純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

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53: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/04/29(火) 20:17:15.69 ID:R0QaAHkm

河東 泰之 「量子化されたGalois理論」

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/suri9608.pdf
数理科学 NO.398,AUGUST 1996
作用素環と量子Galois群
河東 泰之

1. はじめに
結び目の不変量，Jones多項式が作用素環論に基づいて発見されたのは1984年の5月のことであった．
ちょうどその年の4月に4年生のセミナーで作用素環論を勉強し始めたばかりだった私にとって，それ以来進行しているこの10年あまりの理論の深まりは実に刺激的なものであった．
それは，これまで作用素環論とはあまり関係がないと思われていた数学，理論物理学の多くの分野が新たに作用素環論との結びつきを深めていく様子を目の当たりにすることができたからである．
作用素環論の立場から見た場合，
これらほかの分野（量子群，3次元トポロジー，共形場理論，可解格子模型，...）との間をつなぐ理論は
「量子化されたGalois理論」にあたるもので，paragroup理論と呼ばれている．
以下，この理論について解説することがこの文章の目的である．

通常のGalois 理論では，体K（たとえば有理数体）とその拡大体Lの組を考える．
そしてテクニカルな条件を飛ばして簡単に言えば，この組のGalois 群とは，大きい体Lの自己同型のうち小さい体Kの元を動かさないようなもの全体のなす群である．
これに対し作用素環論では，体を環に取り替えて作用素環Nとその拡大環Mの組を考える．
ここで作用素環と言っているのは，Hilbert空間上の連続線形作用素（荒っぽく言えば無限次元行列のこと）のなす環のことで，さらに通常，代数的，解析的に都合のいい条件を仮定するため，
II1 factor（ツーワンファクター）と呼ばれるクラスの場合を主に考える．
このクラスはMurrayとvon Neumannが約60年前に導入したものであり，
II1というのはその時の分類の番号，factorというのは分類理論における基本的な単位ということからついた名前である．

中略

5. 終わりに
最初に述べたように，paragroup理論は多くの分野と関係した刺激的な理論であり，興味を持つ数学者，物理学者は多いにもかかわらず，実際に自分の研究にparagroupを使っている人の数は圧倒的に少ない．

そこで私は，paragroup理論を基礎から明らかにしようと考え，一般論と応用を初歩から展開した本1)をEvansと書きあげたばかりである．（この文章中で，「めんどうだから書かない」と言ったことももちろん，ここに全部正確な形が書いてある．）これによって，この理論を取り巻く混乱に終止符を打ちたいと思う．特に，多くの学生の皆さんが，これからこの理論を学んで発展させてくれることを願っている．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/53

169: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/07(水) 22:25:23.69 ID:Lbk+1twB

>>167 補足

ふっふ、ほっほ
名古屋では・・・、”1.3筆者の結果の概要
上で述べたような{cn}は無限に存在するから、筆者による証明は実数の構成法が無限にあることを示している”！ （＾＾

(参考)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1874-16.pdf
数理解析研究所講究録第1874巻 2014年 139-149
交代級数を用いた実数の構成法について
名古屋大学・多元数理科学研究科 池田創一

1.1実数を構成するとは
まずこれから書くことは、[8]に詳しく書いてあることを筆者の考えをふまえつつまとめたものであることを述べておく。
（[8].田中一之、鈴木登志雄，数学のロジックと集合論，培風館，2007.）

現在の数学が扱う対象のほとんどが集合論により記述できることは大学の講義でも習うことであるし、ろう。そして現在「集合論」また経験的にも分かっていることであといえば、多くの場合は公理的集合論を指すだろう。

ところが、自然数や実数といった数についての公理は公理的集合論の公理ではない。
また、公理的集合論の公理が直接数を定義している訳でもない。
つまり公理的集合論において、数は質は定理として証明されるものである。
例えば、自然数(ここでは0も含む)は 0=Φ 1={0}={Φ}, n+1={0,1,2, ・・・,n}=n∪{n}と定義される (本当は公理的集合論の公理「無限公理」を用いて自然数全体の集Nが定義される)。そして、NからZ,Q,Rと数の世界を広げていくのである。この文書はQからRを構成する方法について述べたものである。

1.2実数の構成法の例
ここでは筆者の研究に関連の深い A.KnopfmacherとJ.Knopfmacherの方法について簡単に述べる。
彼らの方法は実数の級数表示(小数展開のようなもの)から逆に実数を構成する方法である。

1.3筆者の結果の概要
上で述べたような{cn}は無限に存在するから、筆者による証明は実数の構成法が無限にあることを示している

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/169

543: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/14(土) 09:53:25.69 ID:036MevG8

下記「なぜ日常で何の役にも立たない数学を勉強するのか」は、社会の一面でしょう
医学は、経験の蓄積が大事ですから

しかし、”日常で何の役にも立たない数学”は、アジトークでしょう
コロナのときの”新規感染者数や検査陽性率などの感染の指標から何が分かる？”などは
数学の力ですし、医学のCT画像診断、3D表示は 数学の力です

(参考)
https://president.jp/articles/-/94955?page=1
なぜ日常で何の役にも立たない数学を勉強するのか…元ミス東大の医師が出した"ぐうの音も出ない解答"
論理の飛躍が許されない世界で自分の思考回路を説明する
PRESIDENT Online
上田 彩瑛 2025/06/09
東京大学理科三類

社会に出ても「数学」を使うことなど全くないのに、なぜ勉強しなければならないのか。この疑問に、東京大学理科三類に現役合格後、2019年にミス東大に選ばれ、今春より医師になった上田彩瑛さんが答えた――。
※本稿は、上田彩瑛『数学を武器にしてみよう！』（PHP研究所）の一部を再編集したものです。
略

なぜ高校で数学を勉強するのか
ここまで述べたことは、「なぜ高校で数学を勉強するのか」という問いにもつながってきます。

なぜ数学の問題を解かせるのか。その生徒の、何の力を、テストで判断しようとしているのか。私は、それは次の「二つの力」だと思っています。

一つは、「解くためのポイントを理解して、解答を導き出すための論理を組み立てる力」。そしてもう一つは、「自分の持っている解法のポイントを、求められている形でアウトプットする力」。

数学の解答では、論理の飛躍は認められません。自分の思考過程を、相手にきちんと伝わるように書く必要があります。

いわば、「相手にわかるように説明する力」が求められるのです。私は、この二つの能力を磨くために、高校で数学を勉強しているのではないかと思っています。

大学に入ってから、数学を使ったことはほとんどありません。複素数平面や解と係数の関係が、一般の方の日常生活に役立つ、ということはあまりないでしょう。

ではなぜ勉強するのかと言うと、数学そのものより、数学の解答を記述する際に求められる力を身につけるためだと考えます。その点、知識を問う理科（の一部）や社会とは全く異なります。

そして、独学で学ぶのではなく、学校や塾に行く理由も、「解くためのポイントを理解して、解答を導き出すための論理を組み立てる力」と関わっているのだと思います。

https://www.saiseikai.or.jp/feature/covid19/data_q03/
社会福祉法人 恩賜財団 済生会（さいせいかい）
コロナのデータを理解する
2020.10.19
新規感染者数や検査陽性率などの感染の指標から何が分かる？

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/543

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