のものがあることを忘れないでください。また、数学には厳密さや証明以上のものがあります。問題を完全に解決するための重要な足がかりとして、部分的な進歩を大切にすることも重要です。
華やかさや名声に頼ってキャリアを決めてはいけません。でも、色々な場所で勉強するべきです。
数学で成功するには天才でなければなりませんか？
2022 年ハーベイ・マッド卒業生への卒業式のスピーチ（ビデオ）。

大学院レベル
一生懸命働き、プロフェッショナルに働くことは大切です。しかし、仕事を楽しむことも大切です。
前進する道を理解するために先を考えてください。これまでの道を理解するために自分自身に愚かな質問をしてください。
自分の仕事に直接関係のない講演や会議にも出席しましょう。
アドバイザーに相談するだけでなく、自ら率先して行動してください。
一つの「大きな問題」や「大きな理論」に早急に執着しないでください。
自分が何をしたかを書き留め、公開してください。この点に関して、論文の書き方と提出方法についていくつかアドバイスがあります。
「危機一髪：失敗寸前だったことが、いかにして私を成功へと導いたか」、T. Tao、アメリカ数学会誌、2020年8月。元々は「生きた証拠：数学の旅路における回復力の物語」、アメリカ数学会、2019年に寄稿された。編集者：Allison Henrich、Emille Lawrence、Matthew Pons、David Taylor。

ポスドクレベル
自分の専門分野を学び、学び直してください。しかし、自分の専門分野以外のことを学ぶことを恐れないでください。
自分のツールの限界を学ぶだけでなく、他の数学者のツールの威力も学びましょう。特に、常に現在の範囲を少し超える目標を設定することが重要です。
研究においては、柔軟性と忍耐力の両方を備えてください。
機会があれば、ぜひ旅行に出かけて研究を発表してください。ただし、聴衆への配慮は欠かせません。講演は論文とは異なりますから。
自分の仕事に対して疑いを持ち、ゴミ箱を使うことを恐れないでください。
私はまた、研究数学者の観点から時間管理についての考えを（ゆっくりと）まとめているところです。

このトピックに関する一般的な考えをいくつか示します。
略す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/397

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