[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13 (1002ﾚｽ)
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978: 雑談 ◇yH25M02vWFhP ＝現代数学のオチコボレ 02/15(土)18:42 ID:36YscTpw(25/27) AAS
自分の言葉がないのは
ヒトの知性を持たぬサル
979(1): 02/15(土)19:50 ID:XknlDm4+(10/10) AAS
院試の口頭試問ならば、話は別だが
ここ 5ｃｈのカキコで 自分の言葉とかｗｗｗｗｗ
自分何さまだ？ 数学科修士卒だ？ 卒業証書さらせよｗｗｗｗ
幼稚園児か小学生みたいなカキコしかできないやつがよ
数学科修士卒だ？ わらかすな！！ｗｗｗｗ
980: 雑談 ◇yH25M02vWFhP ＝現代数学のオチコボレ 02/15(土)20:08 ID:36YscTpw(26/27) AAS
>>979
大学１年の数学で落第した奴が
院試の口頭試問とかぬかすなよ
神戸のセタは大学数学の負け犬
981(1): 雑談 ◇yH25M02vWFhP ＝現代数学のオチコボレ 02/15(土)20:51 ID:36YscTpw(27/27) AAS
神戸のセタは数学系大学院の
口頭試問を受けたことがないみたいなので
ここで過去に口頭試問を受けた人から聞いた
楽勝問題を出してあげる
Q 行列同士の同値関係の例を２つ示し、それぞれの同値類での不変量を示せ
これ大学１年の線形代数がわかっていれば、即座に答えられるけど
神戸のセタは答えられるかな？
982: 02/15(土)22:51 ID:tNB6oeTf(13/13) AAS
>>965 自己レス
>、選択関数を元として持つ集合を持ち出した時点で
勘違いしていたが、Aの定義からはAに選択関数が属しているとは言えないな。
証明が正しいことが理解できた。
983: 02/16(日)09:52 ID:XssMUT1p(1/17) AAS
>>981
>Q 行列同士の同値関係の例を２つ示し、それぞれの同値類での不変量を示せ
いい問題 このくらい 即答してほしいね
984: 02/16(日)15:30 ID:189U+xhH(1) AAS
一所懸命検索中
985: 02/16(日)16:03 ID:XssMUT1p(2/17) AAS
AA省
986: 02/16(日)21:02 ID:XssMUT1p(3/17) AAS
一般次数の n次正方行列についてのケイリー・ハミルトンの定理の証明には、いくつかの方法がある。
987: 02/16(日)21:04 ID:XssMUT1p(4/17) AAS
A の固有多項式を pA(t)=det(tIn−A), 固有値を λ1, …, λn とする。
pA(t)=(t−λ1)⋯(t−λn)
988: 02/16(日)21:10 ID:XssMUT1p(5/17) AAS
A を上三角化した行列を B とする。このとき対角成分に固有値 λ1, …, λn が並ぶ：
pA(A)=(A−λ1I)⋯(A−λnI)=(PBP^−1−λ1I)⋯(PBP^−1−λnI)=P{(B−λ1I)⋯(B−λnI)}P^−1⋯(1)
ここで
pB(B)=(B−λ1I)⋯(B−λnI)
を計算する。
989: 02/16(日)21:13 ID:XssMUT1p(6/17) AAS
Ck:=B-λkI (k=1,2,…,n)とおく。
Ck は上三角行列で、(k, k) 成分は 0 である。
C1C2を計算すると、第2列までは成分が全て 0 になる。
同様にして、帰納的に、Ckを掛けると、第k列までの成分は全て 0 になる。
これを n番目まで繰り返すことにより
C1…Cn=O
990: 02/16(日)21:14 ID:XssMUT1p(7/17) AAS
故に (1) は
P(C1⋯Cn)P^−1=O
（証明終）
991: 02/16(日)21:16 ID:XssMUT1p(8/17) AAS
n次正方行列の固有多項式において、
i次の係数 ci は A の固有値たちのなす (n − i)次基本対称式に等しい。
特に、定数項（0次の係数）c0 は固有値の総乗ゆえ
A の行列式 detA に等しい。
992: 02/16(日)21:20 ID:XssMUT1p(9/17) AAS
ニュートンの公式（英語版）を用いると、基本対称式は冪和対称式で書き表せるから、
上記の ci は固有値の冪和対称式
sk=?(i=1〜n)λi^k
たちで表されると分かるが、
sk=Σ(i=1〜n)λi^k=tr(A^k)
である。
したがって、ci は Ak のトレースたちで書き表せる。
省1
993: 02/16(日)21:21 ID:XssMUT1p(10/17) AAS
ケイリー・ハミルトンの定理により、
一般の n次正則行列 A（つまり A の行列式は 0 でない）に対し、
その逆行列 A−1 は A の n − 1次以下の行列多項式で表せる。
994: 02/16(日)21:22 ID:XssMUT1p(11/17) AAS
ケイリー・ハミルトンの定理は A の冪の間に成り立つ
（最も とは限らないが）関係を記述するものであるから、
それにより A の十分大きな指数の冪を含む式の計算において、
式を簡単化して A の（n 以上の指数が大きな）冪を
直接計算することなく値を評価することができるようになる。
995: 02/16(日)21:24 ID:XssMUT1p(12/17) AAS
ケイリー・ハミルトンの定理により p(A) = O だから、
ある種の剰余の定理：f(A)=r(A)が成り立つ。
ゆえに、行列変数の解析函数は各行列 A ごとに
n 次以下の行列多項式として書き表される。
996: 02/16(日)21:36 ID:XssMUT1p(13/17) AAS
f(A)=e^At
(A
=(0 1)
(−1 0))
を考える。
997: 02/16(日)21:37 ID:XssMUT1p(14/17) AAS
A の固有多項式は p(x) = x2 + 1, 固有値は λ = ±i である。
998: 02/16(日)21:38 ID:XssMUT1p(15/17) AAS
固有値における値に関する連立方程式
e^ it = c0 + ic1
e^−it = c0 − ic1
を解いて、
c0 = (e^it + e^−it)/2 = cos(t)
c1 = (e^it − e^−it)/2i = sin(t)
を得る。
999: 02/16(日)21:40 ID:XssMUT1p(16/17) AAS
この場合の
e^At=(cos t)I2+(sin t)A
=
(cost sint)
(−sint cost)
は回転行列である。
1000: 02/16(日)21:41 ID:XssMUT1p(17/17) AAS
完
1001(1): 1001 ID:Thread(1/2) AAS
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1002(1): 1002 ID:Thread(2/2) AAS
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