純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

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824: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/05(土) 11:51:40.17 ID:M5qP1slu

>>817
>共通部分

ふっふ、ほっほ
下記 福井敏純 集合と位相空間入門（2008年）の講義ノート で
集合算 A ∪ B、A ∩ B
これは 2項演算だから、意味は明白だが
一方 下記 P21 1.5 集合族にあるように
∪や∩を、集合族により 2項演算→多項演算（有限及び無限集合族）
に拡張できることは、よく知られている

その場合、集合族の添え字集合を、明示するのが標準だが
おサルさん>>5は、添え字集合を明示せずとも 良いと強弁するのです
笑えるｗ ；ｐ）

(参考)
https://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/ToshizumiFukui.html
福井　敏純 埼玉大
https://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/Fukui/lectures/index.html
講義ノートなど
https://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/Fukui/lectures/Set_Topsp.pdf
2年次向けのもの
集合と位相空間入門（2008年）の講義ノート
P8
集合算
内包的記法を用いると A ∪ B は次
のように書きあらわすことができる．
A ∪ B := {x | x ∈ A または x ∈ B}

A, B の両方に共通な元全体の集合を, A と B の
共通部分 (intersection) といい A ∩ B であらわす．
内包的記法を用いると A ∩ B は次の
ように書きあらわすことができる．
A ∩ B := {x | x ∈ A, x ∈ B}

P21
1.5 集合族
U を全体集合とする．ある集合 Λ から 2
U への写像
Λ → 2^U, λ → A^λ
が与えられているとする．A^λ は全体集合 U の部分集合である．このとき {A^λ | λ ∈ Λ}
を Λ を添数集合とする集合族 (family of sets indexed by Λ) という．
集合族の記号として {A^λ}λ∈Λ を用いることもある．
集合族 {Aλ} の和集合 (union) および共通部分(intersection) を
∪λ∈Λ Aλ = {x ∈ U | ∃λ ∈ Λ s.t. x ∈ Aλ}
∩λ∈Λ Aλ = {x ∈ U | ∀λ ∈ Λ x ∈ Aλ}
によって定義する．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/824

930: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/19(土) 23:39:16.17 ID:jT6bEcWg

>>920-921 補足

補強しておくよ　；ｐ）
　>>563より
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
自然数の全体を特徴づける公理
自然数の集合論的構成
N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}*
0:=∅
S(x):=x∪{x}
具体的な自然数は
1:=S(0)={0}={∅}
2:=S(1)={0,1}={∅,{∅}}
3:=S(2)={0,1,2}={∅,{∅},{∅,{∅}}}
4:=S(3)={0,1,2,3}={∅,{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}}}
のようになる。この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる**[7]。
( 注*)ここに ∩ を使っているが、下記 坪井明人 筑波大 は ∩は使わない
　**)この構成法のS(x):=x∪{x}で、S(x)はそれまでの自然数をすべて含み
　例えば4の濃度は4 など となり、綺麗な自然数構成になる（by スレ主）)

対して
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf (>>563)
数理論理学II 坪井明人 筑波大
P8
1.1.9 無限公理
無限公理：
集合 x に対して，x ∪ {x} を S(x) で表す．例えば，S(∅) = {∅}, S^2(∅) =S(S(∅)) = {∅, {∅}} である．
S は，successor の頭文字で，次の元*)という意味を持たせている．
( 注*)しばしば後者 あるいは後者関数と呼ばれる（by スレ主）)
無限公理：
∃x(∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)).
x は ∅（0 と思う）を含んでいて，y が x に属すれば，y の次の元 S(y) も x に
属している．そのような x が存在することを主張するのが無限公理である．
直観的には，自然数全体のような集合が存在することを意味する．
無限公理によって保証される集合は， ∅, S(∅), S^2(∅), S^3(∅), . . . をすべて元
として含む集合である．しかし余分な元を含んでいるかも知れない．そこで自然数全体の集合 ω を
{∅, S(∅), S^2(∅), S^3(∅), . . . }
として定義したい．しかし「. . . 」の部分は直観的な説明としては容認できるが，
我々の立場では定義とは言い難い 1．そこで ω を条件
∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)
を満たす最小の集合 x として定義したい：無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び，
ω = {y ∈ X : ∀x(φ(x) → y ∈ x)}*
とする．ここで φ(x) は ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) である．このようにす
れば，ω は集合であり，φ(x) を満たす最小のものになる（もちろん X の取り
方に依存しない）．
( 注*)ωは 最初の無限順序数を表し、ノイマン構成では ω＝Nである
　坪井明人は、∩を使わない。この方が 簡明に思える（by スレ主）)
(引用終り)

要するに 坪井明人 筑波大の方が、ja.wikipediaの ペアノの公理 自然数の集合論的構成の
記号 ∩ を使った人よりも ちょっと賢い気がする今日この頃だなｗ ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/930

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