ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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1(6): 01/01(水)09:57 ID:2b7XvZNh(1/10) AAS
前スレが1000近く又は1000超えになったので、新スレを立てる

2chｽﾚ:math
前スレガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11

このスレは、ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレです
関連は、だいたい何でもありです（現代ガロア理論＆乗数イデアル関連他文学論・囲碁将棋まであります）

資料としては、まずはこれ
外部ﾘﾝｸ:sites.google.com
省18

2(3): 01/01(水)09:57 ID:2b7XvZNh(2/10) AAS
つづき

メモ
外部ﾘﾝｸ[html]:www.iwanami.co.jp
岩波科学ライブラリー
ガロアの論文を読んでみた
時代を超越していたガロアの第1論文．その行間を補いつつ，高校数学をベースにじっくりと読み解く．

画像ﾘﾝｸ[jpg]:www.iwanami.co.jp
省25

3(3): 01/01(水)09:59 ID:2b7XvZNh(3/10) AAS
つづき

メモ（デデキントのガロア理論講義の話が興味深い）
外部ﾘﾝｸ:www.jstage.jst.go.jp
ガロア理論の推移史について
中村幸四郎*
科学基礎論研究1982

この論文は多くの後継者を経て,後に「ガロア理論」
省22

7(15): 01/01(水)10:03 ID:2b7XvZNh(7/10) AAS
つづき

数学者の日常

小平の消滅定理の一般化

ホッジ構造
非特異射影多様体のコホモロジーにはホッジ構造と呼ばれる構造が入ります。これは純ホッジ構造と呼ばれるものになっています。一般の代数多様体のコホモロジーには純ホッジ構造は入らないのですが、混合ホッジ構造と呼ばれる純ホッジ構造を拡張したものが入ります。
(引用終り)
以上
省26

8(15): 01/01(水)10:04 ID:2b7XvZNh(8/10) AAS
つづき

再録します。おサルの傷口に塩ですｗ
2chｽﾚ:math
2023/06/11(日)
下記だねｗ(>>63再録)
スレ主です
数学科オチコボレのサルさんｗ 2chｽﾚ:math
省37

9(15): 01/01(水)10:05 ID:2b7XvZNh(9/10) AAS
つづき

あほサルの続き

さて
『なぜ、ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？』スレより
itest.5ch.net/rio2016/test/read.cgi/math/1731415731/771
2024/12/21
おサルさん
省29

10(20): 01/01(水)10:05 ID:2b7XvZNh(10/10) AAS
つづき

・自然数 ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
　『形式的な定義自然数の公理
　以上の構成(注ノイマン構成)は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
　例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
　0 := {}
　1 := {0} = {{}}
省28

11(3): 01/05(日)20:22 ID:SzCW+7H2(1) AAS
>>10
>『{}∈{{{}}} は偽』とか、勝手な妄想を沸かす。
『{}∈{{{}}} は真』とか勝手な妄想を沸かすど素人さんが数学語っちゃダメじゃね？

15(6): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/05(日)22:42 ID:y/tQADnI(1/4) AAS
前スレより
rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/973-983
>つまり(ZFCではなく)ZF上で実数は定義不可能と言いたいのですか？

ふっふ、ほっほ
1）下記選択公理の変種から辿って、可算選択公理と従属選択公理とを、百回音読してね
2）例えば可算選択公理：”実数論においては選択公理ではなく可算選択公理で事足りる場合が多い[1]”
　・”例えば集積点が極限点であること、すなわち「xが実数Rの部分集合Sの集積点ならば、xに収束する S∖{x}の数列が存在する」という命題を証明したい場合にはACωを用いれば十分である”
省22

19(3): 01/06(月)04:54 ID:bgJiiwgI(1/7) AAS
>>15
>”(ZFCではなく)ZF上で実数は定義不可能と言いたいのですか？”
>の答えは、『可算選択公理：”実数論においては選択公理ではなく可算選択公理で事足りる場合が多い』というようなことで
>その実、可算選択公理 ACωや、従属選択公理 DC を、導入していることが殆ど；ｐ）
問いへの回答になってない
YES/NOで答えよ

83(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/10(金)12:11 ID:HEywEVY2(2/12) AAS
つづき

ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理
可算選択公理
カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている。
従属選択公理
→詳細は「従属選択公理」を参照
省27

