[過去ﾛｸﾞ] 高校数学の質問スレ Part434 (1002ﾚｽ)
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249(1): 2024/04/16(火)22:31 ID:PS6G+v8E(1) AAS
正の数列がｎ無限大のときに0に収束するとき、
逆数の数列は無限大になることは明らかとしていいでしょうか。
250(1): イナ ◆/7jUdUKiSM 2024/04/16(火)23:04 ID:TfmndFPE(2/2) AAS
前>>236
>>239
(1)cos2t=2cos^2t-1
=2(1/3)^2-1
=2/9-1
=-7/9
cos3t=4cos^3t-3cost
省3
251: 2024/04/16(火)23:06 ID:+4sNyMxI(1) AAS
いい
252(1): 2024/04/16(火)23:32 ID:ZdfS6U2G(5/5) AAS
尿瓶ジジイビビってリアタイでタコ殴りにされそうな夜は書き込めないみたいだね、実に哀れ
リアタイだと余計日本語不自由なのバレバレだからねw
↓早朝から発狂しまくる尿瓶ジジイww
253: 2024/04/17(水)01:40 ID:qbH/8Fwh(1/3) AAS
↑ まだ朝ぢゃねぇけど……
>>249
任意の正の実数kに対し、1/k も正の実数である。
a(n) → 0 (n→∞)
だから、ある自然数N(k) があって
n>N ⇒ |a(n)| < 1/k ⇔ |1/a(n)| > k,
∴ {1/a(n)} は有界ではなく、発散する。
省1
254: 2024/04/17(水)01:49 ID:qbH/8Fwh(2/3) AAS
>>239 (2)
0<t<π/2
だから t は radianで計るんですね。(度ではなく)
255: 2024/04/17(水)03:22 ID:Dojom4Xi(1/5) AAS
それだと求める数は素数であるという前提になっていませんか？
256: 2024/04/17(水)04:31 ID:lcKlVVMX(1) AAS
以下は正しいか？
p,qを2以上の整数とする。
2^q≡3^q≡...≡(p-3)^q≡(p-2)^q≡(p-1)^q (mod p)
が成立するのはpが素数でq=p-1のときに限る。
また、その逆は正しいか?
例
2^12≡3^12≡...≡(13-3)^12≡(13-2)^12≡12^12 (mod 13)
257: 2024/04/17(水)04:39 ID:Zy64aN7b(1) AAS
bakaage
258: 2024/04/17(水)07:01 ID:Ec1zJCxR(1/4) AAS
pの剰余系で2,3,...,p-2,p-1を累乗したときに現れる剰余の種類の最低値を求める。
例: 7の剰余系で1,2,3,4,5,6の6乗はすべて1 (mod 7)
In[1]:= Table[Mod[n^6,7],{n,1,6}]
Out[1]= {1, 1, 1, 1, 1, 1}
100までで計算すると
省11
259: 2024/04/17(水)08:04 ID:lwglMa0M(1/2) AAS
こんなしょうもない話ひとつ日本語で正しく定式化する事ができない
260(1): 2024/04/17(水)08:05 ID:rVe+J1Qo(1) AAS
a,bを正整数とする。
ab-a-b=2024のときの(a-b)^2はいくつになるか、可能な数値を列挙せよ。
ab-a-b=12345のときの(a-b)^2を列挙せよ。
261: 2024/04/17(水)08:22 ID:Ec1zJCxR(2/4) AAS
>>260
Wolframの練習にsolverを作成
solve[n_] := (
d=Divisors[n+1];
a1=d[[1;;Ceiling[Length[d]/2]]];
b1=(n+1)/a1;
(a1-b1)^2)
省8
262: 2024/04/17(水)08:25 ID:Ec1zJCxR(3/4) AAS
