純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞
抽出解除ﾚｽ栞

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

630: １３２人目の素数さん [] 2025/06/18(水) 17:03:29.67 ID:1ZjEJMOG

つづき
集合論の研究の内部でも，Cantor とDedekind の集合論について述べたよ
うな，「純粋集合論」と「数学としての集合論」の問の大きな分離は早い時期か
ら見られたが，20 世紀の終りごろから，この2 つの集合論の潮流が合流し，新
しいパラダイムが生れつつあるように見える．

（ついでに下記も）
https://fuchino.ddo.jp/misc/kyoto10-08-24-talk-pf.pdf
RIMS研究集会「数学史の研究」での講演 2010
Kronecker,Dedekind,Hilbert on the Foundation of Arithemetic
渕野昌神戸大学大学院システム情報学研究科

https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku/65/4/65_0654411/_article/-char/en
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku/65/4/65_0654411/_pdf/-char/en
数学 2013 Volume 65 Issue 4 Pages 411-421
特別企画 これから学ぶ人のために
公理的集合論 渕野昌

https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
Axiom of infinity
Extracting the natural numbers from the infinite set
The infinite set I is a superset of the natural numbers. To show that the natural numbers themselves constitute a set, the axiom schema of specification can be applied to remove unwanted elements, leaving the set N of all natural numbers. This set is unique by the axiom of extensionality.

To extract the natural numbers, we need a definition of which sets are natural numbers. The natural numbers can be defined in a way that does not assume any axioms except the axiom of extensionality and the axiom of induction—a natural number is either zero or a successor and each of its elements is either zero or a successor of another of its elements. In formal language, the definition says:
∀n(n∈N⟺([n=∅∨∃k(n=k∪{k})]∧∀m∈n[m=∅∨∃k∈n(m=k∪{k})])).
Or, even more formally:
∀n(n∈N⟺([∀k(¬k∈n)∨∃k∀j(j∈n⟺(j∈k∨j=k))]∧
　∀m(m∈n⇒[∀k(¬k∈m)∨∃k(k∈n∧∀j(j∈m⟺(j∈k∨j=k)))]))).
つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/630

672: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/21(土) 12:41:17.67 ID:sEkgudR9

ふっふ、ほっほ

>>644 より再録
囲碁上達の格言の一つに、”相手の手のついて回るな”というのがあります
これを、君の>>641に当て嵌めると
君のヘボ手にお付き合いする必要がないってことだなｗ　；ｐ）
以上
(参考)
https://ss406167.stars.ne.jp/igojotatsuhintshu.html
≦囲碁上達ヒント集≧
第一部 思想・考え方編
碁の主導権と先手
(引用終り)

さて、まとめると
1）カントールや デデキントにより、素朴無限集合論が出来た
2）ところが、ラッセルのパラドックスのパラドックスが出てきた（下記）
3）そこで、ヒルベルトは無限集合論を公理的に構築することで、このパラドックスを解決しようとした
4）つまりは、結論は分っている。公理的に カントール、デデキントの無限集合論を再構築すること
5）このときの大きな問題の一つが、無限公理だった
　極限順序数ω＝Ｎ これは、自然数の集合であるが、極限順序数なので 有限順序数の後者関数としては実現できない
　よって、なんらかの無限公理を置く必要がある
6）このとき、単純に 極限順序数ω＝Ｎ のみを認める公理にすると、
　単純だが その後でさらに ωに後者関数を適用して 無限集合たる順序数の構築を続けたいのだ
　なので、無限公理としては、極限順序数ω＝Ｎを含む無限集合を認めることにしたのです
　勿論、ω＝Ｎや 順序数という言葉を使わずに 無限公理を定義するのです
7）こうして、無限公理として認めた 極限順序数ω＝Ｎを含む無限集合から、集合操作の公理のみを使って、ω＝Ｎを分離する
　無限公理の陳述として、極限順序数ω＝Ｎを匂わせる記述を入れてあるから、これは可能なのだ
8）こうやって、極限順序数ω＝Ｎが出来たあとは、これをもとにいろんな無限集合 例えば実数Rとかも 構成できるのです

あとは、集合論の本を読んでください！■ （＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
ラッセルのパラドックス（英: Russell's paradox）
矛盾の解消
公理的集合論ではまず集合論を形式化する。次にいかなる形の集合が存在するかを公理によって規定する。
集合論の公理は通常の数学を集合論の上で展開するために十分なだけの集合の存在を保証しつつ、パラドックスを発生させる集合は構成できないように慎重に設定する必要がある。
1.公理的集合論による解消
　略
2.単純型理論による解消[注 2]
　略

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/672

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.036s