84(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/10(金)12:11 ID:HEywEVY2(3/12) AAS
つづき

Notes et références
3．Pour d'autres énoncés équivalents à ACω, voir (en) Horst Herrlich, « Choice principles in elementary topology and analysis », Comment. Math. Univ. Carolinae, vol. 38, no 3,‎ 1997, p. 545-552 (lire en ligne [archive]) et (en) Paul Howard et Jean E. Rubin, Consequences of the Axiom of Choice, Providence, R.I., AMS, 1998.

archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.emis.de%2Fjournals%2FCMUC%2Fpdf%2Fcmuc9703%2Fherrli.pdf
Comment.Math.Univ.Carolin. 38,3(1997)545–552 545
Choice principles in elementary topology and analysis Horst Herrlich
1. In the realm of the reals
省27

99(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/10(金)18:35 ID:HEywEVY2(11/12) AAS
>>98
対角線論法は、可算整列ができないと
使えないのでは？

選択公理 vs 整列可能定理
と同様に
可算選択公理 vs 可算整列可能定理
となると思うが
省2

100(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/10(金)18:38 ID:HEywEVY2(12/12) AAS
なんらかの
例えば、可算選択公理や、従属選択公理がないと
有理コーシー列は出来ても
そこで”詰みます”ってことでいい？

102(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/10(金)21:18 ID:NmRCi1sD(1/3) AAS
>>99-101
(引用開始)
対角線論法は、可算整列ができないと
使えないのでは？
選択公理 vs 整列可能定理
と同様に
可算選択公理 vs 可算整列可能定理
省41

113(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/11(土)08:05 ID:TvN85EDR(1/9) AAS
>>108
>いや、有限なら有理数だからｗ

そうでした
区間[0.1]の実数rの無限2進展開は、選択公理とは別ですね
なので>>102の対角線論法の部分は、下記に修正しますね
”縦方向に並べるの行の数は、可算整列可能定理を使って可算無限にできる
　しかし、可算整列可能定理（＝可算選択公理）を否定すると、有限になるので
省29

129(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/11(土)17:35 ID:TvN85EDR(5/9) AAS
>>120-128
ふっふ、ほっほ
出かけていました

5ｃｈ便所板らしいなぁ〜ｗ

アホとバカが大きな顔をして
自分たちはバカですと、騒ぐ

数学の情報は、英語が日本語の十倍という人がいる
省13

133(7): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/11(土)18:45 ID:TvN85EDR(7/9) AAS
>>130 追加

　>>113の対角線論法の補足をちゃんと書いておきますね；ｐ）

　>>129より再録
”assuming the axiom of countable choice, a set is countable if its cardinality (the number of elements of the set) is not greater than that of the natural numbers.”

なので、”assuming the axiom of countable choice”を採用します
つまり、可算選択公理より、可算整列定理が従います

さて
省32

138(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/11(土)21:07 ID:TvN85EDR(9/9) AAS
>>137
(引用開始)
＞集合Tが、可算であるとする
＞可算選択公理より、可算整列定理が従うので、T要素を(可算)整列させて
　数学が初歩から分からんサルの口から出まかせのホラ
　Tが可算なら即整列できる　Nが整列できるんだから
　可算とはNからTへの一対一写像ｆがあるということ
省29

143(5): 01/11(土)21:47 ID:7/7JENEr(4/5) AAS
>>113
>しかし、可算整列可能定理（＝可算選択公理）を否定すると、有限になるので

これが雑談の根本的な誤解。
整列可能定理と選択公理の関係から、両者に「可算」を付けても同じだろうと
連想したのだろうが、証明を読めば事情はまったく異なる。
可算選択公理は可算個の集合族についての言明で、それら集合族の和集合が
可算集合とは限らないから、可算集合の整列可能性（これは自明）から
省1

146(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)08:34 ID:gsEji7DN(1/21) AAS
>>142-144
>整列可能定理と選択公理の関係から、両者に「可算」を付けても同じだろうと
>連想したのだろうが、証明を読めば事情はまったく異なる。

やれやれ
証明が読めてない人は、だれでしょか？；ｐ）
下記に、整列可能定理→選択公理の証明を、貼ります！
英語版が分りにくいので、中国版とイタリア版を追加した
省15