Rで書くと
> solve=\(n){
+ d=numbers::divisors(n+1)
+ ab=cbind(d,rev(d))[1:ceiling(length(d)/2),]+1 ; ab
+ apply(ab,1,\(x) diff(x)^2)
+ }
> solve(2024)
省6
263(1): 2024/04/17(水)08:27 ID:Ec1zJCxR(4/4) AAS
答はひとつの問題の方が面白いかもしれん
練習問題
a,bを正整数とする。
ab-a-b=1234567890のときの(a-b)^2はいくつになるか
264(1): 2024/04/17(水)12:32 ID:Dojom4Xi(2/5) AAS
昼食後の問題
a,b,cはa>=b>=cの正整数とする。
a^6+b^6+c^6=666 を満たすa,b,cの組み合わせは何個あるか？
個数を答えてもよいし、総列挙してもよい。
265: 2024/04/17(水)13:03 ID:sOk9OM5G(1) AAS
>>252が図星すぎて尿瓶ダンマリ決め込んでて草
266(2): 2024/04/17(水)13:46 ID:SUrDbMTo(1/2) AAS
△ABCの垂心をHとし、AHと直線BCの交点をL、BHと直線CAの交点をM、CHと直線ABの交点をNとする。
mid(x,y,z)でx,y,zのうち2番目に大きくない値を表すとき、
f(△ABC)=mid(BL,CM,AN)/mid(AB,BC,CA)
とする。
△ABCの形状がいろいろ変わるとき、f(△ABC)の取りうる値の範囲を求めよ。
267(2): 2024/04/17(水)13:48 ID:SUrDbMTo(2/2) AAS
定積分
∫[1,e] {log(x)}^3 dx
を求めよ。ここで対数の底はeである。
268(1): 2024/04/17(水)15:11 ID:Dojom4Xi(3/5) AAS
a,b,c,d,e,fを正整数とするとき
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6 = 666666 をみたすa,b,c,d,e,fは存在しないことを示せ。
あらゆるリソースを用いてよい。
269: 2024/04/17(水)15:12 ID:lwglMa0M(2/2) AAS
2番目に大きくない値
wwwwwwwwwwwwwwww
270: 2024/04/17(水)15:17 ID:Dojom4Xi(4/5) AAS
>>267
部分積分を数回使って 6 - 2e
271: 2024/04/17(水)15:44 ID:Dojom4Xi(5/5) AAS
>>266
R言語で作図の練習
鈍角三角形のときは垂心が三角形の外にくる。
画像ﾘﾝｸ[png]:i.imgur.com
10万回の結果
> summary(y)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
省3
272(1): 2024/04/17(水)16:36 ID:fXJPsOzb(1/2) AAS
y=sin(x)-sin(x-120°)
これって簡単にするとy=sin(x-30°)みたいになるよね？
位相がズレるだけでsin波のまま
導出はそうやるの？
273(1): 2024/04/17(水)17:00 ID:fXJPsOzb(2/2) AAS
和積まで辿り着いたがうまくきれいにならん
274: 2024/04/17(水)17:12 ID:NlOGF2tm(1) AAS
おいおい、和積まで辿り着けたなら当てはめるだけだろ
あとは、二項めを加法定理でばらした後に合成をするという手もある
275(1): 2024/04/17(水)20:52 ID:qbH/8Fwh(3/3) AAS
AA省
276(1): 2024/04/17(水)23:39 ID:p8T6m3Aw(1) AAS
mod 7
277(2): 2024/04/18(木)01:23 ID:wAg8T1zy(1/4) AAS
