ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6 (1002ﾚｽ)
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267: １３２人目の素数さん [] 2024/01/29(月) 07:58:35.71 ID:2Tor3z84

つづき

If this set does not have zero Lebesgue measure, then by countable additivity of the measure there is at least one such n so that X1/n does not have a zero measure. Thus there is some positive number c such that every countable collection of open intervals covering X1/n has a total length of at least c. In particular this is also true for every such finite collection of intervals. This remains true also for X1/n less a finite number of points (as a finite number of points can always be covered by a finite collection of intervals with arbitrarily small total length).

For every partition of [a, b], consider the set of intervals whose interiors include points from X1/n. These interiors consist of a finite open cover of X1/n, possibly up to a finite number of points (which may fall on interval edges). Thus these intervals have a total length of at least c. Since in these points f has oscillation of at least 1/n, the infimum and supremum of f in each of these intervals differ by at least 1/n. Thus the upper and lower sums of f differ by at least c/n. Since this is true for every partition, f is not Riemann integrable.

We now prove the converse direction using the sets Xε defined above.[9] For every ε, Xε is compact, as it is bounded (by a and b) and closed:

For every series of points in Xε that is converging in [a, b], its limit is in Xε as well. This is because every neighborhood of the limit point is also a neighborhood of some point in Xε, and thus f has an oscillation of at least ε on it. Hence the limit point is in Xε.
Now, suppose that f is continuous almost everywhere. Then for every ε, Xε has zero Lebesgue measure. Therefore, there is a countable collections of open intervals in [a, b] which is an open cover of Xε, such that the sum over all their lengths is arbitrarily small. Since Xε is compact, there is a finite subcover – a finite collections of open intervals in [a, b] with arbitrarily small total length that together contain all points in Xε. We denote these intervals {I(ε)i}, for 1 ≤ i ≤ k, for some natural k.

The complement of the union of these intervals is itself a union of a finite number of intervals, which we denote {J(ε)i} (for 1 ≤ i ≤ k − 1 and possibly for i = k, k + 1 as well).

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/267

538: １３２人目の素数さん [] 2024/02/17(土) 10:42:24.71 ID:ZkaCY50W

>>502 戻る

再録
http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kaisekigairon-2/kaisekigairon2-part1.pdf
解析概論II第1部(多変数関数の積分)桂田祐史2005年12月6日 明治大
序
この文書は明治大学数学科2年生後期の講義科目「解析概論II」の第1部(内容としては多変数関数のRiemann積分を扱う)の講義ノートである。

P16
Lebesgue積分について独習したい人には、志賀[9],新井[1]、授業の参考書としては伊藤[2]、歴史的なところに興味がある人には、もちろんルベーグ[29],それと見過ごされやすそうな3吉田[26]を勧める。
[26]吉田耕作,現代解析入門後篇「測度と積分」,岩波書店(1991).

P21
1.2 Jordan可測集合上の積分

P24
1.3二つの零集合
1.3.1はじめに
そこで「Jordan零集合」と「Lebesgue零集合」という表現を採用することにした。…余談になるが、あるとき解析概論IIで(Lebesgue)零集合を取り上げることを某先生から
非難されたことがある。今一つ真意がはっきりしない物言いだったのだが、Lebesgue測度論(積分論)の概念を密輸入してペダンティックなことをやっている、という意味であると解釈した。確かにLebesgue零集合はLebesgueが定義したもので、(Riemann)可積分条件の定理もLebesgueが得たものであるが、Lebesgue零集合の定義にLebesgue測度は必要ないし、可積分条件の定理もLebesgue積分に関する定理ではなく、あくまでRiemann積分に関する定理である。そして—ここが大事なところだが—この定理は美しい。また一度この定理を得ると大変に見通しがよくなり、その後の議論の歯切れがよくなる。20世紀に多くの微積分の教科書が書かれたわけだが、このLebesgueの定理を紹介していないものが多いのは、もったいないと思う。