154(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)09:38 ID:gsEji7DN(4/21) AAS
>>143
>可算選択公理は可算個の集合族についての言明で、それら集合族の和集合が
>可算集合とは限らないから、可算集合の整列可能性（これは自明）から
>可算選択公理は従わない。

さて、もどると
そもそも、選択公理は、整列可能定理を導くために考えられた
即ち、例えば非可算の実数Rを整列可能とするための公理であった
省18

176(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)13:37 ID:gsEji7DN(14/21) AAS
>>174
>x上の二項関係≦を f(x)≦f(x-{f(x)})≦f(x-{f(x),f(x-{f(x)})})≦・・・で定義すれば≦は整列順序。
>ここで写像fは具体的でないので≦も具体的でない。すなわち整列定理からはいかなる具体的整列順序も出てこない。
>雑談くんには理解できないだろうなぁ（遠い目）

いやいやｗｗ；ｐ）
おっさんな

　>>146-147の Well-ordering theorem （整列可能定理）の
省35

177(3): 01/12(日)13:40 ID:F+I6x7M1(13/26) AAS
>>176
>これが理解できていれば、選択関数は
>整列可能定理の関係R の構成を通じて具体化可能だ！と
じゃあ実数の整列順序を構成してみて
整列可能定理でできるんでしょ？　よろぴくー

184(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)18:43 ID:gsEji7DN(16/21) AAS
>>183
レスありがとうございます

>>179
>>”T値列は任意でよい”は、言えない
>じゃあ　Tの元すべてを含む任意のT値列でよい　に訂正。

だから、その主張のためには可算選択公理（それを使う可算整列（可能）定理）が必要です
つまり、可算整列ができれば、自然数Nとの全単射（一対応）の存在が言えます
省23

199(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)20:28 ID:gsEji7DN(19/21) AAS
>>197
>>この s1,s2,s3 ・・・が
>>f(0),f(1),・・・に該当するか否かの保証がないでしょ？ｗ
>保証が必要な理由は？

ふっふ、ほっほ
もし、可算選択公理を仮定せずそこから導かれる可算整列（可能）定理を使わないで
s1,s2,s3 ・・・が f(0),f(1),・・・に該当する保証がなければ
省6

203(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)22:00 ID:gsEji7DN(20/21) AAS
>>200-202
>>s1,s2,s3 ・・・が全てのTを尽くしていることが、厳密に言えない
>言えなくて良い
>f(0),f(1),・・・が尽くしてるから

ふっふ、ほっほ
厳密には、『言えなくて良い』が、どこまで許されるのかは
若干の議論の余地があることは認めるけれども・・ｗｗｗ；ｐ）
省22

207(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/12(日)23:58 ID:gsEji7DN(21/21) AAS
>>206
(引用開始)
>Tの元の並び方は任意でよい
を認める？ Y/N
Nなら具体的並び方を示して
(引用終り)

・答え N
省24

218(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)09:49 ID:xSRlEtRO(3/17) AAS
>>217
おサルさんさ
可算選択公理を認めれば、対角線論法がスッキリと簡明になるって話よ

そんなに必死に可算選択公理を否定することもないと思うよｗ

『カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている』
それだけの話なのだからｗ；ｐ）

(参考)
省4

262(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/14(火)12:21 ID:rO5NkXOo(2/3) AAS
>>260
ふっふ、ほっほ
　>>15より
前スレより
rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/973-983
>つまり(ZFCではなく)ZF上で実数は定義不可能と言いたいのですか？

アホは食言しているがｗ
省21

270(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/14(火)17:22 ID:rO5NkXOo(3/3) AAS
>>267
(引用開始)
>つまり、整列可能定理は公理として、有理コーシー列で有理数Qの完備化を可能として
>無理数（超越数を含む）の存在を保証する
は君の発言だよね？　食言ってことは、未だに間違いって理解してないってこと？
(引用終り)

では、下記の通り微修正をします；ｐ）
省26

292(14): 01/15(水)15:40 ID:zEkLeAcw(6/13) AAS
定理　選択公理⇒整列定理

証明
空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される。
X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する。
反射律の確認：∀a∈Xについて、≦の定義を{a}に適用しa≦aを得る。
推移律の確認：∀a,b,c∈Xについて、a≦b ∧ b≦c を仮定する。≦の定義を{a,b,c}に適用しa≦cを得る。
反対称律の確認：∀a,b∈Xについて、a≦b ∧ b≦a を仮定する。≦の定義を{a,b}に適用しf({a,b})=a ∧ f({a,b})=bを得る。fは写像だからa=b。
省3