フェルマーの小定理から、
x≠0 (mod 7) のとき x^6 ≡ 1 (mod 7)
x≡0 (mod 7) のとき x^6 ≡ 0 (mod 7)
∴ (a〜f の内 7で割り切れないものの数)
≡ mod(a^6 + b^6 + …… + f^6, 7)
本題では
= mod(666666, 7)
省4
278: 2024/04/18(木)06:08 ID:fdnCKW9N(1) AAS
>>275-277
レスありがとうございます。
次々とほぼ想定した正解がレスされて感服しました。
279: 2024/04/18(木)06:36 ID:64Io791z(1/12) AAS
座標を固定して描画させようとすると三角形がはみだしたり、小さすぎてみえないので
三角形に合わせて座標の表示幅を調整するように改変。
画像ﾘﾝｸ[png]:i.imgur.com
シミュレーションして遊ぶ問題
三角形ABCがありBCの長さは１である。
内角∠Bを0<B<πの範囲で無作為に選ぶ
内角∠Cは三角形ABCが成り立つ範囲で無作為に選ぶ
省1
280: 2024/04/18(木)07:17 ID:64Io791z(2/12) AAS
朝飯前の問題
整数の６乗の剰余系での値が０または１になるような剰余系を求めよ。
例：
２の剰余系なら自明
７の剰余系なら
フェルマーの小定理から、>277の通り
x≠0 (mod 7) のとき x^6 ≡ 1 (mod 7)
省1
281: 2024/04/18(木)09:01 ID:64Io791z(3/12) AAS
>266の
>△ABCの形状がいろいろ変わるとき、f(△ABC)の取りうる値の範囲を求めよ。
に触発されて作図して遊ぶ。
問題
△ABCがあり、B,Cの座標はB(0,0),C(1,0)とする。△ABCの面積が1であるようにAが動く。
例：画像ﾘﾝｸ[png]:i.imgur.com
（１）△ABCの重心の図形を求めよ
省4
282(1): 2024/04/18(木)15:16 ID:wAg8T1zy(2/4) AAS
BC = 1,
面積S = BC*(Aから辺BC(の延長線)に下した垂線の長さ)/2
= BC*(Aの高さ)/2,
題意より S=1 で Aの高さは2, A(a, ±2)
(1) 重心G ((1+a)/3, ±2/3)
軌跡： 2直線 y=-2/3, y=2/3,
(2) 外心O (1/2, ±(aa-a+4)/4),
省2
283: 2024/04/18(木)16:00 ID:J4j+GBSH(1/4) AAS
cot(2B) + cot(2C) = const.
284(1): 2024/04/18(木)16:03 ID:J4j+GBSH(2/4) AAS
cot(B) + cot(C) = const.
285(2): 2024/04/18(木)16:08 ID:wAg8T1zy(3/4) AAS
内心I ( [1 + √(4+aa) + √(4+(1-a)^2)]/2, r)
r = 1 − [√(4+aa)−a] [√(4+(1-a)^2)−(1-a)]/4,
かなぁ
286: 2024/04/18(木)16:44 ID:A0DnVcfS(1/2) AAS
小学校級の質問ですまん、小数第一位を四捨五入ってどこをすんのやっけ
例えば、29.28を小数第一位を四捨五入しなさい、って言われたら29になるん？それとも29.3？
287(2): 2024/04/18(木)16:45 ID:A0DnVcfS(2/2) AAS
小学校級の質問ですまん、小数第一位を四捨五入ってどこをすんのやっけ
例えば、29.28を小数第一位を四捨五入しなさい、って言われたら29になるん？それとも29.3？
288(1): 2024/04/18(木)16:51 ID:wAg8T1zy(4/4) AAS
(4) 垂心H (a, a(1-a)/2)
軌跡： 放物線 y = x(1-x)/2,
>>284
cot(B) + cot(C) = 1/2.
