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高校数学の質問スレ Part434 (1002レス)
高校数学の質問スレ Part434 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1712376048/
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190: 132人目の素数さん [] 2024/04/14(日) 21:27:20.04 ID:7Zt24lhc y=x^2 とか y=e^x みたいな、下に凸な曲線(Cとします)があるとしますね。 またCより上側に定点Aがあるとします。 Aを通る直線を、直線がCと2点で交わる範囲で動かすとき、 直線とCで囲まれる領域の面積が最小になるのは Aが2つの交点の中点になるとき と言えそうな気がするんですが、一般にこれは正しいですか。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1712376048/190
192: 132人目の素数さん [] 2024/04/14(日) 23:08:26.01 ID:TQbd33b9 >>190 点Aの座標を(a,b)とし、Aを通る傾きmの直線を y = m(x-a) + b とする。 曲線Cを y = f(x) とし、f(x) は連続とする。 交点 P, Q のx座標 p(m), q(m) は mに関して微分可能とする。 直線とCで囲まれる領域の面積は S(m) = ∫[p(m), q(m)] {m(x-a)+b−f(x)} dx, これをmで微分すれば dS/dm = −(dp/dm) {m(p-a)+b−f(p)} + (dq/dm){m(q-a)+b−f(q)} + ∫[p,q] (x-a) dx = ∫[p,q] (x-a) dx (*) = [ (1/2)(x-a)^2 ](p→q) = (1/2){(q-a)^2 − (p-a)^2} = (1/2)(q-p)(q+p-2a), ここで 点P, Qが交点であること: m(p-a)+b−f(p) = 0, m(q-a)+b−f(q) = 0, を使った。 さて、あるmで S(m)が極値をとるならば dS/dm = 0, 交点は2つあるので p<q, ∴ q + p -2a = 0, ∴ A は PQ の中点になる。 (終) (参考書) 高木貞治:「解析概論」改訂第三版, 岩波書店 (1961) p.164 下 〜 p.165 上 "α" がここに云うmにあたる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1712376048/192
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