294(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/15(水)15:53 ID:ZCTGHyhi(4/11) AAS
>>292

だから前スレ
rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/970
”{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・”という整列順序を整列可能定理で作ったと解釈してくださいね。整列可能定理でね
それで、議論は終りです

”{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・”という整列順序を整列可能定理で作ったと解釈すると
∈ → ≦ （>>292の定義の通り）と書き直して
省10

301(3): 01/15(水)17:10 ID:l2ptd/jY(1) AAS
>>292
その証明、正しい？
どこにそれ載ってる？

309(3): 01/15(水)18:19 ID:Cmnz2SCH(1/3) AAS
>>306
>チラ見で流し読みしてみると、この証明は、完全にスベっていて、ドッチラケですね
チラ見ストの君、じゃ、↓の証明はスベってる？　ドッチラケ？

整序しようとする集合を A とし、f を A の非空部分集合族の選択関数とする。
各序数 α に対して、補集合 A∖{aξ∣ξ<α} が空でなければ aα= f(A∖{aξ∣ξ<α}) とし、
空であれば aα は未定義とする。
つまり、aα は A の要素のうち、まだ順序が割り当てられていないものから選ばれる
省3

310(8): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/15(水)18:43 ID:ZCTGHyhi(11/11) AAS
>>309
それ、下記のWell-ordering theorem
”The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]”
とほぼ同じでしょ？

おれが、すでにどこかにアップしてあるよ

外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Well-ordering theorem
省25

313(5): 01/15(水)19:41 ID:WVUbhM43(3/5) AAS
たとえば、X(全集合)={a,b,c}で
f({a,b,c})=a, f({b,c})=b のとき、a<b<c と整列する。
このとき、f({a,b}),f({c,a})の値は使われない。
（aがf({a,b,c})=aとしてあらわれているから。）
というわけで、選択函数fがあっても
すべての値を使うのではなく、一部の値しか使われない。

314(4): 01/15(水)19:42 ID:WVUbhM43(4/5) AAS
そして、一つずつ元が減っていくという関係で
（部分集合全体のなす集合）のある部分集合が、Xを
最初の集合として、一列に並ぶ。
このとき一つずつ減っていく元がfによって選ばれている
という仕組み。

315(4): 01/15(水)19:52 ID:WVUbhM43(5/5) AAS
fのすべての値を使ってるわけではないが、fがあれば
「一つずつ元が減っていくという関係で（部分集合全体のなす集合）
のある部分集合が一列に並ぶ」、ということも
すっきり示される形になっている。

318(4): 01/15(水)20:44 ID:Cmnz2SCH(3/3) AAS
>>316
> オリジナルだよ
　なるほど・・・
> 確かにへんだね
> なんでダメだったか見直してみるよ
　いい証明ができたら、教えてくれ

　個人的には>>309のJechの証明も、ちと不安だ
省2

320(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/15(水)23:39 ID:HSrNcrvS(2/3) AAS
つづき

これを、院試の問題と考えて、採点すると
1）P：選択公理⇒Q：整列定理で
　選択公理と整列定理とを、証明に使えるステートメントに落とし込まないと行けないところが
　これをすっぽかし、証明の頭出しと、最後がスッキリしない印象の悪い答案になった
（選択公理と整列定理のステートメントを、ビシと正確に書くと、採点者に好印象だろう）
2）いまは、数学的ステートメントは略して日常語で書く
省25

358(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/17(金)10:33 ID:MEr9oV+O(1/6) AAS
>>352-357
>結局、最後は力で決まる　無駄を承知でやりまくることでしか結果はでない
>数学者は馬鹿でなくてはならない、といった人がいる
>要するに、常に効率のいい方法を求める利口になるな、ということ
>新しい結果を出す最適の方法なんか存在しない

ふっふ、ほっほ
おサルさん>>7-10
省37

363(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/17(金)18:03 ID:MEr9oV+O(5/6) AAS
>>177
(引用開始)
>これが理解できていれば、選択関数は
>整列可能定理の関係R の構成を通じて具体化可能だ！と
じゃあ実数の整列順序を構成してみて
整列可能定理でできるんでしょ？
(引用終り)
省29