289: 2024/04/18(木)20:04 ID:bS3aQA9Q(1) AAS
>>287
小学生以下なのは問題文の日本語すら読めない誰かさんだよw
290: 2024/04/18(木)20:09 ID:64Io791z(4/12) AAS
レスありがとうございます。
R言語で作図
G（黒）が重心、O（赤）が外心、I（緑）が内心、H（青）が垂心の位置。
画像ﾘﾝｸ[png]:i.imgur.com
291(1): 2024/04/18(木)20:12 ID:64Io791z(5/12) AAS
>>287
小数第一位を四捨五入なら29
四捨五入して小数第一位まで表示なら29.3
292: 2024/04/18(木)20:17 ID:64Io791z(6/12) AAS
Wolfram言語に慣れるための練習問題
外部ﾘﾝｸ:www.jstor.org
の素数の一般項をWolframに1行で実装せよ。
想定解
prime[n_] := 1 + Total[Table[Floor[(n/( Total[Table[Floor[Cos[(Factorial[k-1]+1)Pi/k]^2],{k,1,m}]]))^(1/n)],{m,1,2^n}]]
Wolfram言語に詳しい方の検証を希望。
293: 2024/04/18(木)20:21 ID:J4j+GBSH(3/4) AAS
きったね
294: 2024/04/18(木)20:36 ID:64Io791z(7/12) AAS
>>285
乱数発生させて一つの辺長１で面積１の三角形の内心と内接円を描画。
画像ﾘﾝｸ[png]:i.imgur.com
295: 2024/04/18(木)20:42 ID:64Io791z(8/12) AAS
>>288
y=±x(1-x)/2を追加描画
画像ﾘﾝｸ[png]:i.imgur.com
296: 2024/04/18(木)20:47 ID:J4j+GBSH(4/4) AAS
きったねwwwwwwwww
297: 2024/04/18(木)21:21 ID:64Io791z(9/12) AAS
四捨五入のネタ
Wolframで四捨五入類似の関数Roundの仕様 （R言語も同様の出力をする）
Wolfram Language 14.0.0 Engine for Microsoft Windows (64-bit)
Copyright 1988-2023 Wolfram Research, Inc.
In[1]:= Round[2.5]
Out[1]= 2
省10
298(2): 2024/04/18(木)21:35 ID:sdwGNJDt(1) AAS
Table[1+Sum[Floor[n^(1/n) (Sum[Floor[(Cos[Pi(((x-1)!+1)/x)])^2],{x,1,m}])^(-1/n)],{m,1,2^n}],{n,1,10}]
Table[1+Sum[Floor[n^(1/n) (Sum[If[IntegerQ[((x-1)!+1)/x],1,0],{x,1,m}])^(-1/n)],{m,1,2^n}],{n,1,10}]
Table[1+Sum[Floor[n^(1/n) (1+Sum[If[PrimeQ[x],1,0],{x,2,m}])^(-1/n)],{m,1,2^n}],{n,1,10}]
実質これらは同じもの。下に行くほど速い。
ただし、第一の式は、素数を10個表示するだけで、10秒近くかかる
299(1): 2024/04/18(木)21:43 ID:fGxo4U0J(1) AAS
うちの学校の先生が
「ベクトルとベクトルの交わりとか交点とか、そういうものは定められない」
と言ってたんですが、参考書とかみると交点をベクトルで表せという問題が
普通にあります。
ウチの先生は信用できないんでしょうか。
300: 2024/04/18(木)21:43 ID:64Io791z(10/12) AAS
>>291 補足
Wolfram Language 14.0.0 Engine for Microsoft Windows (64-bit)
Copyright 1988-2023 Wolfram Research, Inc.
In[1]:= (* 小数表示された実数の小数第 n 位を四捨五入する *)
In[2]:= around[m_,n_:1] := (
a=m*10^(n-1);
x=a-Floor[a];
省15
301: 2024/04/18(木)22:01 ID:64Io791z(11/12) AAS
>>298
レスありがとうございます。
Total[Table .... は Sumで簡略化できることがわかりました。
他の人のコードを読むのは勉強になります。
302: 2024/04/18(木)22:05 ID:64Io791z(12/12) AAS
>>299
ベクトルを方向をしめす量という意味に使えば、
「ベクトルとベクトルの交わりとか交点とか、そういうものは定められない」
は正しい。
例： 法線ベクトルの交点
始点と終点をきめたベクトルなら交点は定められる。
303: 2024/04/18(木)22:09 ID:TMqzfafP(1) AAS
