ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11 (1002ﾚｽ)
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400: １３２人目の素数さん [] 2024/09/21(土) 23:13:03.78 ID:UH10GdZ2

>>398
>仮に、三角関数を、絶対値１の複素数を底とする指数関数の実部と虚部、として定義するなら、
>加法定理の公式は当たり前になってしまう

君は、一つ良いことを言った
もし私が、足立左内のように、ゴローニンから 「加法定理」の証明は？ と聞かれたら
オイラー公式 e^i(a+b)=e^ia * e^ib
左辺は cos(a+b)+i sin(a+b) 右辺は {cos a+ i sin a}*{cos b + i sin b}
右辺の展開から 直ちにでる
e^ia＝cos a+ i sin a は、テーラー展開（マクローリン展開とも）から従う
そう答えるだろう

しかし、普通の高校生に直ちにこれを、教えるわけにはいかない
数学の教程は、しばしば歴史の順に学ぶことが、理解させやすいし また 理解しやすい
と同時に、”できるだけ高い視点から見る”ということも重要でね

足立左内は、それができたのだろう

(参考)
https://kotobank.jp/word/%E8%B6%B3%E7%AB%8B%E5%B7%A6%E5%86%85-1050120
コトバンク
足立左内（読み）あだち・さない
朝日日本歴史人物事典 内田正男
没年：弘化2.7.23(1845.8.25)
生年：明和6(1769)
江戸幕末の天文方。名は信頭で生家の姓は北谷,大坂御鉄砲奉行同心の足立家に養子に入り,養父の左内を襲名した。麻田剛立 の弟子で高橋至時,間重富に次ぐ実力者。寛政8(1796)年改暦御用の命を受け,至時の手付(属吏)となり,京都において御用を勤め,翌9年改暦御用済みとなり大坂の元の職に戻ったが,その学識才能を惜しむ間重富らの奔走で,文化6(1809)年同心の身分のまま暦作御用を命ぜられ,江戸に出役して高橋景保の手付となった
特に語学に天分があり,文化10年馬場佐十郎と共に松前に出張してロシア語を学び,ロシア人との交渉に携わった。この間のことはゴローニンの『日本幽囚記』に詳しい。
帰府後貰い受けてきたロシア語の辞書を幕府に提出し,その取り調べを命ぜられた。天保6(1835)年『魯西亜辞書』を完成,同年11月天文方に昇任。この間,外国船が来航するたびに通訳として浦賀・大津浜におもむいた。また渋川景佑と共にオランダ語の天文書『ラランデ』をもとに『新巧暦書』(40冊),『新修五星法』(10冊)を完成し,それを参考にした天保改暦にも参画した。なお,没日は過去帳や墓誌では7月1日没,上記は『天文方代々記』による

https://kotobank.jp/word/%E8%B6%B3%E7%AB%8B%E4%BF%A1%E9%A0%AD-1050125#E3.83.87.E3.82.B8.E3.82.BF.E3.83.AB.E7.89.88.20.E6.97.A5.E6.9C.AC.E4.BA.BA.E5.90.8D.E5.A4.A7.E8.BE.9E.E5.85.B8.2BPlus
コトバンク
足立信頭 あだちしんとう 渡辺敏夫 日本大百科全書(ニッポニカ)
（1769―1845）
江戸後期の暦術家。大坂の医者北谷琳筑(りんちく)の子。通称左内、字(あざな)は子秀、渓隣(けいりん)と号した

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/400

459: １３２人目の素数さん [] 2024/09/23(月) 18:00:57.78 ID:w/QxknnI

>>447
>KIT数学ナビゲーション 金沢工大
>ベクトルを用いた加法定理の証明

"ベクトルを用いた加法定理の証明"
その先に、複素数を 複素平面上のベクトルとみて、極形式を使うと
二つの複素数の積を、複素平面上のベクトルの拡大と回転とみることができる
その先に、四元数による三次元空間の回転の扱いがある

(参考)
manabitimes.jp/math/875
高校数学の美しい物語
複素数平面における極形式と回転 2023/05/07
極形式
複素数を a+biではなくr(cosθ+isinθ)
という形で表すことがあります。これを複素数の極形式と言います。
この記事では，複素数の極形式と回転についてわかりやすく解説します。
目次
複素数の極形式
複素数を極形式で表す方法
指数関数による極形式
複素数平面について
複素数平面における回転

複素数平面における回転
極形式の知識をふまえて，複素数平面における回転について解説します。
「複素数平面における点の回転」は「複素数のかけ算」に対応する。
もっと数学的にきちんと言うと，「偏角が θ1  である複素数」と「偏角が θ2  である複素数」の積は
「偏角が θ1+θ2  である複素数」となる，です。
「回転」という一見やっかいな操作が，複素数のかけ算という簡単な計算で表現できるのでありがたいです。「回転をかけ算で扱える」というのが，複素数平面を使う最大のメリットと言えるでしょう。
この性質を証明してみましょう。
証明
略す

manabitimes.jp/math/983
高校数学の美しい物語
四元数と三次元空間における回転 2021/03/07
ハミルトンの四元数（クォータニオン，quaternion）について基礎から解説します。三次元空間における回転の記述を理解することが目標です。
目次
四元数（クォータニオン）とは
四元数に関連する定義
四元数の性質
三次元空間中の回転
回転の例
回転の合成と四元数の積

math.cs.kitami-it.ac.jp/~kabaya/index.html
蒲谷　祐一
math.cs.kitami-it.ac.jp/~kabaya/misc/2017/kabaya_4_for_web.pdf
群論入門大学院副コース　情報の取得と解析 蒲谷　祐一第４回（2017 11月30日）
今回の予定：
先週までの内容と趣向が変わるが空間の回転を表す群（直交群），四元数（quaternion）を紹介．