404(6): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/18(土)18:45 ID:yCcyDMub(5/12) AAS
　>>310より再録と補足
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be
A, and let
省34

409(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/18(土)23:39 ID:yCcyDMub(9/12) AAS
公開処刑 part2 ；ｐ）
　>>292 より
定理　選択公理⇒整列定理
証明
空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される。
X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する。
反射律の確認：∀a∈Xについて、≦の定義を{a}に適用しa≦aを得る。
省34

427(3): 01/19(日)11:53 ID:MeW3b4Rf(1/8) AAS
雑談さんは、>>292の証明は、整列定理から作った特別な選択函数を用いれば成立するということは分かりますかね？

>>426
それでいいと思ってるなら、マジで数学の才能ゼロだから、今すぐやめた方がいい。
もし病気なら、治療を優先すべき。

464(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/19(日)20:57 ID:RlRmaz0L(9/9) AAS
>>441
>　Jechの証明のfから上記の性質を持つfに改造できればいいってことで
>　多分いろいろやり方はありそうだけ
>　（たとえばfが半順序になるところまでなんとか持って行って
>　　ツォルンの補題を経由して証明するとか）
>　一番簡単なのはJechの証明の方法でとにかく整列しちゃうってことですかね
>　ということで意図が分かると、
省36

473(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/20(月)15:58 ID:7RKCNKc8(1/6) AAS
＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ）

さて >>465 より
(引用開始)
”we can do by induction, using a choice function f for the family S of all nonempty subsets of A.”
ああ、ごめんごめん。きみ、英語全く読めないニホンザルだったな。翻訳しとくわ。
省43

486(7): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/21(火)16:52 ID:N2eH+PDU(2/6) AAS
つづき

再度転記しよう
T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics)
Thomas Jechの証明
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
省29

504(7): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/22(水)10:37 ID:XJPGzntw(1/4) AAS
＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ）

>>498
(再掲)>>497より
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
省29

510(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/22(水)16:07 ID:XJPGzntw(4/4) AAS
>>508
(引用開始)
じゃ、fを表に出しなよ
A,A∖f(A),(A∖f(A))∖f(A∖f(A)),…
↓
f(A),f(A∖f(A)),f((A∖f(A))∖f(A∖f(A))),…
定義域の集合族を{A,A∖f(A),(A∖f(A))∖f(A∖f(A)),…}に制限したいらしいけど
省37

526(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)11:46 ID:OWxAi42s(2/12) AAS
>>524-525
>左側はfの反復によって決まるので
>fの定義の前には決まらない
>だからfに先立って反復に現れる集合の全体を決めるのは循環論法

言っている意味がわからんｗ；ｐ）
下記の東北大尾畑研第13章整列集合定理13.18 (超限帰納法)
百回音読してねｗ；ｐ）
省28

547(6): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)18:26 ID:OWxAi42s(10/12) AAS
>>541 つづき
”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

>>544 お愉しみを邪魔して悪いが
ちょっと、『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に戻る
結論は
省27

553(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)21:16 ID:y/IThbaj(4/6) AAS
>>545
(引用開始)
>>318
>なんで、必ずある順序数が上限として存在るするといえるのか、わからんから
うん、俺もその辺だいぶ悩んだ
自分では解決できたと思ってるが、正しいかは分からん
(引用終り)
省21

558(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/24(金)07:59 ID:U1RMCmJs(1/3) AAS
>>557
>　逆に上限がない場合、それは集合でない、と言えればいいんじゃね？

同意です
その筋は、ツォルンの補題の証明に書いてあった
『この列は本当に長い、添え字の範囲は単なる自然数ではなく、全ての順序数を動く。実は P と比較しても長すぎる。順序数の全体は真クラスを成すほど大きすぎて、普通の集合より大きくなる。そして、この長さにより集合 P の元を使い尽くすことで矛盾を得る。』
とか。（まだ、分ってないので、ツッコミなしね）

(参考)
省29

564(3): 01/24(金)11:14 ID:Y9e4pxHo(3/7) AAS
>>561
>『{}∈{{{}}} は偽』とか、勝手な妄想を沸かす。
いや事実だよ
{{{}}}の元は唯一{{}}のみだから
近所の高校生に聞いてごらん　『{}∈{{{}}} は真』なんて言う高校生はいないから