位置ベクトルは点を表す。
点と点の交点とか考えないだろ。
304(1): 2024/04/19(金)00:40 ID:ZbwJ8GFs(1/3) AAS
「0<θ＜π。sin3θ＝sin2θが成立するとする」と問題にあり、
答ページを見たら「sinθ＝sin4θも成立する」とありました
サラリと書いていますが、なぜイコールになると分かるのか解説を読んでも理解できません
何故でしょうか？
305(1): 2024/04/19(金)00:44 ID:cMZorH98(1) AAS
θ=π/5になるから
306(1): 2024/04/19(金)01:18 ID:ZbwJ8GFs(2/3) AAS
>>305
あ、そうか
分かりました。単位円に36度と144度を書けば自明ですね
あと、この問題の続きで
4cos二乗θ＝2cosθ
と解説にありますが、このイコールはどうやって出てきたのでしょうか？
307(1): 2024/04/19(金)01:25 ID:0gWkPqXI(1/5) AAS
>>282 288
オイラー線
y = m{x−(1+a)/3} + 2/3,
ここに m = {3a(1-a)/4−1}/(a−1/2),
x(H) = a, x(G) = (1+a)/3, x(O) = 1/2,
>>285
I ( [1 + √(4+aa) − √(4+(1-a)^2)]/2, r)
308: 2024/04/19(金)02:49 ID:0gWkPqXI(2/5) AAS
>>306
0 = 2 cos(5θ/2) cos(θ/2)
= cos(3θ) + cos(2θ) …… 積和公式
= (4c^3−3c) + (2cc−1) …… 3倍角、倍角公式
= (c+1)(4cc−2c−1),
θ≠(奇数)π, cosθ +1 ≠ 0,
∴ 4(cosθ)^2 = 2cosθ + 1,
309: 2024/04/19(金)03:21 ID:v95awPtr(1/3) AAS
>>304
θ=π/5, (3/5)π
310: 2024/04/19(金)03:34 ID:v95awPtr(2/3) AAS
π - 2θ = ３θ
π - 2θ +2π = ３θ
311: 2024/04/19(金)04:25 ID:ZbwJ8GFs(3/3) AAS
>>308-3107
ありがとうございます！
312: 2024/04/19(金)09:44 ID:nLTXbGeR(1) AAS
aを実数の定数とする。
(cosx)^2+a*(cosx)+√(1-a^2)=0
を満たす実数xが少なくとも1つ存在するとき、aが満たすべき条件を求めよ。
313(2): 2024/04/19(金)11:55 ID:uW4yUc1h(1/2) AAS
Wolfram言語に慣れるための問題
m,nを正整数として sin(mθ)=solve(mθ),0<θ<πの解を算出する関数を作成せよ。
例
In[2]:= solve[m_,n_] := (a=(m+n+1)/2;
Table[(2b-1)Pi/(m+n),{b,1,Floor[a]-Boole[IntegerQ[a]]}])
In[3]:= solve[2,3]
Pi 3 Pi
省2
314: 2024/04/19(金)12:25 ID:cgSaTQnW(1) AAS
>>313
60年以上生きて日本語も不自由なんだから今更無理だろ
315(2): 2024/04/19(金)12:30 ID:VXmOPAjX(1/2) AAS
関数の漸近線の定義を教えて下さい
例えば y = (1/x) sin(1/x) においてｙ軸は漸近線ですか？
316: 2024/04/19(金)13:06 ID:0gWkPqXI(3/5) AAS
求めるものは
f(t) = tt + at + √(1-aa) = 0, -1≦t≦1
を満たす実数tが少なくとも1つ存在する条件である。
(根号内)≧0 より -1≦a≦1,
f(-1) = 1−a + √(1-aa) ≧ 0,
f(1) = 1 + a + √(1-aa) ≧ 0,
軸のx座標 =−a/2 は [-1/2,1/2] に含まれる。
省8
317: 2024/04/19(金)13:44 ID:lIooDX5a(1) AAS
二次関数の頂点を求める過程で、平方完成の後、係数を元に戻すのを忘れてしまう
318: 2024/04/19(金)13:53 ID:xQljC2Pa(1/3) AAS
作図する方が楽しい問題
△ABCは、Bは原点(0,0),Cはx軸上にあり、面積１を保ちながら変化する。
外心、内心、垂心の図形を描写せよ。
答は、文章でも式でも図示でもよい。
319(1): 2024/04/19(金)14:11 ID:xQljC2Pa(2/3) AAS
>>313
練習問題
sin(20θ)=sin(24θ), 0<θ<πを満たすθを求めよ。
320: 2024/04/19(金)14:15 ID:50uXZMSr(1) AAS
x→∞のとき
x+sin(x) は正の無限大に発散
x*sin(x) は新道
であってますか。
321(2): 2024/04/19(金)14:47 ID:uue+hBo/(1) AAS