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0
四元数
四元数は純粋数学のみならず応用数学、特に3Dグラフィクスやコンピュータビジョンにおいて三次元での回転の計算（英語版）でも用いられる。これはオイラー角や回転行列あるいはそれらに代わる道具などとともに、必要に応じて利用される。
三次元および四次元の回転群
詳細は「回転 (数学)」を参照

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/459

568: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/11/04(月) 11:30:57.78 ID:lqiQeLpq

>>565
>乗数イデアル層に関するルンゲ型の近似定理とその応用を書いた
>プレプリントを貰った

これは御大か
むずい

検索： 乗数イデアル層に関するルンゲ型の近似定理
で、見繕い

（野口潤次郎先生、お元気そう）
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~noguchi/CA-1SV-Aihara-Noguchi.pdf
複素解析一変数・多変数の関数相原義弘・野口潤次郎2024 年1月11日
Graduate School of Mathematical Sciences
PDF
2024/01/11 — ついで，第 2 連接定理の特別な場合である非特異解析的部分集合 (複素部分多. 様体) のイデアル層の連接性を示す． ... 2 ルンゲの近似定理 (一変数) .
65 ページ

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~noguchi/21C-CAI-Cauchy-Oka-Front-Chap1-Aihara-Noguchi.pdf
21世紀複素解析入門A.L.コーシー ∼岡潔相原義弘・野口潤次郎2023 年1月30日
Graduate School of Mathematical Sciences
2023/01/30 — 前章で示した岡の上空移行の原. 理を適用して，岡・ヴェイユの近似定理，クザンの問題，岡原理を証明する．それ. ぞれについて，一変数の場合のルンゲの近似 ...
63 ページ

https://www.mathsoc.jp/section/complex/PDF/2016_2.pdf
函数論分科会 アブストラクト日本数学会 2016
A new general idea for starlike and convex functions
(2) 定理の定式化のポイントは乗数イデアル層を用いる点にある. たとえ直線束がネフ. でも (ネフ直線束は常に擬正だが), 乗数イデアル層なしでは単射性定理は成立しない.

https://users.fmf.uni-lj.si/forstneric/papers/2013Forstneric-OhsawaJapanese.pdf
数理研 講究録
Gunning-Narasimhan's theorem with a growth condition
Univerza v Ljubljani
大沢健夫 著 · 2012 — Cauchy の留数解析を発端とする一変数の複素解析においては、Mittag-Leffler. の定理、 Weierstrass の乗積定理、および Rungeの近似定理を柱とする基礎理論. が・・

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/568

854: １３２人目の素数さん [] 2024/12/30(月) 08:03:18.78 ID:qdfGas+m

つづき

例
略す

微分同相写像の群
略す

微分同相写像の拡張
1926 年、Tibor Radó は単位円の単位円板への任意の同相写像（あるいは微分同相写像）の調和拡大 (harmonic extension) は開円板上の微分同相写像を生むかどうか問うた。エレガントな証明がすぐ後に ヘルムート・クネーザー (Hellmuth Kneser) によって提出され、全く異なる証明がギュスタヴ・ショケ (Gustave Choquet) によって 1945 年に、明らかに定理が既に知られていたことに気付かずに、発見された。

円の（向きを保つ）微分同相写像群は弧状連結である。
高次元の球面 Sn−1 の微分同相写像に対する対応する拡張問題はルネ・トム (René Thom)、ジョン・ミルナー (John Milnor)、スティーヴン・スメイル (Stephen Smale) の顕著な貢献とともに 1950 年代と 1960 年代に多く研究された。そのような拡張の障害は有限アーベル群 Γn 、"group of twisted spheres" によって与えられる。これは微分同相写像群のアーベル component group の、球 Bn の微分同相写像に拡張する類の部分群による商として定義される。

連結性
多様体に対して微分同相写像群は通常連結でない。その component group は写像類群（英語版）と呼ばれる。次元 2 において、すなわち曲面に対して、写像類群は有限表示群であり、Dehn twists によって生成される (Dehn, Lickorish, Hatcher) [要出典]。マックス・デーン (Max Dehn) と Jakob Nielsen はそれは曲面の基本群の外部自己同型群（英語版）と同一視できることを証明した。

ウィリアム・サーストン (William Thurston) は写像類群の元を分類することによって 3 つのタイプにこの解析を細分した： 周期的微分同相写像に同値なもの； 単純閉曲線を不変のままにする微分同相写像に同値なもの； pseudo-Anosov diffeomorphisms に同値なもの。トーラス S1 × S1 = R2/Z2 の場合には、写像類群は単にモジュラー群 SL(2, Z) であり分類は楕円型、放物型、双曲型行列の言葉の古典的なものに帰着する。サーストンは写像類群はタイヒミュラー空間（英語版）のコンパクト化上に自然に作用することを観察することによって彼の分類を達成した； この大きくされた空間は閉球に同相であるから、ブラウアーの不動点定理が適用可能になる。

M が向き付けられた滑らかな閉多様体であれば、スメイルによって、向きを保つ微分同相写像の群の単位元成分（英語版）は単純であることが予想された。これはまず Michel Herman によって円の積に対して証明されていた； サーストンによって完全に一般的に証明された。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/854

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