572(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/24(金)15:13 ID:BCvEAUed(7/10) AAS
>>526 追加
(引用開始)
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_13.pdf
TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21) 東北大尾畑研
第13章整列集合
定理13.18 (超限帰納法)
略す
省24

583(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/25(土)09:00 ID:vKwDmbNO(2/11) AAS
>>580
うーん

(引用開始)
>>557 ID:knZwyXgJ さん
>>553
> いま Jechの証明の任意集合Aが、ある集合の濃度を持つとしよう（ZFC内ではね）
　それ、論点先取
省35

586(4): 01/25(土)09:43 ID:AIirwIxg(4/8) AAS
>>585
選択関数の定義域は？
「Aの空でない部分集合全体」つまりP(A)-Φだよね？
決して{A,A∖{aξ∣ξ<1},A∖{aξ∣ξ<2},…}ではないよね
だって、後者の場合aξを定義するのに選択関数使っちゃうから
あくまで{A,A∖{aξ∣ξ<1},A∖{aξ∣ξ<2},…}はP(A)-Φの部分集合で
しかも、選択公理と超限帰納法の適用の結果として分かるだけ
省5

598(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/25(土)15:14 ID:vKwDmbNO(8/11) AAS
”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

(引用開始)
>>586
選択関数の定義域は？
「Aの空でない部分集合全体」つまりP(A)-Φだよね？
省15

604(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/25(土)19:24 ID:vKwDmbNO(9/11) AAS
”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

>>598 補足
(再掲)>>504より
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
省37

606(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/25(土)20:04 ID:vKwDmbNO(10/11) AAS
>>604 補足
>3）sup{α∣aα is defined}の部分は、集合Aの濃度から決まる上限　Aの冪集合P(A)の濃度を超えないので
　証明が終わる■

1）集合の濃度については、下記のja.wikipediaの通り
2）つまり、集合の濃度の割り当てには
　ノイマン流（選択公理を仮定する）と
　スコットのトリック（選択公理なしで、正則性公理を使う）
省26

616(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/26(日)08:41 ID:57hfZFiX(1/17) AAS
”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

>>615
>なぜなら重要なのは
>>sup{α|aα is defined}
>であって、aαの並び方は選択関数で一意に決まり、他の並び方を考える必要がまったく無いから。
省30

631(10): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/26(日)14:09 ID:57hfZFiX(6/17) AAS
”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

>A(=A＼Φ),A＼{a0},A＼{a0,a2},・・,A＼{a0,a2,・・},・・
>を得るにはP(A)-Φを定義域とする選択関数が必要。

妄想沸いてるよｗ；ｐ）
下記 Jechの証明を2つ再録しよう
省38

642(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/26(日)17:49 ID:57hfZFiX(9/17) AAS
”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

ふっふ、ほっほ

>>638-641
ふーん、ID:odIYHPQg と ID:b1A8rVdb と
箱入り無数目のあほ二人が、揃ったか
省20

643(3): 01/26(日)18:00 ID:b1A8rVdb(18/24) AAS
>>642
>定義域 P(A)-Φの全ての選択関数f の（値域の）値を書け！！ｗ；ｐ）
∀B∈(P(A)-Φ)についてf(B)∈B⊂A

なんでこんな当たり前のことが分からないの？　もしかして馬鹿？

652(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/26(日)22:30 ID:57hfZFiX(15/17) AAS
”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

>>651
(引用開始)
>選択関数fの定義域を
>集合族P(A)-Φ 全体に広げる必要性も、
省38

667(10): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/27(月)12:12 ID:CtxJncrm(2/6) AAS
つづき

さて >>652より
Thomas Jechの証明再録
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
省30

674(8): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/27(月)13:20 ID:CtxJncrm(3/6) AAS
”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
＜あほ二人は、選択公理−選択関数が全く分かっていない＞

ご苦労様です。
>>668-670
>それは P(A)-Φから要素を選ぶ選択関数fそのまま
省25

684(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/27(月)15:02 ID:CtxJncrm(5/6) AAS
”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
＜あほ二人は、選択公理−選択関数が全く分かっていない＞

