ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6

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88: １３２人目の素数さん [] 2024/01/17(水) 14:44:31.77 ID:5Sjt1FFx

>>67 補足
>>岡潔の進めようとした方法をカルタンとセールが精錬精製し(コヒーレント)層にして 代数幾何を含めて汎用的に使えるようにした
>乏しい知識の中で無理やりまとめればそうなるかもしれない

もどると
ここでのご指摘は、(コヒーレント)層で取り残した大事な岡の数学があるよということかと
そこを、下記野口潤次郎より抜粋しておきます

なお、歴史的補足は、>>81です

(参考)>>68より再録抜粋
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~noguchi/oka/hashimoto-oka-lect.pdf
岡潔博士の数学研究と日本文化
野口潤次郎 H28(2016) 年 1 月 30 日 橋本市

P17
5 岡先生の言葉
Oka III (1939):　クザン II 問題の解決
というのがあります。これは、問題は一般には解けないのですが、
解析的解の存在 ⇐⇒ 位相的解の存在 (同値)
例えて言えば、ほぐせるかどうか分からない鉄でできた知恵の輪がある。
同じものをゴムで作りなさい。それで、解ければ、鉄の方も必ず解けま
すよ、ということです。
これは、「岡原理」と呼ばれるようになり、数学の広い分野で一つの指
針となる原理を与えるに至りました（現在も）。

もう一つ：
• 問題を漫然と、解ければ良いと考えていては、解けるものも解け
ない。
これは、レビ問題を考えている所が相当します。
その問題自体は 1943年の高木貞治教授への研究レポートで解決していますが、岡先生はその
奥に未だもっと重要な本質的なものがあることに気がついた。それが明確
になれば、Oka I 以来の研究、レビ問題、更にはこれ等を特異点を持つ空
間上で理論展開できることになると、仄かに直感するのです。その “影”
を 1942∼1943 年頃に見ます。これは、先程の “連接性”、｀｀不定域イデア
ル” の発見に繋がります。

ここでとった岡先生のアプローチがすごいのです。普通は：
局所理論 =⇒ 準大域理論 =⇒ 大域理論.

岡先生が、ここでとったアプローチ：
1 点究極局所理論 ⇐= 局所理論
　⇓
連接定理 =⇒ 局所理論 =⇒ 準大域理論 =⇒ 大域理論
局所理論から “1 点究極局所理論” へ逆進し、得られた言葉が、
「連接性、不定域イデアル (ideaux de domaines ind ´ etermin ´ es) ´ 」
であった。

これには、伏線がありまして、それは Oka I (1936) で開発された
“上空移行の原理”
です。ここでも普通とは、逆にアプローチしました。
• 問題は、変数の数が増えたことによって生じた。
普通：　変数の数を減らして解こう。
岡の上空移行:　変数の数をもっと増やして解く
（考える領域が単純化される）。
岡先生は、この “上空移行の原理” を見い出したときは、
自分を真中に宇宙が一列に整列したような感銘
を受けたそうですから、すごいものです。
このような、天才岡潔の数学について、ドイツ複素解析の権威の一人
である Reinhold Remmert（ラインホルト　レンメルト）は、Springer 社
刊 Kiyoshi Oka 全集の序文で次の様に述べております。
R. レンメンルトの序文：
略

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/88

266: １３２人目の素数さん [] 2024/01/29(月) 07:58:17.77 ID:2Tor3z84

>>261-263
>>>260 その指摘が不明確かと

やれやれ、日wikipediaに書いてあることを自慢して
ちょっとツッコミあると沈没か？ｗ

さて
リーマン可積分⇒微分可能でない点の集合が測度０
　↓
リーマン可積分⇒連続でない点の集合が測度０
ですな

"R^n の有界閉区間 I 上の有界関数 f: I → R に対し、
f が I 上リーマン可積分であることと、
f がほとんど至るところ連続であること（※）は同値
（※ f の不連続点全体の集合が零集合）"
だったね

これの証明は、下記の英wikipediaにある
（Integrability 可積分性条件 the Lebesgue-Vitali theorem な）
(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_integral
Riemann integral

Integrability
A bounded function on a compact interval [a, b] is Riemann integrable if and only if it is continuous almost everywhere (the set of its points of discontinuity has measure zero, in the sense of Lebesgue measure). This is the Lebesgue-Vitali theorem (of characterization of the Riemann integrable functions). It has been proven independently by Giuseppe Vitali and by Henri Lebesgue in 1907, and uses the notion of measure zero, but makes use of neither Lebesgue's general measure or integral.
The integrability condition can be proven in various ways,[4][5][6][7] one of which is sketched below.

Proof
The proof is easiest using the Darboux integral definition of integrability (formally, the Riemann condition for integrability) – a function is Riemann integrable if and only if the upper and lower sums can be made arbitrarily close by choosing an appropriate partition.
One direction can be proven using the oscillation definition of continuity:[8] For every positive ε, Let Xε be the set of points in [a, b] with oscillation of at least ε. Since every point where f is discontinuous has a positive oscillation and vice versa, the set of points in [a, b], where f is discontinuous is equal to the union over {X1/n} for all natural numbers n.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/266

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