P25
1.3.2 Jordan零集合—Riemann積分で無視可能な集合

P28
1.3.3 Lebesgue零集合—Riemann積分の可積分条件の記述(この節の記述は、主にスピヴァック[14]による。)
この節の目的
前節の議論だけでは、可測性、可積分性(積分可能性)のイメージがつかみずらいだろうから、少し補足する。
授業では定理の紹介するが、証明はしない(一応書いておくが)。大意をつかんでもらえれば十分と考えている。
「Lebesgue零集合」という“小さい”集合を定義しておくと、
ΩがJordan可測⇐⇒ Ωの境界がLebesgue零集合である
有界関数f:Ω→Rが積分可能である⇐⇒ fの不連続点全体の集合がLebesgue零集合である
のようにきれいに可測性、可積分性が判定できる、というのがミソである

https://www.weblio.jp/content/%E3%83%9A%E3%83%80%E3%83%B3%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%83%E3%82%AF
衒学者 (ペダンティック) 『ウィキペディア（Wikipedia）』
衒学者（英語: pedant）とは、論理の形式、厳密性、正確性などに過剰にこだわったり、学識をひけらかし傲慢な態度を見せるような人物のこと
語源
「pedant」は、フランス語の「pédant」（1566年の Darme & Hatzfeldster『Dictionnaire général de la langue française』に見える）、ないしはそれに先行した15世紀半ばのイタリア語の「pedante」（「教師」、「校長」などを意味する）を語源としている

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/538

651: １３２人目の素数さん [] 2024/05/07(火) 17:56:19.71 ID:KnH2NUrg

・数学はルールがない学問
・囲碁・将棋や学校のテストのように、あらかじめルールが決まっていて最初から答えが限定される分野では、すでにコンピューターは人間の能力を超えていますが、数学はルールのない自由な学問ですから。コンピューターはルールに基づいたデータがなければディープラーニングはできないし、計算が正しいかどうかをいくらチェックできても、それだけでは永遠に解答にはたどりつけません。

https://www.yomiuri.co.jp/choken/kijironko/cknews/20221027-OYT8T50124/
数学は世界の混沌を救えるか　
中島啓・国際数学連合（ＩＭＵ）次期総裁 2022/10/31 読売クオータリー

数学はルールがない学問

誰に講演してもらうかは、３年ほど前からＩＭＵが個々の業績などを調べて決めており、会議で講演することは数学者にとって大変な栄誉とされています

講演者に選ばれた研究者は、分野外の研究者にも理解できるレベルで話をしなければなりません。自分の研究分野以外の数学界で何が起きているのか、最近注目されている数学界のホットイシュー（注目の話題）はどんな研究なのか、参加した研究者に知ってもらうことが、研究者の国際交流の重要な成果につながるからです

フィールズ賞には、「４年に１回」「１度に最高４人まで」「受賞者は４０歳以下」というノーベル賞にはない決まりがあります。世の中に役立つ研究成果をあげた研究者に贈られるノーベル賞とは違い、その後の研究の発展を期待する側面もあるので、後から「あの研究者は結局あまり伸びなかった」といわれるような人を選ぶわけにはいきません。そもそも、自分の専門とは異なる研究分野の高度な研究を比較して、どれが優れているかを決めるのは至難の業です。ＩＭＵ総裁は選考委員会の議長を務めます。受賞者は選考委員会で各分野の専門家から意見を聞いて、時間をかけて決めますが、最後は「えいや」で決めなければならないこともあるのかなと思います

数学者はまだまだコンピューターに負けない
　学問によってはコンピューターが研究者にとって代わるということもあり得るのかな、と思いますが、数学に関してはそれはずっと先のことでしょう。囲碁・将棋や学校のテストのように、あらかじめルールが決まっていて最初から答えが限定される分野では、すでにコンピューターは人間の能力を超えていますが、数学はルールのない自由な学問ですから。コンピューターはルールに基づいたデータがなければディープラーニングはできないし、計算が正しいかどうかをいくらチェックできても、それだけでは永遠に解答にはたどりつけません

「食べていけない」…激減する博士志望

数学に限った話ではないのですが、大学に残ってもポストを得ることが難しくなったために、博士課程に進む学生がすごく減っているんです。先進国でここまで国立大学の予算を減らしている国はないのではないでしょうか

その結果、若手の研究者のポストが全部テンポラリー（期限付き）になって、予算が尽きたところでポストもなくなってしまうのです。博士号取得後に大学に残ると、多くの人は任期制の「ポスドク（博士研究員）」になるしかなくて、３年で業績をあげなければ、その次のポストはありません

研究を続けても先が見えないので、有望な人が大学に残ってくれません

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/651

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