>>676-683

　>>682 ID:VZyTU7BUと >>681 ID:zED1d/2g とは、同一人物か
そうすると、>>683 の ID:T6In1xa/ と合わせて、相手は ”例の”あほ二人かｗ；ｐ）
省15

709(8): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/28(火)11:18 ID:C6l4Y3jA(1/8) AAS
”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
＜あほ二人は、選択公理−選択関数が全く分かっていない＞

血の巡りの悪い人がいるね
では、再度>>666-667の説明を補足しよう

　>>667より
省38

710(6): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/28(火)11:19 ID:C6l4Y3jA(2/8) AAS
つづき

で、まとめると、P' にそのまま選択関数を適用しても、
直ちには aα=f(A-{aξ：ξ<α}) は出ない
上記のように A-{aξ：ξ<α} からなる集合族を部分集合として P' から切り出して
その順序数で添え字付けされた集合族からの選択関数の出力として、
順序数で添え字付けされた aα を出すべし
この添え字順序数α による順序が、整列順序で、集合Aの要素の全部に渡り、集合Aに整列順序が入る
省3

729(3): 01/28(火)12:58 ID:yjMaZKJe(2/2) AAS
率直に言って、Jechの本の証明は
「なんだ、それだけのことか」
という感じのもの
（注：別にJechはディスってない）

「Aの空でない部分集合から要素を取り出す選択関数」で十分なのに
なぜ、選択関数の定義域を「Aの空でない部分集合」から
より小さい集合族に限定する必要があるのだろうか？
省6

730(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/28(火)13:06 ID:C6l4Y3jA(4/8) AAS
”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
＜あほ二人は、選択公理−選択関数が全く分かっていない＞

血の巡りの悪い人がいるね

>>720-727

おサルさ>>7-10
省16

739(5): 01/28(火)14:04 ID:SFFxcmct(12/28) AAS
>>729より
>可算集合の整列が、可算選択公理で出来るって
>考え無しのオオボケかましたのを正当化しようってか？

Aが可算⇔全単射f:N→Aが存在する。
∀n,m∈N.n<m⇔f(n)<f(m) によって(A,<)を定義したとき、∀B⊂A.f(minf^(-1)(B))=min<B∈B だから、Aは整列集合。

はい、雑談ザルの持論は独善妄想であることが証明されますた。残念！

751(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/28(火)18:27 ID:C6l4Y3jA(8/8) AAS
>>748
>循環参照では？という疑いの目で見直してごらん　思い込みはダメよ

ん？下記？
　>>714より引用
　aα=f(A-{aξ：ξ<α})　と定義したのだから
　aに先立ってfの定義が必要
　fの定義域がaでつくられるとか完全な循環論法
省11

760(7): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/28(火)20:42 ID:n4GbW2On(2/4) AAS
>>752-753
さて
　>>667より
Thomas Jechの証明再録
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
省32

763(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/28(火)23:02 ID:n4GbW2On(4/4) AAS
”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
＜あほ二人は、選択公理−選択関数が全く分かっていない＞

血の巡りの悪い人がいるね

>>762
>>Aから一つずつ Aの要素を取り出して
省16

778(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/29(水)14:53 ID:s7oLTcE3(1/5) AAS
>>764-770
>「Aから一つずつ Aの要素を取り出して」のところ
>ここで、Aが無限集合なら「Aの空でない部分集合からその要素への選択関数」が必要

選択関数と普通の関数の区別分かっている？

en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
Axiom of choice
Axiom — For any set X of nonempty sets, there exists a choice function f that is defined on X and maps each set of X to an element of that set.
省35

784(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/29(水)15:35 ID:s7oLTcE3(4/5) AAS
”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
＜あほ二人は、選択公理−選択関数が全く分かっていない＞

血の巡りの悪い人がいるね

>>781
>>{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} で、左記の集合は Sの部分集合
省10

792(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/29(水)18:13 ID:s7oLTcE3(5/5) AAS
>>778 補足
(引用開始)
集合族 A-{aξ：ξ<α} ∈S で
A-{aξ：ξ<α} を下記に展開すると
{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} で、左記の集合は Sの部分集合
（明らかに、集合Aと同じ濃度）
だから、Sの部分集合の形成には、選択関数は不要（置換公理が使える）
省29

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