>>298
三つともデタラメな式
wolframフォームに入力しても何も出ない
322: 2024/04/19(金)15:11 ID:v95awPtr(3/3) AAS
b=cos(x)
b^2 + ab + sqrt(1-a^2) = 0
b1=(-a + sqrt(a^2-4*sqrt(1-a^2)))/2
b2=(-a - sqrt(a^2-4*sqrt(1-a^2)))/2
a^2-4*sqrt(1-a^2) >=0
-1 <= a <= -2*sqrt( sqrt(5) -2 ) | 2*sqrt( sqrt(5) -2) <= a <=1
then
省1
323: 2024/04/19(金)15:18 ID:xQljC2Pa(3/3) AAS
>>321
Wolfram Language 14.0.0 Engine for Microsoft Windows (64-bit)をインストール（要登録）していれば以下のように表示される。
Wolfram Language 14.0.0 Engine for Microsoft Windows (64-bit)
Copyright 1988-2023 Wolfram Research, Inc.
In[1]:= Table[1+Sum[Floor[n^(1/n) (Sum[Floor[(Cos[Pi(((x-1)!+1)/x)])^2],{x,1,m}])^(-1/n)],{m,1,2^n}],{n,1,10}]
Out[1]= {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}
拙作の関数でも
省4
324: 2024/04/19(金)16:33 ID:SVQ+clD4(1/2) AAS
素数なら、superPCM関数の方が
はるかに強力だよ
◆101から463の範囲に
素数は65個
101, 103, 107, 109, 113,
127, 131, 137, 139, 149,
151, 157, 163, 167, 173,
省32
325(1): 2024/04/19(金)17:42 ID:0gWkPqXI(4/5) AAS
>>307
オイラー線
y = m{x−(1+a)/3} + 2/3,
ここに m = {3a(1-a)/4−1}/(a−1/2),
H (a, a(1-a)/2)
K ((2a+1)/4, 1/2 + a(1-a)/8)
G ((a+1)/3, 2/3)
省7
326(1): 2024/04/19(金)18:09 ID:0gWkPqXI(5/5) AAS
>>319
0 = sin(24θ)−sin(20θ) = 2sin(2θ)cos(22θ),
かつ 0<θ<π,
sin(2θ) = 0 から θ=π/2,
cos(22θ) = ０ から θ=π/44, 3π/44, 5π/44, ……, 43π/44,
327: 2024/04/19(金)18:33 ID:NY+3Q0Fq(1/2) AAS
チンパン数学そんなに楽しいか？
328: 2024/04/19(金)18:34 ID:5mt38Sq8(1/2) AAS
Mathematicaなら、下のような命令を10秒ほどでやってくれますよ
In[24]:= Table[Prime[n],{n,10^12,10^12+100}]
Out[24]= {29996224275833, 29996224275851, 29996224275883, 29996224275907, 29996224275917, 29996224275937,
> 29996224275973, 29996224276009, 29996224276019, 29996224276021, 29996224276091, 29996224276097,
> 29996224276153, 29996224276231, 29996224276309, 29996224276349, 29996224276409, 29996224276423,
> 29996224276519, 29996224276523, 29996224276549, 29996224276561, 29996224276567, 29996224276591,
> 29996224276633, 29996224276727, 29996224276771, 29996224276861, 29996224276883, 29996224276891,
省12
329: 2024/04/19(金)18:43 ID:5mt38Sq8(2/2) AAS
おまけ
In[29]:= PrimePi[29996224275833]
Out[29]= 1000000000000
In[30]:= PrimePi[29996224279379]
Out[30]= 1000000000100
In[31]:= PrimePi[463]-PrimePi[100]
Out[31]= 65
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