[過去ﾛｸﾞ] 高校数学の質問スレ Part434 (1002ﾚｽ)

高校数学の質問スレ Part434 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1712376048/

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936: １３２人目の素数さん [] 2024/05/07(火) 16:03:18.69 ID:OgbPgxVI 部分積分で ∫ (x^n) log(x) dx 　= (1/(n+1)) x^{n+1} log(x) − (1/(n+1))∫ x^n dx 　= x^{n+1}((n+1)log(x)−1)/(n+1)^2, x^{n+1} = u　とおくと ∫ (x^n) log(x) dx 　= (1/(n+1)^2) ∫ log(u) du 　= u(log(u)−1)/(n+1)^2 　= x^{n+1}((n+1)log(x)−1)/(n+1)^2, x=e^t　とおくと ∫ (x^n) log(x) dx = ∫ e^{(n+1)t}・t dt 　= (1/(n+1))e^{(n+1)t}・t − (1/(n+1))∫ e^{(n+1)t} dt 　= e^{(n+1)t}((n+1)t−1)/(n+1)^2 　= x^{n+1}((n+1)log(x)−1)/(n+1)^2, ∴　I[n] = (n･e^{n+1} +1)/(n+1)^2, (1)　I[1] = (ee+1)/4 = 2.097264… (2) (3)　I[5] = (5e^6 +1)/36 = 56.059555… http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1712376048/936

938: １３２人目の素数さん [] 2024/05/07(火) 18:00:43.13 ID:OgbPgxVI >>936 nを実数として 　(∂/∂n) x^n = (∂/∂n) e^{n･log(x)} 　　= e^{n･log(x)}・log(x) 　　= (x^n) log(x), I[n] = ∫[1,e] (∂/∂n) x^n dx 　= (d/dn)∫[1,e] x^n dx 　= (d/dn) [ x^{n+1} /(n+1) ](x：1→e) 　= (d/dn) (e^{n+1}−1)/(n+1) 　= (n･x^{n+1}−1)/(n+1)^2, http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1712376048/938

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